上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第2讲学习能力型问题（1）泸教版

用心 爱心 专心 上海市封浜中学高三数学二轮专题复习 上海市封浜中学高三数学二轮专题复习 第第 2 讲讲 学习能力型问题 学习能力型问题 1 学习新的数学知识的能力指的是通过阅读 理解以前没有学过的新的数学知识 包括 新的概念 定理 公式 法则和方法等 并能运用它们作进一步的运算推理 解决有关问 题的能力 这里我们简称为学习能力 学习能力型问题常见的有以下几种类型 1 概念学习型 2 定理 公式 学习型 3 方法学习型 我们还是从各地高考数学试题中的学习能力型问题开始 一 概念学习型 例例 1 北京 2004 定义 等和数列 在一个数列中 如果每一项与它的后一项的和 都为同一个常数 那么这个数叫做等和数列 这个常数叫做该数列的公和 已知数列 n a是等和数列 且2 1 a 公和为5 那么 18 a的值为 这 个数列的前n项和 n S的计算公式为 解析 解析 这里给出 公和 的概念 其实就是摆动数列 3 2 3 2 3 2 所以 为为为 为为为 n n nn Sn 2 15 2 5 例例 2 对于任意两个集合 X 和 Y X Y 指所有属于 X 但不属于 Y 的集合 X 和 Y 的对 称差 X Y 规定为 X Y X Y X Y 设 A y y x2 x R B y y 3sinx x R 求 A B 解 A B 3 0 3 例例 3 如果有穷数列 123n a a aa n为正整数 满足条件 n aa 1 12 n aa 1 aan 即 1 ini aa 1 2in 我们称其为 对称数列 例如 由组合数组成 的数列 01m mmm CCC 就是 对称数列 1 设 n b是项数为 7 的 对称数列 其中 1234 b b b b 是等差数列 且2 1 b 11 4 b 依次写出 n b的每一项 2 设 n c是项数为12 k 正整数1 k 的 对称数列 其中 121kkk c cc 是首 项为50 公差为4 的等差数列 记 n c各项的和为 12 k S 当k为何值时 12 k S取得最 大值 并求出 12 k S的最大值 3 对于确定的正整数1 m 写出所有项数不超过m2的 对称数列 使得 21 1 2 22m 依次是该数列中连续的项 当m1500 时 求其中一个 对称数列 前 2008项的和 2008 S 用心 爱心 专心 解 1 设 n b的公差为d 则11323 14 ddbb 解得 3 d 数列 n b为2 5 8 11 8 5 2 2 12112112 kkkkk ccccccS kkkk cccc 2 121 50134 13 4 22 12 kS k 当13 k时 12 k S取得最大值 12 k S的最大值为 626 3 所有可能的 对称数列 是 22122 1 2 222222 1 mmm 221122 1 2 2222222 1 mmmm 122221 2222 1 2 222 mmmm 122221 2222 1 1 2 222 mmmm 对于 当2008m 时 122221 200820072 2008 S 当15002007m 时 20092212 2008 222221 mmmm S 200921 2212 mmm 1222 200921 mmm 对于 当2008m 时 122008 2008 S 当15002007m 时 2008 S122 200821 mm 对于 当2008m 时 2008 2008 22 mm S 当15002007m 时 2008 S322 2009 mm 对于 当2008m 时 2008 2008 22 mm S 当15002007m 时 2008 S222 2008 mm 例例 4 03 年上海理科 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f x 的全体 存在非零常 数 T 对任意 x R 有 f x T T f x 成立 1 函数 f x x 是否属于集合 M 说明理由 用心 爱心 专心 2 设函数 f x ax a 0 且 a 1 的图象与 y x 的图象有公共点 证明 f x ax M 3 若函数 f x sinkx M 求实数 k 的取值范围 解 1 对于非零常数 T f x T x T Tf x Tx 因为对任意 x R x T Tx 不能恒成立 所以 f x Mx 2 因为函数 f x ax a 0 且 a 1 的图象与函数 y x 的图象有公共点 所以方程组 xy ay x 有解 消去 y 得 ax x 显然 x 0 不是方程 ax x 的解 所以存在非零常数 T 使 aT T 于是对于 f x ax有 xTfaTaaaTxf xxTTx 故 f x ax M 3 当 k 0 时 f x 0 显然 f x 0 M 当 k 0 时 因为 f x sinkx M 所以存在非零常数 T 对任意 x R 有 f x T T f x 成立 即 sin kx kT Tsinkx 因为 k 0 且 x R 所以 kx R kx kT R 于是 sinkx 1 1 sin kx kT 1 1 故要使 sin kx kT Tsinkx 成立 只有 T 1 当 T 1 时 sin kx k sinkx 成立 则 k 2m m Z 当 T 1 时 sin kx k sinkx 成立 即 sin kx k sinkx 成立 则 k 2m m Z 即 k 2 m 1 m Z 综合得 实数 k 的取值范围是 k k m m Z 例例 5 某商场在促销期间规定 商场内所有商品按标价的 80 出售 同时 当顾客在 该商场内消费满一定金额后 按如下方案获得相应金额的奖券 消费金额 元 的范 围 200 400 400 500 500 700 700 900 获得奖券的金额 元 3060100130 根据上述促销方法 顾客在该商场购物可以获得双重优惠 例如 购买标价为 400 元的 商品 则消费金额为 320 元 获得的优惠额为 400 0 2 30 110 元 设购买商品得到 的优惠率 商品的标价 购买商品获得的优惠额 试问 1 购买一件标价为 1000 元的商品 顾客得到的优惠率是多少 用心 爱心 专心 2 对于标价在 500 800 元 内的商品 顾客购买标价为多少元的商品 可获得不小 于 3 1 的优惠率 解 1 2 设商品的标价为 x 元 则 消费额 由已知得 I 或 II 不等式组 I 无解 不等式组 II 的解为 因此 当顾客购买标价在 625 750 元内的商品时 可得到不小于的优惠率 例例 6 上海 1999 设椭圆 1 C的方程为1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 曲线 2 C的方程为 x y 1 且 1 C与 2 C在第一象限内只有一个公共点D 1 试用a表示P点的坐标 2 设A B是椭圆 1 C的两个焦点 当a变化时 求 ABP的面积函数 aS的值 域 3 记 min 21n yyy 为 n yyy 21 中最小的一个 设 ag是以椭圆 1 C的半 焦距为边长的正方形的面积 试求函数 min aSagaf 表达式 解 解 前两小题为常规题 1 将 x y 1 代入椭圆方程得 1 1 222 2 xba x 0 222242 axbaxb 把它 看成关于 2 x的二次方程 则 04 2244 baba 4 22 ba 2 ab 解得 2 2 2 a x 2 a x 或 2 a x 舍去 于是P点的坐标为 a a2 2 2 在 ABC中 22 2 baAB 高为 a 2 4 22 4 12 2 2 2 1 aa baaS 0 ba a b 2 a a 2 即2 a 1 4 0 4 a 2 0 aS 即 aS的值域为 2 0 3 这是一个新概念学习题 给出了min的记号及含义 要理解它的实质 要些考 生在理解上有偏差 对 ag与 aS不能分类进行比较 2 2222 4 a abacag 若 aSag 即 42 2 4 12 4 aa a 02410 48 aa 即 064 44 aa 解得2 a 舍 4 6 a 用心 爱心 专心 4 4 4 2 2 6 4 12 62 4 min a a a a a aSagaf 例例 7 上海 2002 春 对于函数 xf 若存在Rx 0 使 00 xxf 成立 则称 0 x为 xf的不动点 已知函数 1 1 2 bxbaxxf 0 a 1 当1 a 2 b时 求函数 xf的不动点 2 若对任意实数b 函数 xf恒有两个相异的不动点 求a的取值范围内 3 在 2 的条件下 若 xfy 图像上A B两点的横坐标是函数 xf的不动 点 且A B两点关于直线 12 1 2 a kxy对称 求b的最小值 分析 分析 此题给出了一个 不动点 的概念来考查学生的学习能力 主要是基于以下考 虑 1 该概念学生在理解上不会感到困难 比较适合目前学生的认知水平 2 该概念容易与学生已有的知识建立联系 并可在新的情景下结合函数 方程和不 等式的知识进行考查 3 该概念与函数图像有较密切的联系 不动点其实就是函数图像与直线xy 的交 点的横坐标 解 解 1 3 2 xxxf 因为 0 x为不动点 因此有 00 2 00 3 xxxxf 解得1 0 x或3 0 x 所以1 和3为 xf的不动点 2 因为 f x 恒有两个不动点 f x ax2 b 1 x b 1 x ax2 bx b 1 0 由题设 b2 4a b 1 0 恒成立 即对于任意 b R b2 4ab 4a 0 恒成立 所以有 4a 2 4 4a 0 a2