浙江省嘉兴一中2012-2013学年高一数学下学期期初考试试题（含解析）

1 2012 20132012 2013 学年浙江省嘉兴一中高一 下 期初数学试卷学年浙江省嘉兴一中高一 下 期初数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 共分 共 3636 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 把答案填在答卷相应空格中 有一项是符合题目要求的 把答案填在答卷相应空格中 1 3 分 2010 深圳二模 若 U 1 2 3 4 M 1 2 N 2 3 则 U M N A 1 2 3 B 2 C 1 2 3 D 4 考点 交 并 补集的混合运算 专题 计算题 分析 利用两个集合的并集的定义求出 M N 再利用集合的补集的定义求出 CU M N 解答 解 M N 1 2 2 3 1 2 3 CU M N 4 故选 D 点评 本题考查集合的表示方法 集合的补集 两个集合的并集的定义和求法 求出 M N 是解题的关键 2 3 分 某种动物繁殖量 y 只 与时间 x 年 的关系为 y alog3 x 1 设这种动物 第 2 年有 100 只 到第 8 年它们将发展到 A 200 只 B 300 只 C 400 只 D 500 只 考点 对数函数 指数函数与幂函数的增长差异 专题 计算题 分析 根据这种动物第 2 年有 100 只 先确定函数解析式 再计算第 8 年的繁殖数量即 可 解答 解 由题意 繁殖数量 y 只 与时间 x 年 的关系为 y alog3 x 1 这种动物 第 2 年有 100 只 100 alog3 2 1 a 100 y 100log3 x 1 当 x 8 时 y 100 log3 8 1 100 2 200 故选 A 点评 本题主要考查了学生对函数解析式的理解 以及考查运算能力 属于基础题 2 3 3 分 已知角 的正弦线和余弦线长度相等 且 的终边在第二象限 则 tan A 0B 1C 1D 考点 三角函数线 专题 计算题 三角函数的求值 分析 根据题意 角 的正弦的绝对值和余弦线的绝对值相等 因此可得 tan 1 结 合 的终边在第二象限 可得 tan 的值 解答 解 角 的正弦线和余弦线长度相等 sin cos 两边都除以 cos 得 tan 1 因此 tan 1 又 的终边在第二象限 tan 0 可得 tan 1 故选 C 点评 本题给出角 的正 余弦的绝对值相等 求角 的正切值 着重考查了三角函数 线的概念和同角三角函数基本关系等知识 属于基础题 4 3 分 下列格式正确的是 A B loga b c logab logac a 0 a 1 C a2a4a8 a2 4 8D ab n anbn n N 考点 对数的运算性质 有理数指数幂的化简求值 专题 计算题 分析 loga b c logab logac a 0 a 1 a2a4a8 a2 4 8 ab n anbn n N 解答 解 故 A 不正确 loga b c logab logac a 0 a 1 故 B 不正确 a2a4a8 a2 4 8 故 C 不正确 ab n anbn n N 故 D 正确 故选 D 点评 本题考查对数和指数的性质和运算法则 是基础题 解题时要认真审题 仔细解 答 3 5 3 分 方程 log3x 3 x 的解所在区间是 A 0 2 B 2 3 C 1 2 D 3 4 考点 函数的零点与方程根的关系 专题 计算题 数形结合 转化思想 分析 方程的解所在的区间 则对应的函数的零点在这个范围 把原函数写出两个初等函 数 即两个初等函数的交点在这个区间 结合两个函数的草图得到函数的交点的位 置在 1 3 再进行进一步检验 解答 解 方程 log3x x 3 的解 根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在 1 3 因 m x log3x x 3 在 1 2 上不满足 m 1 m 2 0 方程 log3x x 3 0 的解所在的区间是 2 3 故选 B 点评 本题考查函数零点的检验 考查函数与对应的方程之间的关系 是一个比较典型的 函数的零点的问题 注意解题过程中数形结合思想的应用 属基础题 6 3 分 已知 f cosx sin2x 则 f sin30 的值为 A B C D 考点 函数的值 诱导公式的作用 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 由诱导公式可知 sin30 cos60 然后代入已知函数解析式即可求解 解答 解 f cosx sin2x 则 f sin30 f cos60 sin120 4 故选 D 点评 本题主要考查了函数的 函数值的求解 解题的关键是诱导公式的应用把 sin30 化 为 cos60 7 3 分 已知向量 1 2 0 1 设 2 若 则实数 k 的值为 A 1B 1C D 考点 平行向量与共线向量 平面向量的坐标运算 专题 平面向量及应用 分析 根据向量坐标运算求出 的坐标表示 再根据共线向量定理求解 解答 解 2 2 0 4 1 2 3 k 1 k 0 2 k 1 k 2 2 k 故选 D 点评 本题考查向量坐标运算及共线向量定理 8 3 分 已知 则的值是 A B C 2D 2 考点 三角函数的化简求值 专题 计算题 分析 利用化简 得结果为 1 进而根据的值 求得 则答案取倒数即可 解答 解 1 2 5 故选 A 点评 本题主要考查了三角函数的化简求值 解题过程灵活利用了同角三角函数的基本关 系 通过 1 巧妙的解决了问题 9 3 分 如图 两块全等的直角边长为 1 的等腰直角三角形拼在一起 若 D B k C 则 k A B C 2D 考点 向量在几何中的应用 专题 计算题 平面向量及应用 分析 如图 以 A 为原点 AB AC 所在直线分别为 x y 轴建立直角坐标系 可得 A B C D 各点的坐标 从而得到向量 坐标 结合题意可算出 和 k 的值 进而得到 k 的值 解答 解 以 A 为原点 AB AC 所在直线分别为 x y 轴建立如图直角坐标系 可得 A 0 0 B 1 0 C 0 1 ABC CDE 是直角边长为 1 的等腰直角三角形 因此 向量 0 1 1 1 0 k 0 1 k k 1 可得 k 1 故选 A 6 点评 本题给出两个全等的等腰直角三角形 在已知向量等式的情况下求 k 的值 着重 考查了平面向量的线性运算 坐标运算和向量在几何中的应用等知识 属于基础 题 10 3 分 已知 sin cos 其中 则下列结论正确的 是 A m 3 9 B m 5 3 C m 0 或 m 8 D m 8 考点 同角三角函数间的基本关系 专题 三角函数的求值 分析 由 的范围判断出 sin 与 cos 的正负 列出关于 m 的不等式组 求出不等式组 的解集即可得到 m 的范围 再利用同角三角函数间的基本关系列出关于 m 的方程 求出方程的解即可得到 m 的值 解答 解 sin 0 cos 0 且 2 2 1 整理得 1 即 5m2 22m 25 m2 10m 25 即 m m 8 0 解得 m 0 或 m 8 将 m 0 代入检验不合题意 舍去 则 m 8 故选 D 点评 此题考查了同角三角函数间的基本关系 熟练掌握基本关系是解本题的关键 11 3 分 设函数 f x lg x2 ax a 1 给出下述命题 函数 f x 的值域为 R 7 函数 f x 有最小值 当 a 0 时 函数 f x 为偶函数 若 f x 在区间 2 上单调递增 则实数 a 的取值范围 a 4 正确的命题是 A B C D 考点 对数函数的单调性与特殊点 专题 阅读型 分析 由已知中函数 f x lg x2 ax a 1 我们易判断出其真数部分的范围 结合对 数函数的性质可判断 与 的真假 由偶函数的定义 可判断 的正误 再由复合 函数单调性的判断方法及函数的定义域 可判断 的对错 进而得到结论 解答 解 u x2 ax a 1 的最小值为 a2 4a 4 0 函数 f x 的值域为 R 为真命题 但函数 f x 无最小值 故 错误 当 a 0 时 易得 f x f x 即 函数 f x 为偶函数正确 若 f x 在区间 2 上单调递增 则 解得 a 3 故 错误 故选 A 点评 本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点 对数函数的定义和值域 偶函数 及复合函数的单调性 是一道函数的综合应用题 其中 中易忽略真数部分必须大 于 0 而错判为真命题 12 3 分 2013 浙江二模 已知函数 若关于 x 的方程 f x2 2x a a R 有六个不同的实根 则 a 的取值范围是 A 2 8 B 2 9 C 8 9 D 8 9 考点 函数的零点与方程根的关系 专题 压轴题 函数的性质及应用 分析 令 t x2 2x 则 t 1 f t 由题意可得 函数 8 f t 的图象与直线 y a 有 3 个不同的交点 且每个 t 值有 2 个 x 值与之对应 数 形结合可得 a 的取值范围 解答 解 令 t x2 2x 则 t 1 函数 f t 由题意可得 函数 f t 的图象与直线 y a 有 3 个不同的交点 且每个 t 值有 2 个 x 值与之对应 如图所示 由于当 t 1 时 f t 8 此时 t 1 对应的 x 值只有一个 x 1 不满足条件 故 a 的取值范围是 8 9 故选 C 点评 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系 体现了数形结合的数学思想及等价转 化的数学思想 属于中档题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 共分 共 1818 分 把答案填在答卷中相应横线上 分 把答案填在答卷中相应横线上 13 3 分 已知角 的终边经过点 P x 6 且 则 x 的值为 10 考点 任意角的三角函数的定义 分析 由于 可以得到关于 x 的方程 求解即可 解答 解 由三角函数的定义可知 所以 x 10 故答案为 10 点评 本题考查任意角的三角函数的定义 是基础题 14 3 分 已知幂函数 f x xm的图象过点 2 则 9 考点 函数的值 幂函数的概念 解析式 定义域 值域 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 由幂函数 f x xm的图象过点 2 解得 m 故 f x 由此能求出 f 解答 解 幂函数 f x xm的图象过点 2 解得 m f x f 故答案为 点评 本题考查幂函数的性质及其应用 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 15 3 分 已知 则 考点 诱导公式的作用 同角三角函数间的基本关系 专题 计算题 分析 利用条件及诱导公式求得 sin 再利用诱导公式化简要求的式子为 cos 再 利用同角三角函数的基本关系求出结果 解答 解 已知 sin sin cos 10 故答案为 点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用 诱导公式的应用 属于基础题 16 3 分 若 tan 2 则 考点 任意角的三角函数的定义 同角三角函数间的基本关系 专题 计算题 分析 把的分子分母同除以 cos cos2 化为它的分 子分母同除以 cos2 然后代入 tan 2 求出结果 解答 解 故答案为 点评 本题考查任意角的三角函数的定义 同角三角函数间的基本关系 考查计算能力 是基础题 17 3 分 2009 天津 在四边形 ABCD 中 1 1 则四边形 ABCD 的面积是 考点 向量的线性运算性质及几何意义 专题 压轴题 分析 根据题意知四边形 ABCD 是菱形 其边长为 且对角线 BD 等于边长的倍 再 由向量数量积运算的反应用可得和 最终可 得四边形 ABCD 的面积 解答 解 由题 可知平行四边形 ABCD 的角平分线 BD 平分 ABC 四边形 ABCD 是菱形 其边长为 且对角线 BD 等于边长的倍 所以 故 11 故答案为 点评 本小题考查向量的几何运算 基础题 18 3 分 对函数 y f x x1 x x2 设点 A x1 y1 B x2 y2 是图象上的两端 点 O 为坐标原点 且点 N 满足 1 0 点 M x y 在函数 y f x 的图象上 且 x x1 1 x2 则称 MN 的最大值为函数的 高度 则函数 f x x2 2x 1 在区间 1 3 上的 高度 为 4 考点 二次函数的性质 平面向量的基本定理及其意义 专题 新定义 函数的性质及应用 分析 利用向量共线即可得出点 N 的坐标及 的取值范围 利用两点间的距离公式即可得 出 MN 再二次函数的单调性即可得出 解答 解 由函数 f x x2 2x 1 及区间 1 3 可得区间端点 A 1 2 B 3 2 3 4 2 N 3 4 2 点 N 满足 1 0 0 1 xM 3 4 yM 3 4 2 2 3 4 1 16 2 16 2 MN 16 2 16 0 1 MN 4 函数 f x x2 2x 1 在区间 1 3 上的 高度 为 4 故答案为 4 点评 正确理解新定义 向量共线 二次函数的单调性是解题的关键 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 4646 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 19 7 分 集合 A x x2 px 15 0 和 B x x2 ax b 0 若 A B 2 3 5 A B 3 分别求实数 p a b 的值 考点 交集及其运算 并集及其运算 专题 计算题 分析 因为 A B 3 所以 3 A 从而可得 p 8 又由于 3 A 且 A B 2 3 5 方程 x2 ax b 0 的二根为 2 和 3 由韦达定理可得 a b 从而解决问题 12 解答 解 因为 A B 3 所以 3 A 从而可得 p 8 所以 A 3 5 4 分 又由于 3 A 且 A B 2 3 5 所以 B 2 3 6 分 所以方程 x2 ax b 0 的二根为 2 和 3 由韦达定理可得 a 5 b 6 综上可知 p 8 a 5 b 6 10 分 点评 本题考查学生的等价转化能力 将所求的取值化为相应的方程通过求解方程解出答 案 正确进行转化是解决该题的关键 20 7 分 已知函数 f x x2 2ax 2 x 5 5 1 当 a 1 时 求函数的最大值和最小值 2 求实数 a 的取值范围 使 y f x 在区间 5 5 上是单调减函数 考点 二次函数在闭区间上的最值 二次函数的性质 专题 计算题 综合题 函数的性质及应用 分析 1 当 a 1 时 f x x2 2x 2 可得区间 5 1 上函数为减函数 在区间 1 5 上函数为增函数 由此可得 f x max 37 f x min 1 2 由题意 得函数 y f x 的单调减区间是 a 由 5 5 a 解出 a 5 即为实数 a 的取值范围 解答 解 1 当 a 1 时 函数表达式是 f x x2 2x 2 函数图象的对称轴为 x 1 在区间 5 1 上函数为减函数 在区间 1 5 上函数为增函数 函数的最小值为 f x min f 1 1 函数的最大值为 f 5 和 f 5 中较大的值 比较得 f x max f 5 37 综上所述 得 f x max 37 f x min 1 6 分 2 二次函数 f x 图象关于直线 x a 对称 开口向上 函数 y f x 的单调增区间是 a 单调减区间是 a 由此可得当 5 5 a 时 即 a 5 时 f x 在 5 5 上单调减 解之得 a 5 即当 a 5 时 y f x 在区间 5 5 上是单调减函数 6 分 点评 本题给出含有参数的二次函数 讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值 着 重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识 属于基础题 21 8 分 2009 襄阳模拟 已知 A B C 三点的坐标分别为 A 3 0 B 0 3 C cos sin 1 若 求角 的值 2 若 求的值 考点 三角函数的化简求值 三角函数中的恒等变换应用 专题 计算题 13 分析 1 根据两向量的模相等 利用两点间的距离公式建立等式求得 tan 的值 根据 的范围求得 2 根据向量的基本运算根据求得 sin 和 cos 的关系式 然后同 角和与差的关系可得到 再由 可确定答 案 解答 解 1 化 简得 tan 1 2 cos 3 sin cos sin 3 1 点评 本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题 三角函数与向量的综 合题是高考的重点 每年必考的 一定多复习 22 8 分 已知向量 cos sin 1 求证 2 若存在不等于 0 的实数 k 和 t 使 t2 3 k t 满足 试求此时的最小值 考点 数量积判断两个平面向量的垂直关系 三角函数中的恒等变换应用 专题 计算题 证明题 分析 1 利用向量的数量积公式求出 利用三角函数的诱导公式化简得数量积为 14 0 利用向量垂直的充要条件得证 2 利用向量垂直的充要条件列出方程 利用向量的运算律化简方程 将方程中的 k 用 t 表示 代入 利用二次函数最值的求法求出最小值 解答 解 1 证明 cos cos sin sin sin cos sin cos 0 2 解由得 0 即 t2 3 k t 0 k t3 3t t2 k t 3 0 k t3 3t 0 又 1 1 k t3 3t 0 k t3 3t t2 t 3 2 故当 t 时 有最小值 点评 本题考查向量垂直的充要条件 向量的运算律 二次函数最值的求法 23 8 分 已知偶函数 f x log4 4x 1 kx k R 求 k 的值 设 若函数 f x 与 g x 的图象有且只有一个 公共点 求实数 a 的取值范围 考点 对数函数图象与性质的综合应用 专题 计算题 压轴题 分析 根据偶函数可知 f x f x 取 x 1 代入即可求出 k 的值 函数 f x 与 g x 的图象有且只有一个公共点 则方程 f x g x 有 且只有一个实根 化简可得有且只有一个实根 令 t 2x 0 则转化成方程有且只有一个正根 讨论 a 1 以及 0 与一个正根和一个负根 三种情形 即可求出实数 a 的取值范围 15 解答 解 由 f x f x 得到 f 1 f 1 log4 4 1 1 k log4 4 1 k 函数 f x 与 g x 的图象有且只有一个公共点 即方程有且只有一个实根 化简得 方程有且只有一个实根 令 t 2x 0 则方程有且只有一