高考数学复习点拨 空间直角坐标系

用心 爱心 专心 空间直角坐标系空间直角坐标系 知能阐释知能阐释 一 知识精讲 1 空间直角坐标系 在空间直角坐标系中 三条坐标轴两两互相垂直 轴的方向通常这样选择 从z 轴的正方向看 x轴正半轴沿逆时针方向转 0 90 能与y轴的正半轴重合 让 右手拇指指向x轴的正方向 食指指向y轴的正方向 如果中指指向z 轴的正方 向 那么称这个坐标系为右手直角坐标系 一般情况下 建立的坐标系都是右 手直角坐标系 xOy 平面 通过x轴和y轴的平面 是坐标形如 0 x y的点构成的点集 其 中 x y为任意的实数 xOz平面 通过x轴和z 轴的平面 是坐标形如 0 xz 的点构成的点集 其 中 x z为任意的实数 yOz 平面 通过y轴和z 轴的平面 是坐标形如 0 y z 的点构成的点集 其 中 y z为任意的实数 2 构成x轴 y轴 z 轴的点的坐标特征 x轴是坐标形如 0 0 x的点构成的点集 其中x为任意实数 y轴是坐标形如 0 0 y的点构成的点集 其中y为任意实数 z 轴是坐标形如 0 0 z 的点构成的点集 其中z 为任意实数 3 空间中点的对称 在空间直角坐标系内 点 P x y z 的几种特殊的对称点坐标为 1 关于原点的对称点是 xyz 2 关于x轴的对称点是 xyz 3 关于y轴的对称点是 x yz 4 关于z 轴的对称点是 xy z 5 关于xOy 平面的对称点是 x yz 用心 爱心 专心 6 关于 yOz 平面的对称点是 x y z 7 关于zOx平面的对称点是 xy z 4 空间两点的距离公式 空间中两点 1111 P x y z 2222 P xyz的距离公式为 222 12121212 PPxxyyzz 特别地 点 A x y z 与原点间的距离公式为 222 OAxyz 二 范例剖析 例 1 求点 2 3 4 关于各个坐标平面对称点的坐标 解析 类比平面直角坐标系中点的对称问题 在考虑添加平面后的各种情况 关于xOy 平面的对称点的坐标为 2 3 4 关于xOz平面的对称点的坐标为 2 3 4 关于 yOz 平面的对称点的坐标为 2 3 4 评注 空间直角坐标系中 点M相对于某个坐标平面的两个坐标的确定方法 与平面直角坐标系中确定某点的坐标的方法是相同的 例 2 如图 在空间直角坐标系中 2BC 原点O是BC的中点 点A的坐 标是 3 1 0 22 点D在平面xOy 上 且 0 90BDC 0 30DCB 求点 D的坐标 A C y O E z D B 解析 过D作DEBC 垂足为E 在Rt BCD 中 由 0 90BDC 0 30DCB 2BC 得1BD 用心 爱心 专心 3CD 0 3 sin30 2 DECD 0 11 cos601 22 OEOBBEOBBD 点D的坐标为 13 0 22 评注 本题利用空间直角坐标系 将空间问题转化到坐标平面上解决 体现 了由空间向平面转化的降维思想 例 3 已知点 1 2 1 A 2 2 2 B 在z 轴上求一点P 使 PAPB 并求 点P的坐标 解析 点P在z 轴上 设点P的坐标为 0 0 z 由 PAPB 知 222222 0 1 02 1 20 20 2 zz 22 5 1 8 2 zz 3z 故点P的坐标为