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文档简介
1 一道课本习题的探究一道课本习题的探究 教科书资源的开发与利用之必修 2 摘要摘要 从近几年的高考题来看 以三视图为载体 考查空间想象能力的题型格外引人注 目 这类问题的关键是由三视图得出几何体的直观图 由三视图标出几何量 再进行计算 或者证明 下面以人教课标 A 版高中必修 2 的第 21 面习题 1 2 第 5 题为例 结合近几年的 高考题 来探讨这类题型 关键词 关键词 三视图 直观图 计算 证明 课本习题 课本习题课本习题 如图 已知几何体的三视图 想象对应的几何体的结构特征 并画出它的直观 图 解析解析 由几何体的三视图知 上部分是由一个圆锥 下部分是一个正四棱柱 它的直观图如 上右图所示 一 由三视图想象几何体的直观图一 由三视图想象几何体的直观图 1 2011 浙江 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可 以是 B 二 三视图中知二求一二 三视图中知二求一 2 2011 课标全国 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如图所示 则相应的侧视图可 以为 解析解析 几何体是由半个圆锥和一个三棱锥构成 故选 D 2 三 由直观图确定三视图中部分图三 由直观图确定三视图中部分图 3 2009 上海 如图所示 已知三棱锥的底面是直角三角形 直角边长分别为 3 和 4 过直角顶点的侧棱长为 4 且垂直于底面 该三棱锥的主视图是 解析解析 根据 长对正 高平齐 宽相等 可得其主视图为选项 B 四 由三视图标出几何量 计算高 体积 表面积四 由三视图标出几何量 计算高 体积 表面积 4 2010 湖南 如图所示的三个直角三角形是一个体积为的几何体 3 20cm 的三视图 则 hcm 解析解析 由三视图可知 棱锥的三条长分别为 5 6 且侧棱两两垂直 故h 4 4 2065 2 1 3 1 故填 hhV 5 2009 辽宁 设某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 3 m 解析解析 这个空间几何体是一个三棱锥 这个三棱锥的高为 2 底面是一个一条边长为 4 这条边上的高为 3 的等腰三角形 故其体积 4234 2 1 3 1 V 6 2011 北京 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的表面积是 A 32 B C 48 D 21616 23216 解析解析 由三视图得四棱锥为正四棱锥 其高为 PO 2 斜高 PE 所以其22 表面积 故选 B 21616224 2 1 444 五 由三视图标出几何量 进行计算和证明五 由三视图标出几何量 进行计算和证明 7 2009 广东 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示 墩的上半部分是正四棱 下半部分是长方体 图 2 3 分别是该标识墩的正视图EFGHP EFGHABCD 和俯视图 1 请画出该安全标识墩的侧 左 视图 2 求该安全标识墩的体积 单位为 m 3 3 证明 直线 PEGBD平面 分析分析 1 根据正视图和俯视图可以知道其侧视图和正视图是完全相同的 2 根据两个 视图给出的标记 这个安全墩的下半部分是一个底面边长为 40 高为 20的长方cmcm 体 上半部分四棱锥的高为 60 根据公式计算即可 3 根据正四棱锥的性质进行cm 证明 解析解析 1 该安全标识墩侧 左 视图如图所示 2 该安全标识墩的体积 EFGHABCDEFGHP VVV 322 6400020406040 3 1 cm 3 如图所示 连接 HF EG 由题设知四边形 ABCD 和四边形 EFGH 均为正方形 EGFH 设点 O 是 EFGH 的对称中FHBDEFGHABCD 为长方体又 心 连接 PO 是正四棱锥EFGHP EFGHPO平面 EFGHFH平面而 FHPO OEGPOEGFHPOFH PEGEGPEGPO平面平面 PEGFH平面 PEGBDFHBD平面故而 8 试题调研 一个四棱锥的三视图如图所示 1 求证 PA BD 2 在线段 PD 上是否存在一点 Q 使二面角 Q AC D 的平面 角为 30o 若存在 求的值 若不存在 说明理由 DQ DP 分析 分析 根据已知的三视图知 这个四棱锥是一个正四棱锥 底面是边长为 2 的正方形 侧 面的高为的等腰三角形 7 解析 解析 1 由分析知 P ABCD 为正四棱锥 ABCD 为正方形 且 PA PB PC PD 连接 AC BD 且交于点 O 连接 PO 则 PO平面 ABCD BD AC BD PO ACPO O BD 平面 PAC PA平面 PAC BD PA 2 由三视图可知 BC CD 2 可算出 PD 2 假设存在这样的点 Q 2 AC平面 PBD OQ平面 PBD AC OQ 又 AC OD DOQ 为二面角 Q AC D 的平面角 由已知得PDB 是边长为 2的等腰三角形 2 PD 2 PDO 60o 2 在 DQO 中 PDO 60o 又 QOD 30o DQO 900 即 OQ DP O Q 4 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 1 2 1 1 2 1 在QOD 中 DO DB QOD 30o QD OD Rt 2 1 2 2 12 2 4 1 22 2 2 DP DQ 创新创新 已知一四棱锥 P ABCD 的三视图如下 E 是侧棱 PC 上的动点 1 是否不论点 E 在何位置 都有 BD AE 证明你的结论 2 求四棱锥 P ABCD 的侧面积 3 若 E 是侧棱 PC 的中点 在侧棱 PB 上找一点 F 使 EF 平面 ADP 分析 分析 由该四棱锥的三视图可知 该四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 侧棱 PC 底面 ABCD 且 PC 2 解析 解析 1 不论点 E 在何位置 都有 BD AE 证明如下 连结 AC ABCD 是正方形 BD AC PC 底面 ABCD 且平面 BD PC BD ABCD 又 由 知 BD 平面 PAC ACPCC 不论点 E 在何位置 都有 AE平面 PAC 不论点 E 在何位置 都有 BD AE 2 由分析知 PC CD PC BC CD CB Rt PCD R PCB AB BC AB PC AB 平面 PCB BCPCC PB平面 PBC AB PB 同理 AD PD 四棱锥 P ABCD 的侧面积 2 PCDPADPAB SSSS 2 111 2 222 CD PCAB PBAD PD 5 3 当 F 是侧棱 PB 的中点时 EF 平面 ADP 证明如下 E F 分别为 PC PB
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