《第二章2平方根》讲解与例题（新版）北师大版

1 第二章第二章 2 2 平方根平方根 讲解与例题讲解与例题 1 平方根 1 平方根的概念 如果一个数x的平方等于a 即x2 a 那么这个数x就叫做a的 平方根 也叫做二次方根 32 9 所以 3 是 9 的平方根 3 2 9 所以 3 也是 9 的平 方根 所以 9 的平方根是 3 和 3 2 平方根的表示方法 正数a的平方根可记作 读作 正 负根号 a a 读作 根号 a 是被开方数 例如 2 的平方根可表示为 2 3 平方根的性质 若x2 a 则有 x 2 a 即 x也是a的平方根 因此正数a的 平方根有两个 它们互为相反数 只有 02 0 故 0 的平方根为 0 由于同号的两个数相乘 得正 因此任何数的平方都不会是负数 故负数没有平方根 综合上述 一个正数有两个 平方根 它们互为相反数 0 只有一个平方根 它是 0 本身 负数没有平方根 如 4 的平 方根有两个 2 和 2 4 没有平方根 我明白了 一个数a的平方根可以表示成 a 你可要小心哦 1 不是任何数都有平方根 负数可没有平方根 2 式子只有a 当a 0 时才有意义 因为负数没有平方根 例 1 1 求下列各数的平方根 1 81 2 7 2 3 1 15 49 分析 分析 根据平方根的定义 求一个数a的平方根可转化为求一个数的平方等于a的运 算 更具体地说 就是找出平方后等于a的数 解 解 1 9 2 81 81 的平方根是 9 即 9 81 2 7 2 72 49 7 2的平方根是 7 即 7 49 3 1 又 2 15 49 64 49 8 7 64 49 1的平方根是 15 49 8 7 即 115 49 8 7 例 1 2 下列各数有平方根吗 如果有 求出它的平方根 若没有 请说明理 由 1 2 0 3 9 4 0 81 5 22 9 4 分析 分析 序号存在情况原因 1 有 2 个 4 有 2 个 正数有两个平方根 2 3 无 5 无 负数没有平方根 2 有 1 个0 的平方根是它本身 解 解 1 是正数 有两个平方根 9 4 9 4 又 2 的平方根是 3 2 9 4 9 4 3 2 2 0 只有一个平方根 是它本身 3 9 是负数 9 没有平方根 4 0 81 0 9 2 是正数 0 81 的平方根是 0 9 5 22 4 是负数 22没有平方根 2 算术平方根 1 算术平方根的概念 如果一个正数x的平方等于a 即x2 a 那么这个正数x就 叫做a的算术平方根 2 算术平方根的表示方法 正数a的算术平方根记作 读作 根号a a 3 算术平方根的性质 正数有一个正的算术平方根 0 的算术平方根是 0 负数没有 平方根 当然也没有算术平方根 淡重点淡重点 算术平方根的性质 1 只有正数和 0 即非负数 才有算术平方根 且算术平方根也是非负数 2 一个正数a的正的平方根就是它的算术平方根 如果知道一个数的算术平方根 就 可以写出它的负的平方根 例 2 求下列各数的算术平方根 1 0 09 2 121 169 分析 分析 根据算术平方根的意义 求一个非负数a的算术平方根 首先要找出平方等于 a的数 写出平方式 从平方式中确定a的算术平方根的值 解 解 1 0 32 0 09 0 09 的算术平方根是 0 3 即 0 3 0 09 2 2 11 13 121 169 的算术平方根是 121 169 11 13 析规律析规律 如何确定一个数的算术平方根 求一个数的算术平方根与求一个数的平方根类似 先找到一个平方等于所求数的数 再求算术平方根 应特别注意数的符号 3 开平方 求一个数a a 0 的平方根的运算 叫做开平方 其中a叫做被开方数 开平方运算 是已知指数和幂求底数 1 因为平方和开平方互逆 故可通过平方来寻找一个数的平方根 也可以利用平方验 算所求平方根是否正确 3 2 开平方与平方互为逆运算 正数 负数 0 可以进行 平方 运算 且 平方 的 结果只有一个 但 开平方 只有正数和 0 才可以 负数不能开平方 且正数开平方时有 两个结果 3 对于生活和生产中的已知面积求长度的问题 一般可用开平方加以解决 例 3 小明家计划用 80 块正方形的地板砖铺设面积是 20 m2的客厅 试问小明家需 要购买边长是多少的地板砖 解 解 设正方形的地板砖的边长为x m 由题意 得 80 x2 20 则x2 0 25 故 x 0 5 地板砖的边长不能为负数 x 0 5 小明家应购买边长为 0 5 m 的地板砖 4 与 2的关系 a2a 表示a的算术平方根 依据算术平方根的定义 2 a a 0 表示a2的算术 aaa2 平方根 依据算术平方根的定义 若a 0 则a2的算术平方根为a 若a 0 则a2的算 术平方根为 a 即 a Error a2 1 区别 意义不同 2表示非负数a的算术平方根的平方 表示实数a的平 aa2 方的算术平方根 取值范围不同 2中的a为非负数 即a 0 中的a为任意 aa2 数 运算顺序不同 2是先求a的算术平方根 再求它的算术平方根的平方 是 aa2 先求a的平方 再求平方后的算术平方根 写法不同 在 2中 幂指数 2 在根号的外 a 面 而在中 幂指数 2 在根号的里面 运算结果不同 2 a a Error a2aa2 2 联系 在运算时 都有平方和开平方的运算 两式运算的结果都是非负数 即 2 0 0 仅当a 0 时 有 2 aa2aa2 点技巧点技巧 巧用 2 a a 将 2 a反过来就是a 2 利用此式可使某些运算更为简便 aa 例 4 化简 2 6 7 2 解析 解析 7 7 7 2 答案 答案 6 7 5 平方根与算术平方根的关系 1 区别 概念不同 平方根的概念 如果一个数x的平方等于a 即x2 a 那么这个数x叫做a的平方 根 算术平方根的概念 如果一个正数x的平方等于a 即x2 a 那么这个正数x叫做a 的算术平方根 表示方法不同 平方根 正数a的平方根用符号 表示 a 算术平方根 正数a的算术平方根用符号表示 正数a的负的平方根 可以看成 aa 是正数a的算术平方根的相反数 4 读法不同 读作 根号a 读作 正 负根号a aa 结果和个数不同 一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数 而一个正数的平方根有两个 它们一 正一负且互为相反数 2 联系 平方根中包含了算术平方根 就是说算术平方根是平方根中的一个 即一个正数的 平方根有一正一负两个 其中正的那一个就是它的算术平方根 这样要求一个正数a的平 方根 只要先求出这个正数的算术平方根 就可以直接写出这个正数的平方根 了 aa 在平方根 和算术平方根中 被开方数都是非负数 即a 0 严格地讲 正数 aa 和 0 既有平方根 又有算术平方根 负数既没有平方根 又没有算术平方根 0 的平方根和算术平方根都是 0 例 5 1 1 求 3 2的平方根 2 计算 144 3 求 3 142 2的算术平方根 4 求的平方根 16 错解 1 因为 3 2 9 故 3 2的平方根是 3 2 因为 12 2 144 所以 12 144 3 3 142 2的算术平方根是 3 142 或 3 142 2 3 142 4 的平方根是 4 16 剖析 1 一个正数的平方根是互为相反数的两个数 而这里 3 2的平方根只有一个 数 只表明两个平方根中的一个负的平方根 漏掉了一个正的平方根 2 混淆了平方根与算术平方根的概念 表示 144 的算术平方根 它是一个 144 非负数 错解中出现了增解 12 3 错在忽视了 3 142 即 3 142 0 或混淆了平方根与算术平方根的 概念 4 这里错误地将的平方根当成 16 的平方根 其实这里是求 16 的算术平方 16 根的平方根 该题将两个相近概念 算术平方根 和 平方根 含在一个小题中 正解 1 3 3 29 2 12 144 3 3 142 3 142 3 142 2 4 4 它的平方根是 2 16 例 5 2 求下列各式的值 1 2 3 4 8116 9 25 4 2 分析 分析 表示 81 的平方根 故其结果是一对相反数 表示 16 的负平方根 8116 故其结果是负数 表示的算术平方根 故其结果是正数 表示 4 2的算术 9 25 9 25 4 2 平方根 故其结果必为正数 解 解 1 92 81 9 81 2 42 16 4 16 5 3 2 3 5 9 25 9 25 3 5 4 42 4 2 4 4 2 释疑点释疑点 与平方根相关的三种符号 弄清与平方根有关的三种符号 的意义是解决这类问题的关键 表 aaaa 示非负数a的平方根 表示非负数a的算术平方根 表示非负数a的负平方根 注 aa 意 在具体解题时 的前面是什么符号 其计算结果就是什么符号 既不能 aa 漏掉 也不能多添 6 巧用算术平方根的两个 非负性 众所周知 算术平方根具有双重非负性 a 1 被开方数具有非负性 即a 0 2 本身具有非负性 即 0 这两个非负性形象 全面地反映了算术平方根的本质 aa 属性 在解决与此相关的问题时 若能仔细观察 认真地分析题目中的已知条件 并挖掘 出题目中隐含的这两个非负性 就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解 从而收到事 半功倍的效果 由于初中阶段学习的非负数有三类 即一个数的绝对值 一个数的平方 偶次方 和非 负数的算术平方根 关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题 一般情况下都是 它们的和等于 0 的形式 此类问题可以分成以下几种形式 1 算术平方根 平方数 绝对值三种中的任意两种组成一题 2 0 0 2 0 甚至同一道题目中同时出现这三个内容 2 0 2 题目中没有直接给出平方数 而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进 行变形 然后再利用非负数的性质进行计算 例 6 1 若 y 6 则x y x2 解析 解析 由有意义得x 0 故y 6 x2 答案 答案 0 6 例 6 2 若 m 1 0 则m n n 5 解析 解析 根据题意 得m 1 0 n 5 0 所以m 1 n 5 答案 答案 1 5 注 若几个非负数的和为 0 则每个数都为 0 例 6 3 如果y 2 013 成立 求x2 y 3 的值 x2 4 4 x2 x 2 分析 分析 由算术平方根被开方数的非负性知 x2