浙江省2013年高考数学第二轮复习 专题升级训练27 解答题专项训练(立体几何) 文

1 专题升级训练专题升级训练 2727 解答题专项训练解答题专项训练 立体几何立体几何 1 下图是一个几何体的直观图及它的三视图 其中正 主 视图为直角梯形 俯视图为正 方形 侧 左 视图为直角三角形 尺寸如图所示 1 求四棱锥P ABCD的体积 2 若G为BC的中点 求证 AE PG 2 有一根长为 3 cm 底面半径为 2 cm 的圆柱形铁管 用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端 则铁丝的最短长度为多少 3 如图 AA1 BB1为圆柱OO1的母线 BC是底面圆O的直径 D E分别是AA1 CB1的 中点 DE 平面CBB1 1 证明 DE 平面ABC 2 求四棱锥C ABB1A1与圆柱OO1的体积比 4 如图所示 平面ABCD 平面ABEF ABCD是正方形 ABEF是矩形 且AF AD 2 G 1 2 是EF的中点 1 求证 平面AGC 平面BGC 2 求三棱锥A GBC的体积 5 已知正四面体ABCD 图 1 沿AB AC AD剪开 展成的平面图形正好是 图 2 所示 的直角梯形A1A2A3D 梯形的顶点A1 A2 A3重合于四面体的顶点A 2 1 证明 AB CD 2 当A1D 10 A1A2 8 时 求四面体ABCD的体积 6 如图 已知三棱锥P ABC中 PA 平面ABC AB AC PA AC AB N为AB上一点 1 2 AB 4AN M D S分别为PB AB BC的中点 1 求证 PA 平面CDM 2 求证 SN 平面CDM 7 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱与底面垂直 ABC 90 AB BC BB1 2 M N分别是AB A1C的中点 1 求证 MN 平面BCC1B1 2 求证 MN 平面A1B1C 3 求三棱锥M A1B1C的体积 8 一个多面体的直观图和三视图如图所示 其中M G分别是AB DF的中点 1 求证 CM 平面FDM 2 在线段AD上 含A D端点 确定一点P 使得GP 平面FMC 并给出证明 3 4 参考答案参考答案 1 解 解 1 由几何体的三视图可知 底面ABCD是边长为 4 的正方形 PA 面 ABCD PA EB 且PA 4 BE 2 AB AD CD CB 4 所以VP ABCD PA S正方形 22 1 3 ABCD 4 4 4 1 32 64 2 3 2 证明 连接BP 因为 EBA BAP 90 EB AB BA PA 1 2 所以 EBA BAP 所以 PBA AEB 所以 PBA BAE BEA BAE 90 所以PB AE 由题易证BC 平面APEB 所以BC AE 又因为PB BC B 所以AE 平面PBC 因为PG 平面PBC 所以AE PG 2 解 解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开 在平面上得到矩形ABCD 如图 由题意知 BC 3 cm AB 4 cm 点A与点C分别是铁丝的起 止位置 故线段AC的长度即为铁 丝的最短长度 AC 5 cm AB2 BC2 故铁丝的最短长度为 5 cm 3 1 证明 连接EO OA E O分别为B1C BC的中点 EO BB1 又DA BB1 且DA EO BB1 1 2 四边形AOED是平行四边形 即DE OA 又DE平面ABC AO 平面ABC DE 平面ABC 2 解 解 由题意知DE 平面CBB1 且由 1 知DE OA AO 平面CBB1 AO BC AC AB 因BC是底面圆O的直径 得CA AB 而AA1 CA AA1 AB A CA 平面 AA1B1B 即CA为四棱锥的高 设圆柱高为h 底面半径为r 5 则V柱 r2h V锥 h r r hr2 1 3 22 2 3 V锥 V柱 2 3 4 1 证明 G是矩形ABEF的边EF的中点 AG BG 2 22 222 从而得 AG2 BG2 AB2 AG BG 又 平面ABCD 平面ABEF 平面ABCD 平面ABEF AB 且BC AB BC 平面ABEF AG 平面ABEF BC AG BC BG B AG 平面BGC AG 平面AGC 平面AGC 平面BGC 2 解 解 由 1 得 BC 平面ABEF CB是三棱锥A GBC的高 而S ABG 2 2 4 1 222 VA GBC VC ABG 4 4 1 3 16 3 5 1 证明 在四面体ABCD中 Error AB 平面ACD AB CD 2 解 解 在题图 2 中作DE A2A3于E A1A2 8 DE 8 又 A1D A3D 10 EA3 6 A2A3 10 6 16 又A2C A3C A2C 8 即图 1 中AC 8 AD 10 由A1A2 8 A1B A2B得题图 1 中AB 4 S ACD DE A3C 8 8 32 3 A CD S 1 2 1 2 又 AB 面ACD VB ACD 32 4 1 3 128 3 6 证明 1 在三棱锥P ABC中 因为M D分别为PB AB的中点 所以MD PA 因为MD 平面CMD PA平面CMD 所以PA 平面CMD 2 因为M D分别为PB AB的中点 所以MD PA 因为PA 平面ABC 所以MD 平面ABC 又SN 平面ABC 所以MD SN 在 ABC中 连接DS 因为D S分别为AB BC的中点 所以DS AC且DS AC 1 2 又AB AC 所以 ADS BAC 90 因为AC AB 所以AC AD 1 2 所以 ADC 45 因此 CDS 45 6 又AB 4AN 所以DN AD AC 1 2 1 2 即DN DS 故SN CD 又MD CD D 所以SN 平面CMD 7 1 证明 连接BC1 AC1 由题知点N在AC1上且为AC1的中点 M是AB的中点 MN BC1 又 MN平面BCC1B1 MN 平面BCC1B1 2 证明 三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱与底面垂直 四边形BCC1B1是正方形 BC1 B1C MN B1C 连接A1M 由 ABC MAA1 90 BM AM BC AA1得 AMA1 BMC A1M CM 又N是A1C 的中点 MN A1C B1C与A1C相交于点C MN 平面A1B1C 3 解 解 由 2 知MN是三棱锥M A1B1C的高 在直角 MNC中 5MC 3NC 2MN 又 MN 1 1 2 2 A B C S 1 1 MA B C V 1 3 1 1 A B C S 4 3 8 证明 由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD DF DF AD a 1 FD 平面ABCD CM 平面ABCD FD CM 在矩形ABCD中 CD 2a AD a M为