2012高考数学 专题练习 十四 推理与证明 理

用心 爱心 专心 1 高考专题训练十四高考专题训练十四 推理与证明推理与证明 班级 姓名 时间 45 分钟 分值 75 分 总得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 在每小题给出的四个选项中 选出符合题目要求的一项填在答题卡上 1 依次写出数列a1 1 a2 a3 an n N 的法则如下 如果an 2 为自然数且未写 过 则写an 1 an 2 否则就写an 1 an 3 则a6 A 4 B 5 C 6 D 7 解析 根据题中法则 依次逐个代入 得a2 4 a3 2 a4 0 a5 3 a6 6 答案 C 2 2011 郑州市高中毕业班第一次质量预测 已知a b c R 若 c a b a b c b c a 则 A c a b B b c a C a b c D c b a 解析 由已知得c b c a a b a c a b b c 即 c a a b c 0 a b a b c 0 因此有c a 0 a b 0 故c a b 选 A 答案 A 3 2011 四川省绵阳市高三第二次诊断性测试 记a Sin cos2010 b sin sin2010 c cos sin2010 d cos cos2010 则a b c d中最大的是 A a B b C c D d 解析 注意到 2010 360 5 180 30 因此 sin2010 sin30 cos2010 cos30 1 2 0 0 0 cos 0 a sin sin 0 3 2 2 3 2 2 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 b sin sin 1 2 1 2 d cos cos 0 1 2 1 2 3 2 3 2 因此选 C 用心 爱心 专心 2 答案 C 4 2011 江西师大附中 临川一中高三联考 若实数a b c成公差不为 0 的等差数 列 则下列不等式不成立的是 A b a 2 B a3b b3c c3a a4 b4 c4 1 c b C b2 ac D b a c b 解析 设等差数列a b c的公差为d d 0 则 b a d d 2 1 c b 1 d 1 d 2 因此 A 成立 b2 ac 2 ac 0 因此 C 成立 由 d 1 d a c 2 a c 2 4 2b a c得 2b a c c a 即 b a c b 因此 D 成立 对于 B 当 a 1 b 2 c 3 时 a3b b3c c3a 53 a4 b4 c4 98 此时 B 不成立 综上所 述 选 B 答案 B 5 2011 西安市五校第一次模拟考试 已知 整数对 按如下规律排成一列 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 则第 60 个数对 是 A 7 5 B 5 7 C 2 10 D 10 1 解析 依题意 就每组整数对的和相同的分为一组 不难得知每组整数对的和为n 1 且每组共有n个整数对 这样的前n组一共有个整数对 注意到 60 n N 成 1 2 1 4 1 2n 1 127 64 立 其初始值至少应取 解析 1 整理得 2n 128 解得n 7 故原不等式的初始 1 2 1 4 1 2n 1 1 1 2n 1 1 2 127 64 值至少应为 8 答案 8 用心 爱心 专心 4 10 2011 辽宁沈阳模拟 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n n N 的第二步中 当n k 1 时等式左边与n k时的等式左边的差等于 n 3n 1 2 解析 当n k时 等式左边为 k 1 k 2 k k 当n k 1 时 等式左 边为 k 2 k 3 k 1 k 1 所以其差为 3k 2 答案 3k 2 三 解答题 本大题共 2 小题 共 25 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 11 12 分 已知正数数列 an 的前n项和为Sn 且 4an 2Sn 1 数列 bn 满足bn 2 an n N log 1 2 1 求函数 an 的通项公式an与 bn 的前n项和Tn 2 设数列 的前n项和为Un 求证 0 Un 4 bn an 解 1 易得a1 1 2 当n 2 时 4an 2Sn 1 4an 1 2Sn 1 1 得 2an 4an 1 0 an 2an 1 2 n 2 an an 1 数列 an 是以a1 为首项 2 为公比的等比数列 1 2 an 2n 2 a1 也适合此式 故an 2n 2 1 2 从而bn 4 2n 其前n项和Tn n2 3n 2 证明 an 为等比数列 bn 为等差数列 bn an 4 2n 2n 2 Un 2 1 2 0 1 2 2 6 2n 2n 3 4 2n 2n 2 Un 1 2 2 1 0 2 2 22 6 2n 2n 2 4 2n 2n 1 得Un 4 1 2 2 1 2 2 2 22 2 2n 2 4 2n 2n 1 用心 爱心 专心 5 Un 4n 2n 1 易知U1 U2 4 当n 3 时 Un Un 1 0 2 n 2n 3 当n 3 时 数列 Un 是递减数列 0 Un U3 3 综上 0 Un 4 12 13 分 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 n N 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 由此猜测 an bn 的通项 公式 并证明你的结论 解 由条件得 2bn an an 1 a bnbn 1 2n 1 由此可得a2 6 b2 9 a3 12 b3 16 a4 20 b4 25 猜测an n n 1 bn n 1 2 n N 用数学归纳法证明 当n 1 时 由已知a1 2 b1 4 可得结论成立 假设当n k k 2 且k N 时 结论成立 即 ak k k 1 bk k 1 2 那么当n