【名校】重庆市南开中学高三数学向量解决立体几何专题解析新人教版

用心 爱心 专心 A B C D EF x y z P 用向量知识解决立体几何中典型问题用向量知识解决立体几何中典型问题 空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题 证线面平行与垂直以及解决立体 几何的探索性试题提供了简便 快速的解法 它的实用性是其它方法无法比拟的 因此应 加强运用向量方法解决几何问题的意识 提高使用向量的熟练程度和自觉性 注意培养向 量的代数运算推理能力 掌握向量的基本知识和技能 充分利用向量知识解决图形中的角 和距离 平行与垂直问题 下面就谈一谈向量知识在立体几何中运用 一 利用向量知识求线线角 线面角 二面角的大小 一 利用向量知识求线线角 线面角 二面角的大小 线面角 线面角 方法点评 设n 是平面 的法向量 AB是平面 的一条斜线 则AB与平面 所成的角为AB与法向量成角的余角 即 AB n ABn arcsi n 例 1 如图 四棱锥PABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PD 底面 ABCD AD PD E F 分 别 CD PB 的中点 求证 EF 平面 PAB 设 AB 2BC 求 AC 与平面 AEF 所成角的大小 证明 建立空间直角坐标系 如图 设 AD PD 1 AB 2a 0a 则 E a 0 0 C 2a 0 0 A 0 1 0 B 2a 1 0 P 0 0 1 1 1 2 2 F a 得 1 1 0 2 2 EF 2 1 1 PBa 2 0 0 ABa 由 1 1 0 2 0 0 0 2 2 EF ABa 得EFAB 即 EFAB 同理EFPB 又ABPBB 所以 EF 平面 PAB 注 此小问所用即向量法证明线面垂直 注 此小问所用即向量法证明线面垂直 解 由2ABBC 得22a 即 2 2 a 得 2 0 0 2 E 2 1 1 22 2 F 2 0 0 C 有 2 1 0 AC 2 1 0 2 AE 1 1 0 2 2 EF 设平面 AEF 的法向量为 1 nx y 由 0 0 n EF n AE 1 1 1 0 0 2 2 2 1 1 0 0 2 x y x y 11 0 22 2 0 2 y xy 用心 爱心 专心 E D1C1 B1 A1 D C B A 解得 1 2 y x 于是 2 1 1 n 设 AC 与面 AEF 所成的角为 AC 与n的夹角为 AC n 则 2 1 0 2 1 1 3 cos 62 1 0 2 1 1 AC n AC n ACn 所以 AC 与平面 AEF 所成角的大小为 3 arcsin 6 二面角 二面角 方法 设 12 n n 是二面角l 的面 的法向量 则 12 12 12 cos nn n narc nn 就 是二面角的平面角或补角的大小 例 2 如图 在直四棱柱 1111 ABCDABC D 中 已知 1 22DCDDADAB ADDC ABDC I 设E是DC的中点 求证 11 D EABD平面 II 求二面角 11 ABDC 的余弦值 解解 I I 连结BE 则四边形DABE为正方形 11 BEADAD 且 11 BEAAD 11 AD EB 四边形为平行四边形 11 D EAB 1111 D EABDABABD 平面 平面 11 D EABD 平面 另 向量法证明线面平行向量法证明线面平行 易得 1 0 1 2 D E 可求得面 1 ABD的一个法向量为 2 2 1 n 由 1 0D E n 又 11 D EA BD 面 所以 11 D EABD平面 II 以 D 为原点 1 DA DC DD所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标 系 不妨设1DA 则 11 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 2 2 1 0 2 DABCA 用心 爱心 专心 1 1 0 2 1 1 0 DADB 设 nx y z 为平面 1 ABD的一个法向量 由 1 nDA nDB 得 20 0 xy xy 取1z 则 2 2 1 n 设 111 mx y z 为平面 1 C BD的一个法向量 由 mDC mDB 得 11 11 220 0 yz xy 取 1 1z 则 1 1 1 m 33 cos 393 m n m n m n 由图知该二面角 11 ABDC 为锐角 所以所求的二面角 11 ABDC 的余弦值为 3 3 二 利用向量知识求点到面 线到面 面到面的距离 后两者均可转化为点面距离 二 利用向量知识求点到面 线到面 面到面的距离 后两者均可转化为点面距离 方法方法 如右图求出平面的一个法向量的坐标 再求 出已知点P与平面内任一点M构成的向量 MP 的坐标 那么P到平面的距离 cos n MP dMPn MP n 例 3 如图 四面体ABCD中 O E分别BD BC的中点 CA CB CD BD 2 2ABAD 求证 AO 平面BCD 求异面直线AB与CD所成角的大小 4 2 arccos 求点E到平面的距离 7 21 I 证明 连结 OC BO DO AB AD AO BD 在 AOC 中 由已知可得 AO 1 CO 3 而 AC 2 AO2 CO2 AC2 AOC 90 即 AO OC AO 平面BCD 用心 爱心 专心 解 以O为原点 如图建立空间直角坐标系 则B 1 0 0 D 1 0 0 C 0 3 0 A 0 0 1 E 2 1 2 3 0 0 3 1 1 0 1 CDBA 4 2 cos CDBA CDBA CDBA 异面直线AB与CD所成角的大小为 4 2 arccos 解 设平面ACD的法向量为n x y z 则 1 0 1 0 0 3 1 0 nADx y z nACx y z 0 3 0 zy zx 令 y 1 得n 3 1 3 是平面 ACD 的一个法向量 又 13 0 22 EC 点 E 到平面 ACD 的距离 h 7 21 7 3 n nEC 注 考试中的点面距离大都可以使用等体积法简单求得 注 考试中的点面距离大都可以使用等体积法简单求得 例 4 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 4 3 2 ABBCCC 求平面 111 ABCACD与的距离 解 111111 BCAD ADACDBCACD 平面平面 同理 11 ABACD平面 11 ABBCB 111 平面ABC 平面AC D 建立如图直角坐标系 1 4 3 2ABBCCC 11 3 0 2 3 4 0 0 4 2 ABC 11 0 4 2 3 0 2 ABBC 设 nx y z 为平面 11 ABC的法 向量 则 11 0 420 nABnAByz 11 0320nBCn BCxz 不妨设 122 1 1 1 233 2 zyxn 设两平行平面间的距离为 d则d等于 1 D到平面 11 ABC的距离 1112 61 61 n D A d n 三 利用向量知识解决立体几何中的探索性问题 三 利用向量知识解决立体几何中的探索性问题 例 5 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形 AB DC AC BD AC 与 BD 相交于 用心 爱心 专心 点 O 且顶点 P 在底面上的射影恰为 O 点 又 BO 2 PO 2 PB PD 设点 M 在棱 PC 上 问 M 点在什么位置时 PC 平面 BMD PO 平面ABCD POBD 又PBPD 2 2BOPO 由平面几何知识得 1 2ODOCBOAO 以O为原点 OA OB OP分别为 x y z轴建立如图所示 的空间直角坐标系 则各点坐标为 0 0 0 O 2 0 0 A 0 2 0 B 1 0 0 C 0 1 0 D 0 0 2 P 设 00 0 M xz 由于 P M C三点共线 得 PMPC 即 00 0 2 1 0 2 xz 由对应系数成比例有 00 22zx 则 00 0 22 M xx 这里揭示出了设线上一点的方法 这里揭示出了设线上一点的方法 PC