1984年全国高中数学联赛试题及解析 苏教版

用心 爱心 专心1 19841984 年全国高中数学联赛试题年全国高中数学联赛试题 第一试 1 选择题 本题满分 40 分 每小题答对得 5 分答错得 0 分 不答得 1 分 集合S argZ 为常数 在复平面上的图形是 2 Z A 射线 argZ 2 B 射线 argZ 2 C 射线 argZ D 上述答案都不对 下列四个图形的阴影部分 不包括边界 满足不等式 logx logxy2 0 的是 y2 x y2 xy2 x y2 x x 1 x 1 x 1 x 1 1 D C B A Ox y O x y Ox y Ox y 1 1 1 1 1 11 对所有满足 1 n m 5 的m n 极坐标方程 表示的不同双曲线条数是 1 1 Cn mcos A 15 B 10 C 7 D 6 方程 sinx lgx的实根个数是 A 1 B 2 C 3 D 大于 3 若a 0 a 1 F x 是一个奇函数 则 G x F x 是 1 ax 1 1 2 A 奇函数 B 偶函数 C 不是奇函数也不是偶函数 D 奇偶性与a的具体数值有关 若F x 则下列等式中正确的是 1 x 1 x A F 2 x 2 F x B F x F 1 x 1 x C F x 1 F x D F F x x 若动点P x y 以等角速度 在单位圆上逆时针运动 则点Q 2xy y2 x2 的运动方式是 A 以角速度 在单位圆上顺时针运动 B 以角速度 在单位圆上逆时针运动 C 以角速度 2 在单位圆上顺时针运动 D 以角速度 2 在单位圆上逆时针运动 若四面体的一条棱长是x 其余棱长都是 1 体积是F x 则函数F x 在其定义域上 A 是增函数但无最大值 B 是增函数且有最大值 C 不是增函数但无最大值 D 不是增函数但有最大值 2 填充题 本题满分 10 分 每小题 5 分 如图 AB是单位圆的直径 在AB上任取一点D 作DC AB 交圆周于 C 若点D的坐标为D x 0 则当x 时 线段AD BD CD可以 构成锐角三角形 方程 cos cosx的通解是 在 0 24 内不相同的解 x 4 有 D C B A 1 1 y xO 用心 爱心 专心2 个 第二试 1 本题满分 15 分 下列命题是否正确 若正确 请给予证明 否则给出反例 若P Q是直线l同侧的两个不同点 则必存在两个不同的圆 通过P Q且与直线l相切 若a 0 b 0 且a 1 b 1 则 logab logba 2 设A B是坐标平面上的两个点集 Cr x y x2 y2 r2 若对任何r 0 都有Cr A Cr B 则必有A B 2 本题满分 10 分 已知两条异面直线a b所成的角为 它们的公垂线AA 的长度为d 在直线 a b上分别取点E F 设A E m AF n 求EF A 在直线a上 A在直线b上 3 本题满分 15 分 如图 在 ABC中 P为边BC上任意一点 PE BA PF CA 若S ABC 1 证明 S BPF S PCE S PEAF中至少有一个不小于 SXY Z表示多边形XY Z的面积 4 9 4 本题满分 15 分 设an是 12 22 32 n2的个位数字 n 1 2 3 试证 0 a1a2 an 是有理 数 用心 爱心 专心3 5 本题满分 15 分 设x1 x2 xn都是正数 求证 x1 x2 xn x2 1 x2 x2 2 x3 x 2 n 1 xn x2 n x1 用心 爱心 专心4 1984 年全国高中数学联赛试题解答 第一试 1 选择题 本题满分 40 分 每小题答对得 5 分答错得 0 分 不答得 1 分 集合S argZ 为常数 在复平面上的图形是 2 Z A 射线 argZ 2 B 射线 argZ 2 C 射线 argZ D 上述答案都不对 解 由于 argZ 0 2 故不存在答案B arg 2 故选D Z 下列四个图形的阴影部分 不包括边界 满足不等式 logx logxy2 0 的是 y2 x y2 xy2 x y2 x x 1 x 1 x 1 x 1 1 D C B A Ox y O x y Ox y Ox y 1 1 1 1 1 11 解 当 0 xy2 x 0 当x 1 时 得y2 x 1 选D 对所有满足 1 n m 5 的m n 极坐标方程 表示的不同双曲线条数是 1 1 Cn mcos A 15 B 10 C 7 D 6 解 由e C 若表示双曲线 则e 1 由C 1 可得m n的不同取值为 n m n m C 5 C 10 C 4 C 6 C 3 C 2 共有 6 个不同的值 故选D 1 5 2 5 1 4 2 4 1 3 1 2 方程 sinx lgx的实根个数是 A 1 B 2 C 3 D 大于 3 解 作y sinx及y lgx的图象 当x 10 时 lgx 1 故二者只在 0 10 内可能有交点 经作图可知 二者在 0 内有一交点 在 2 3 内有一交点 选C 若a 0 a 1 F x 是一个奇函数 则 G x F x 是 1 ax 1 1 2 A 奇函数 B 偶函数 C 不是奇函数也不是偶函数 D 奇偶性与a的具体数值有关 解 G x F x 故G x G x 且G x 的定义域是F x 的定义域与 x x 0 x R R 的 ax 1 2 ax 1 交集 为以原点为对称的区域 故选B 若F x 则下列等式中正确的是 1 x 1 x A F 2 x 2 F x B F x F 1 x 1 x C F x 1 F x D F F x x 解 令t 得x 即F t 经一一验证 知F 2 x 2 F x 选A 1 x 1 x 1 t 1 t 1 t 1 t 若动点P x y 以等角速度 在单位圆上逆时针运动 则点Q 2xy y2 x2 的运动方式是 A 以角速度 在单位圆上顺时针运动 用心 爱心 专心5 B 以角速度 在单位圆上逆时针运动 C 以角速度 2 在单位圆上顺时针运动 D 以角速度 2 在单位圆上逆时针运动 解 令x cos t y sin t 则 2xy sin2 t cos 2 t 3 2 y2 x2 cos2 t sin 2 t 显然 2 t与 t旋转方向相反 故选C 3 2 若四面体的一条棱长是x 其余棱长都是 1 体积是F x 则函数F x 在其定义域上 A 是增函数但无最大值 B 是增函数且有最大值 C 不是增函数但无最大值 D 不是增函数但有最大值 解 定义域为 0 x 当x 时 F x 最大 故选D 3 3 2 2 填充题 本题满分 10 分 每小题 5 分 如图 AB是单位圆的直径 在AB上任取一点D 作DC AB 交圆周于 C 若点D的坐标为D x 0 则当x 时 线段AD BD CD可以 构成锐角三角形 解 由对称性 先考虑 0 xa2 即 1 x 1 x 1 x 2 1 x 2 解得 0 x 2 5 2 x 2 55 方程 cos cosx的通解是 在 0 24 内不相同的解有 个 x 4 解 2k x x k 与x m x 4 8 3 8 5 当 0 k 24 时 k 1 2 8 当 0 m0 b 0 且a 1 b 1 则 logab logba 2 设A B是坐标平面上的两个点集 Cr x y x2 y2 r2 若对任何r 0 都有Cr A Cr B 则必有A B 解 若PQ l 则只能作出一个圆过P Q且与直线l相切 若a 1 0 b 1 则 logab logba 2 A x y x2 y2 r2 B x y 0 x2 y2 r2 于是Cr A Cr B恒成立 但不满足A B 2 本题满分 10 分 已知两条异面直线a b所成的角为 它们的公垂线AA 的长度为d 在直线 a b上分别取点E F 设A E m AF n 求EF A 在直线a上 A在直线b上 解 EF 证明见课本 m2 n2 d2 2mncos 3 本题满分 15 分 如图 在 ABC中 P为边BC上任意一点 PE BA PF CA 若S ABC 1 证明 S BPF S PCE S PEAF中至少有一个不小于 SXY Z表示多边形XY Z的面积 4 9 证明 如图 三等分BC于M N 若点P在BM上 含点M 则由于 D C B A 1 1 y xO BC A E F P MN 用心 爱心 专心6 PE AB 则 CPE CBA CP CB 于是S PCE 同理 若P在NC上 含点N 则S BPF 2 3 4 9 4 9 若点P在线段MN上 连EF 设 r r 则 1 r BP BC 1 3 2 3 CP BC S BPF r2 S PCE 1 r 2 S BPF S PCE r2 1 r 2 2r2 2r 1 2 r 1 2 2 2 2 1 2 1 3 1 2 1 2 5 9 于是S AEPF 4 9 故命题成立 4 本题满分 15 分 设an是 12 22 32 n2的个位数字 n 1 2 3 试证 0 a1a2 an 是有理 数 解 由于 12 22 n2的个位数字只与 1 到n的个位数字的平方和有关 故只要考虑这些数的个位数字 的平方 但 12 1 22 4 32 9 42 6 52 5 62 6 72 9 82 4 92 1 02 0 mod 10 a1 1 a2 5 a3 4 a4 0 a5 5 a6 1 a7 0 a8 4 a9 5 a10 5 a11 6 a12 0 a13 9 a14 5 a15 0 a16 6 a17 5 a18 9 a19 0 a20 0 由a20 0 知 a20k r ar k r N N 0 r 19 并记a0 0 即 0 a1a2 an 是一