浙江省湖州市2013届高三数学二模试题 文（含解析）新人教A版

1 20132013 年浙江省湖州市高考数学二模试卷 文科 年浙江省湖州市高考数学二模试卷 文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 目要求的 1 5 分 2012 顺河区一模 已知全集 U 1 2 3 4 5 6 M 2 3 5 N 4 5 则集合 1 6 A M NB M NC CU M N D CU M N 考点 交 并 补集的混合运算 专题 计算题 分析 先求出集合 M 和集合 N 的补集 然后根据交集的定义和并集的定义进行逐一进行判定即可 解答 解 CUM 1 4 6 CUN 1 2 3 6 选项 A M N 1 2 3 4 6 不满足题意 选项 B M N 5 不满足题意 选项 C CU M N 1 6 满足题意 选项 D CU M N 1 2 3 4 6 不满足题意 故选 C 点评 本题主要考查了集合的交 并 补集的混合运算 属于基础题 2 5 分 2008 福建 a 1 是 直线 x y 0 和直线 x ay 0 互相垂直 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 分析 验证 比较易 对于 只须两线斜率乘积为 1 即可 解答 解 a 1 时 直线 x ay 0 为 x y 0 x y 0 和 x y 0 互相垂直 充分条件成立 直线 x y 0 和直线 x ay 0 互相垂直 两线斜率乘积为 1 1 1 所以 a 1 必要条件成立 因而是充分必要条件 故选 C 点评 本题主要考查直线与直线垂直的判定 以及充要条件 是基础题目 3 5 分 2012 安徽模拟 复数表示复平面内的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 考点 复数代数形式的乘除运算 复数的代数表示法及其几何意义 专题 计算题 分析 复数的分子与分母同乘分母的共轭复数 化简为 a bi 的形式 即可推出结果 解答 解 故它所表示复平面内的点是 2 故选 A 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算 复数的代数表示法及其几何意义 考查计算能力 4 5 分 2012 漳州模拟 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 考察下列命题 其 中真命题是 A m n m n B m m n n C m n m n D m n m n 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 专题 计算题 分析 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间位置关系的判定 我们要根据空间中线面关系的判定及 性质定理对四个结论逐一进行判断 若 m n m n 时 可能平行 也可能相交 不一定垂直 若 m n 时 m 与 n 可能平行 相交或异面 不一定垂直 m 时 与线面垂直的判定定理比较缺少条件 n 则 n 不一定成立 解答 解 A m n m n 时 可能平行 也可能相交 不一定垂直 故 A 不正确 B 当 m 时 若 n m n 则 n 但题目中无条件 n 故 B 也不一定成 立 C m n 时 m 与 n 可能平行 相交或异面 不一定垂直 故 C 错误 D m n 时 m 与 n 一定垂直 故 D 正确 故选 D 点评 判断或证明线面平行的常用方法有 利用线面平行的定义 无公共点 利用线面平行的判定 定理 a b a b a 利用面面平行的性质定理 a a 利 用面面平行的性质 a a a a 线线垂直可由线面垂直的性质推得 直线和平面垂直 这条直线就垂直于平面内所有直线 这是寻找线线垂直的重要依据 垂直问题的 证明 其一般规律是 由已知想性质 由求证想判定 也就是说 根据已知条件去思考有关的性 质定理 根据要求证的结论去思考有关的判定定理 往往需要将分析与综合的思路结合起来 5 5 分 在一个袋子中 装有 4 个白球和 2 个黑球 这些球除颜色外完全相同 从袋中任意摸出 2 个球 则两球同色的概率是 A B C D 考点 等可能事件的概率 专题 概率与统计 分析 求得所有的取法共有 种 而两球同色的取法有 种 由此求得两球同色的概率 解答 解 所有的取法共有 15 种 而两球同色的取法有 7 种 故两球同色的概率是 故选 A 点评 本题主要考查等可能事件的概率 求得两球同色的取法有 种 是解题的关键 属于中档 题 3 6 5 分 2013 温州一模 将函数 y sin2x cos2x 的图象向左平移个单位 所得图象的解析式是 A y cos2x sin2xB y cos2x sin2xC y sin2x cos2xD y cosxsinx 考点 函数 y Asin x 的图象变换 专题 计算题 分析 根据 x 以向右取正 以向左为负 所以它向右平移是加 用 x 替换原式中的 x 即得 解答 解 由题意得 用 x 替换原式中的 x 有 y sin2 x cos2 x cos2x sin2x 故选 B 点评 本题考查了三角函数的图象变换 三角函数的图象变换包括三种变换 我们分别把三种变换分别称 为振幅变换 伸缩变换 平移变换 7 5 分 把能够将圆 O x2 y2 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的 圆梦函数 则下列函数不是圆 O 的 圆梦函数 的是 A f x x3 B C f x ln 4 x 4 x D f x ex e x x 考点 圆的标准方程 奇偶函数图象的对称性 专题 计算题 分析 根据题中的新定义 由对称性得到奇函数图象能够将圆 O x2 y2 16 的周长和面积同时分为相等的 两部分 即为 圆梦函数 故找出选项中的偶函数即为不是圆 O 的 圆梦函数 解答 解 函数 f x x3 f x tan f x ex e x x 都为奇函数 而 f x ln 4 x 4 x 为偶函数 则下列函数不是圆 O 的 圆梦函数 的是 f x ln 4 x 4 x 故选 C 点评 此题考查了圆的标准方程 以及奇偶函数图象的对称性 弄清题中的新定义是解本题的关键 8 5 分 定义为 n 个正数 p1 p2 pn的 均倒数 若已知数列 an 的前 n 项的 均倒 数 为 又 则 A B C D 考点 类比推理 专题 新定义 点列 递归数列与数学归纳法 分析 由已知得 a1 a2 an n 2n 1 Sn 求出 Sn后 利用当 n 2 时 an Sn Sn 1 即可求得通项 4 an 最后利用裂项法 即可求和 解答 解 由已知得 a1 a2 an n 2n 1 Sn 当 n 2 时 an Sn Sn 1 4n 1 验证知当 n 1 时也成立 an 4n 1 故选 C 点评 本题考查数列的通项与求和 考查裂项法的运用 确定数列的通项是关键 9 5 分 已知双曲线右支上的一点 P x0 y0 到左焦点的距离与到右焦点 的距离之差为 且到两条渐近线的距离之积为 则双曲线的离心率为 A B C D 考点 双曲线的简单性质 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 根据双曲线的定义知 a 根据双曲线方程可得它的渐近线方程为 bx ay 0 利用点到直线的距离 结合已知条件列式 可得 b 再用平方关系可算出 c 最后利用双曲线离心率的公式 可以计算出 该双曲线的离心率 解答 解 根据双曲线的定义知 2a a 双曲线两条渐近线的方程为 bx ay 0 或 bx ay 0 点 P x0 y0 到两条渐近线的距离之积为 即 又已知双曲线右支上的一点 P x0 y0 即 b 1 c 5 则双曲线的离心率为 故选 B 点评 本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与到左焦点的距离与到右焦点的距离之差 求双曲线的离 心率 着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识 属于基础题 10 5 分 设函数 f x g x ax2 bx a b R a 0 若 y f x 的图象与 y g x 的图象 有且仅有两个不同的公共点 A x1 y1 B x2 y2 则下列判断正确的是 A 当 a 0 时 x1 x2 0 y1 y2 0 B 当 a 0 时 x1 x2 0 y1 y2 0 C 当 a 0 时 x1 x2 0 y1 y2 0 D 当 a 0 时 x1 x2 0 y1 y2 0 考点 根的存在性及根的个数判断 专题 函数的性质及应用 分析 画出函数的图象 利用函数的奇偶性 以及二次函数的对称性 即可推出结论 解答 解 当 a 0 时 作出两个函数的图象 如图 因为函数 f x 是奇函数 所以 A 与 A 关于原点对称 显然 x2 x1 0 即 x1 x2 0 y1 y2 即 y1 y2 0 当 a 0 时 作出两个函数的图象 同理有 x1 x2 0 y1 y2 0 故选 B 点评 本题考查的是函数图象 直接利用图象判断 也可以利用了构造函数的方法 利用函数与导数知识 求解 要求具有转化 分析解决问题 由一般到特殊的能力 题目立意较高 很好的考查能力 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2828 分 分 11 4 分 某校对全校共 1800 名学生进行健康调查 选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本 已知 女生比男生少抽了 20 人 则该校的女生人数应是 810 人 考点 分层抽样方法 专题 概率与统计 分析 先求出样本中的女生数为 90 男生数为 110 再根据总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层 的样本数之比 求得总体中的女生数 解答 解 由于用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本 女生比男生少抽了 20 人 故抽取女生 90 人 男生 110 人 6 设该校女生共有 x 人 则男生共有 1800 x 人 再由 求得 x 810 故答案为 810 点评 本题主要考查分层抽样的定义和方法 利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本 数之比 属于基础题 12 4 分 若某几何体的三视图如图所示 则此几何体的侧面积等于 8 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 分析 根据三视图画出几何体的直观图 判断三视图的数据所对应的量 代入公式计算即可 解答 解 几何体的直观图是 几何体为正四棱锥 S侧 4 8 故答案是 8 点评 本题考查由三视图求几何体的面积问题 关键是判断三视图的数据所对应的量 13 4 分 2011 广州模拟 已知程序框图如图 则输出的 i 9 7 考点 循环结构 专题 阅读型 分析 根据已知中的流程图 我们模拟程序的运行结果 分别讨论 S 与 i 的值是否满足继续循环的条件 当条件满足时 即可得到输出结果 解答 解 S 1 i 3 不满足条件 S 100 执行循环体 S 1 3 3 i 3 2 5 不满足条件 S 100 执行循环体 S 3 5 15 i 5 2 7 不满足条件 S 100 执行循环体 S 15 7 105 i 7 2 9 满足条件 S 100 退出循环体 此时 i 9 故答案为 9 点评 本题考查的知识点是程序框图 模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法 属于基础题 14 4 分 若直线 l 是曲线 C y 斜率最小的切线 则直线 l 与圆的位置关系为 相 切 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 直线与圆的位置关系 专题 导数的概念及应用 分析 由题意求出 y 3x2 1 进而可求出最小值即所求的直线斜率 并且可求出切点坐标 代入点斜式 求出直线方程 再求出圆心到直线的距离 再进行判断直线和圆的位置关系 解答 解 由题意得 y 3x2 1 1 则直线 l 的斜率为 1 此时 x 0 故切点坐标为 p 0 1 直线 l 的方程为 y 1 x 即 x y 1 0 则圆的圆心到直线的距离 d 故此直线与此圆相切 故答案为 相切 点评 本题考查了导数的几何意义 切点的求法 以及直线的点斜式和直线与圆位置关系的判断方法 15 4 分 设变量 x y 满足约束条件 则的取值范围是 8 考点 简单线性规划 专题 不等式的解法及应用 分析 本题主要考查线性规划的基本知识 先画出约束条件的可行域 然后分析 的几何意义 结合图象 用数形结合的思想 即可求解 解答 解 不等式组表示的区域如图 的几何意义是可行域内的点与点 1 1 构成的直线的斜率问题 当取得点 A 0 1 时 取值为 2 当取得点 C 1 0 时 取值为 故答案为 点评 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型 在解题时 关键是正确地画出平面区域 分 析表达式的几何意义 然后结合数形结合的思想 分析图形 找出满足条件的点的坐标 即可求出 答案 16 4 分 已知 x 0 y 0 x 3y xy 9 则 x 3y 的最小值为 6 考点 基本不等式 专题 计算题 分析 由于要求 x 3y 的最小值 故在解题时注意把 x 3y 看为一个整体 需将已知方程中的 xy 利用基本 不等式转化为 x 3y 的形式 9 解答 解 由于 x 0 y 0 x 3y xy 9 则 x 3y 9 xy 当且仅当 x 3y 时 取 则此时 解得 故 x 3y 6 故答案为 6 点评 本题考查利用基本不等式求解式子的最值问题 属于基础题 可以训练答题者灵活变形及选用知识 的能力 17 4 分 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 MN 是它的内切球的一条弦 把球面上任意两点之间的线段 称为球的弦 P 为正方体表面上的动点 当弦 MN 最长时 的最大值为 2 考点 空间向量的数量积运算 专题 空间向量及应用 分析 利用 当点 P M N 三点共线时 取得最大值 此时 而 可得 可知当且仅当点 P 为正方体的一个顶点时上式取得最大值 求出即可 解答 解 设点 O 是此正方体的内切球的球心 半径 R 1 当点 P M N 三点共线时 取得最大值 此时 而 当且仅当点 P 为正方体的一个顶点时上式取得最大值 2 故答案为 2 点评 充分理解数量积得性质 当点 P M N 三点共线时 取得最大值 是解题的关键 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 小题 共小题 共 7272 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 14 分 已知函数 f x 在区间 0 上的最大值为 2 求常数 m 的值 在 ABC 中 角 A B C 所对的边长分别为 a b c 若 f A 1 sinB 3sinC ABC 面积为 求边长 a 考点 余弦定理 三角函数中的恒等变换应用 专题 解三角形 分析 1 利用三角函数的恒等变换化简函数 f x 的解析式为 再根据正弦函 数的单调性求得函数 10 在区间 0 上的最大值 再由函数在区间 0 上的最大值为 2 求得 m 的值 2 由 f A 1 求得 解得 A 的值 因为 sinB 3sinC 由正弦定理求得 b 3c 因为 ABC 面积为 求得 bc 3 由此解得 b 和 c 的值 再由余弦定理求得 a 的值 解答 解 1 由于 2 分 因为 所以 3 分 因为函数 y sint 在区间上是增函数 在区间上是减函数 所以当 即时 函数 f x 在区间上取到最大值为 2 5 分 此时 得 m 1 6 分 2 因为 f A 1 所以 即 解得 A 0 舍去 或 8 分 因为 sinB 3sinC 所以 b 3c 10 分 因为 ABC 面积为 所以 即 bc 3 由 和 解得 b 3 c 1 12 分 因为 所以 14 分 点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值 正弦函数的单调性 定义域和值域 正弦定理的应 用 属于中档题 19 14 分 2013 丽水一模 在等比数列 an 中 已知 a1 3 公比 q 1 等差数列 bn 满足 b1 a1 b4 a2 b13 a3 求数列 an 与 bn 的通项公式 记 求数列 cn 的前 n 项和 Sn 考点 等差数列与等比数列的综合 数列的求和 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 设等比数列 an 的公比为 q q 1 等差数列 bn 的公差为 d 根据 b1 a1 b4 a2 b13 a3及 等差 等比数列的通项公式列关于 q d 的方程组解出即得 q d 再代入通项公式即可 由 知 Sn c1 c2 cn 3 5 7 9 1 n 1 2n 1 1 n 2n 1 3 32 3n 分 n 为奇数 偶数两种情况 11 讨论即可 解答 解 设等比数列 an 的公比为 q q 1 等差数列 bn 的公差为 d 由已知得 b1 3 b4 3 3d b13 3 12d 所以或 q 1 舍去 所以 此时 d 2 所以 bn 2n 1 由题意得 Sn c1 c2 cn 3 5 7 9 1 n 1 2n 1 1 n 2n 1 3 32 3n 当 n 为偶数时 当 n 为奇数时 所以 点评 本题考查等差 等比数列的综合及数列求和 考查方程思想 若数列 an 等差数列 则数列 1 nan 的前 n 项和并项法求和 按 n 为奇数 偶数讨论 20 14 分 如图所示 四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 PA CD PA 1 E 为 PD 上 一点 PE 2ED 求证 PA 平面 ABCD 在侧棱 PC 上是否存在一点 F 使得 BF 平面 AEC 若存在 指出 F 点的位置 并证明 若不存在 说明理由 求直线 CE 与平面 PAD 所成角的正弦值 考点 直线与平面所成的角 直线与平面垂直的判定 专题 空间位置关系与距离 分析 由题目给出的边的关系 利用勾股定理得到 PA AD 结合 PA CD 由线面垂直的判定 得到结论 取 PC 中点 F 过点 F 在面 PCD 内作 CE 的平行线 FG 交 PD 于点 G 可知 G 为 PE 的中点 连 结 BG 后有 BG OE 由两面平行的判定可得面 FBG 面 AEC 从而得到要证得结论 由 知 PA 面 ABCD 则可证 CD 面 PAD 由此可得 CED 为直线 CE 与面 PAD 所成的角 12 通过解三角形可得直线 CE 与平面 PAD 所成角的正弦值 解答 证明 如图 因为 PA AD 1 PD 所以 PA2 AD2 PD2 即 PA AD 又 PA CD AD CD 相交于 D 所以 PA 平面 ABCD 当点 F 为 PC 的中点时 满足 BF 平面 AEC 证明如下 因为 F 为 PC 的中点 过点 F 在面 PCD 内作 CE 的平行线 FG 交 PD 于点 G 连结 BG 设 AC 与 BD 相交于点 O 则有 BG OE FG CE 因为 FG BG G 且 FG BG 不在平面 AEC 内 所以面 FBG 面 AEC 因为 BF 面 FBG 所以有 BF 平面 AEC 成立 解 因为 CD 面 PAD 所以 CE 在面 PAD 上的射影即为 ED 即 CED 为直线 CE 与面 PAD 所成的角 因为 CD 1 所以 所以 即直线 CE 与平面 PAD 所成角的正弦值为 点评 本题考查了直线与平面垂直的判定 考查了直线与平面平行的判定 考查了直线与平面所成的角 综合考查了学生的空间想象能力和思维能力 解答的关键是创设判定定理成立的条件 是中档题 21 15 分 已知函数 f x 2ax 2 a lnx a R 当 a 1 时 求 f x 的极值 当 3 a 2 时 若存在 x1 x2 1 3 使得 f x1 f x2 m ln3 a 2ln3 成立 求实数 m 的取值范围 考 点 利用导数研究函数的极值 不等式的综合 专 题 导数的综合应用 13 分 析 1 利用导数求函数的极值 先求导数 令导数大于 0 小于 0 求出相应的单调区间 然后即可得到 函数的极值 2 先由参数范围得到函数在区间 1 3 上的单调性 进而得到函数在 1 3 上的最值 再由存在 x1 x2 1 3 使得 f x1 f x2 m ln3 a 2ln3 成立 及不等式恒成立的条件 就可得 到参数 m 的取值范围 解 答 解 由题可知函数 y f x 的定义域为 0 2 分 当 a 1 时 令 f x 0 解得或 x 1 令 f x 0 解得 所以 f x 的单调递减区间是和 1 单调递增区间是 5 分 所以当时 f x 的极小值为 当 x 1 时 f x 的极大值为 f 1 1 7 分 当 3 a 2 时 f x 的单调递减区间是 单调递增区间是 所以 f x 在 1 3 上单调递减 9 分 所以 f x max f 1 2a 1 所以 11 分 因为存在 x1 x2 1 3 使得 f x1 f x2 m ln3 a 2ln3 成立 所以 12 分 整理得 又 a 0 所以 又因为 3 a 2 得 所以 所 14 以 15 分 点 评 本题主要考查利用函数的导数求函数的极值问题 与不等式恒成立有关的参数范围问题 需要考生熟 悉这一类问题的解题通法 22 15 分 已知抛物线 C y2 2px p 0 焦点 F 到准线的距离为 过点 A x0 0 x0 作直线