2012高考数学最后冲刺 三角函数

用心 爱心 专心 1 最后冲刺最后冲刺 高考预测高考预测 1 掌握三角函数概念 其中以三角函数的定义学习为重点 理科 兼顾反三角 2 提高三角函数的恒等变形的能力 关键是熟悉诱导公式 同角关系 和差角公式及倍 角公式等 掌握常见的变形方法 3 解决三角函数中的求值问题 关键是把握未知与已知之间的联系 4 熟练运用三角函数的性质 需关注复合问题 在问题转化过程中 进一步重视三角恒 等变形 5 掌握等的图象及性质 深刻理解图象变换之原理 sin xAy 6 解决与三角函数有关的 常见的 最值问题 7 正确处理三角形内的三角函数问题 主要是理解并熟练掌握正弦定理 余弦定理及三 角形内角和定理 提高边角 角角转化意识 8 提高综合运用的能力 如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理 对症下荮填 2 1 2 y 22 12sin 2 1 22 12sin 2 1 kxk kkx 作出其图 像知原函数的最小正周其为 2 最大值为 2 1 故最小正周期和最大值之和为 2 2 1 2 函数 f x sinx 2 sinx x 0 2 的图像与直线 y k 有且仅有两个不同的交点 则众的取值范围是 错误答案错误答案 填 0 3 用心 爱心 专心 2 f x 2 sin 0 sin3 xx xx f x 的值域为 0 3 f x 与 y k 有交点 k 0 3 错解分析错解分析 上面解答求出 k 的范围只能保证 y f x 的图像与 y k 有交点 但不能 保证 y f x 的图像与 y k 有两个交点 如 k 1 两图像有三个交点 因此 正确的解答要作 出了 y f x 的图像 运用数形结合的思想求解 正确解答正确解答 填 1 3 f x 2 sin 0 sin3 xx xx 作出其图像如图 从图 5 1 中可看出 当 1 k 3 时 直线 y k 与 yf x 有两个交点 3 2012 模拟题精选 要得到函数 y 2cosx 的图像 只需将函数 y 2sin 2x 4 的 图像上所有的点的 A 横坐标缩短到原来的2 1 倍 纵坐标不变 再向左平行移动8 个单位长度 B 横坐标缩短到原来的2 1 倍 纵坐标不变 再向右平行移动4 个单位长度 C 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再向左平行移动4 个单位长度 D 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再向右平行移动8 个单位长度 错误答案错误答案 B 或 D 将函数 y 2sin 2x 4 的所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍 得函数 y 2sin x 4 的图像 再向右平行移动子个单位长度后得函数 y 2sin x 2 2 cosx 的图像 故 选 B 将函数 y 2sin 2x 4 变形为 y 2sin2 x 4 若将其图像横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 后得函数 y 2sin x 8 的图像 再向右平行移动8 个单位长度后得 y 2cosx 的图像 选 D 错解分析错解分析 选 B 有两处错误 一是若将函数 y f x 2sin 2x 4 横坐标缩短到原 来的2 1 倍 纵坐标标不变 所得函数 y f x sin 4x 4 而不是 f x 2sin x 4 二是将函数 y f x 2sin x 4 向右平行移动4 得函数 y f x 2sinx 的图像 而不是 用心 爱心 专心 3 y f x 2cosx 的图像 因为函数图像变换是针对自变量而言 应该是 x 变为 x 4 选 D 同 样是两处错误 一是横坐标伸长到原来的倍 纵坐标不变 得函数 y 2sin x 4 而不是 y 2sin x 4 由 y 2sin x 8 的图像向右平移8 1 个单位长度得了 y 2sinx 的图像 而 不是 y 2cosx 的图像 错误答案错误答案 1 x 8 是函数 y f x 的图像的对称轴 sin 2 8 1 4 k 2 k Z k 4 0 4 3 2 由 1 知 4 3 因此 y sin 2 4 3 最小正周期为 T 4 2 由题意得 k 2 2x 4 3 k 2 k Z 解得 k 8 x 2 1 k 8 5 k Z 所以函数 y sin 2x 4 3 的单调查递增区间为 8 5 2 1 82 1 Zkkk 错解分析错解分析 以上解答错在第 2 小题求函数单调区间时 令 2 24 3 2 kkx 处 因若把 4 3 2 x 看成一个整体 u 则 y sinu 的周期为 2 故应 令 4 3 2 x 2 2 2 2Zkkk 解得的 x 范围才是原函数的递增区间 用心 爱心 专心 4 正确解答正确解答 1 解法 1 8 x 是函数 y f x 的图像的对称轴 sin 2 8 1 4 3 1 0 4 24 时kkZkk 解法 2 x 8 是 y f x 图象的对称轴 对任意的 x 有 f x f 4 x 令 x 0 时 有 f 0 f 4 即 sin sin 2 cos 即 tan 1 又 4 3 0 2 由 1 得 4 3 因此 4 3 2sin xy 由题意得 8 5 8 4 3 2sin 8 5 8 2 2 4 3 2 2 2 Zkkkxy Zkkxk Zkkxk 的单调递增区间的函数 解得 3 由 4 3 2sin xy 知 x0 8 8 3 8 5 8 7 y 2 2 1010 2 2 故函数 y f x 在区间 0 上图像是 5 求函数 xxxxy 44 coscossin32sin 的最小正周期和最小值 并写出该函数在 0 上的单调递增区间 错误答案错误答案 xxxxycossin32cossin 44 2 2 6 2sin 22sin32cos 2sin3 cos sincos sin 2222 T xxx xxxxx 故该函数的最小正周期 当 6 2 2 6 2 kxZkkx即 时 函数 y 有最小值 2 当 2 0 x 时 函数单调递增 函数递增区间是 2 0 错解分析错解分析 上面解答错在求函数的递增区间上 当 x 0 6 时 2x 6 用心 爱心 专心 5 6 6 5 函数不为单调函数 应先求出函数 y 2sin 2x 6 在 R 上的单调递增区间 再求它 与区间 0 的交集 正确解答正确解答 函数 y sin4x 3sinxcosx cos4x sin2x cos2x sin2x cos2x 2sin2x 3sin2x cos2x 2sin 2x 6 故该函数的最小正周期是 当 2x 6 2k 2 时 即 x k 6 时 y 有最小值 2 令 2k 2 2x 6 2k 2 k Z 解得 k 6 x k 6 k Z 令 K 0 时 6 x 3 又 0 x 0 x 3 K 1 时 6 5 x 4 3 又 0 x 6 5 x 函数 y 2sin 2x 6 的递增区间是 0 3 6 5 特别提醒特别提醒 一般地 y Asib x 的图象向左平移 a 个单位得到 y Asin x a 的图象 再把其上所有点的横坐标变为原来的w 1 即得到 y Asin w1 a 的图像 变式探究 1 已知函数 y tan 在 2 2 内是减函数 则 A 0 1 B 1 0 C 1 D 1 答案 D 解析 函数 y tan x 在 2 2 内是减函数 w 0 又 函数 y tan wx 用心 爱心 专心 6 在 ww2 2 上是增函数 有 1 22 22 w w w 2 函数 f x sinx cosx 的最小正周期为 A 4 B 2 C D 2 答案 C 解析 f x 2 sin x 4 y sin x 4 的最小正周期为 2 f x 2 sin x 4 的最小正周期为 3 当 0 x 2 时 函数 f x xxin xx 2 sin82cos1 2 的最小值为 A 2 B 2 3 C 4 D 43 答案 C 解析 f x xx xx cossin2 sin8cos2 22 cotx 4tanx 0 x0 cot x 0 f x 4tan4cot xx 4 化简 f x cos x k 2 3 16 2x cos 3 16 k 2x 2 2 3 sin 3x x R k Z 求函 数 f x 的值域和最小正周期 错解分析错解分析 上面解答错在由 cos2 5 4 得 sin2 5 3 时没有考虑角 是第四象限 角 2 是第三 四象限角 sin2 只能取负值 因而 tan2 也只能为负值 用心 爱心 专心 7 正确解答正确解答 sin 2sincos2cossin sin 2sin sin 3sin 4 3 cos2 2cos2 2cos2 1 5 13 cos2 5 4 又 为第四象限角 即 2k 2 3 2k 2 k Z 4k 3 2 4k 4 k Z 即 2 为第三 四象限角 sin2 4 3 5 4 5 3 2cos 2sin 2tan 5 3 5 4 12cos 22 2 2012 模拟题精选 已知 2 x 0 sinx cosx 5 1 1 求 sinx cosx 的值 2 求 xx xxx cottan 2 cos 2 sin2 2 sin3 22 的值 x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2 sin2 2 sinxcosx 2 sinx cosx 变形时认为 2sin2 1 cosx 用错了公式 因为 2sin2 1 cosx 因此原式化简结果是错误的 正确解答正确解答 解法 1 1 由 sinx cosx 5 1 平方得 sin2x 2sinxcosx cos2x 25 1 即 2sinxcosx 25 24 sinx cosx 2 1 2sinxcosx 1 25 49 25 24 又 2 x 0 sinx0 sinx cosx 0 sinx cosx 5 7 2 用心 爱心 专心 8 125 108 5 1 2 25 12 sincos2 cossin cossin cossin 1sincos1 sin cos cos sin 1sinsin2 cottan 2 cos 2 cos 2 sin2 2 sin3 22 2 22 xxxx xx x xx x x x x x xx xxxx 解法 2 1 联立方程 1cossin 5 1 cossin 22 22 xx xx 由 得 slnx 5 1 cosx 将其代入 整理得 25cos2x 5cosx 12 0 cosx 5 3 或 cosx 5 4 2 x 0 5 4 cos 5 3 sin x x 故 sinx cosx 5 7 2 x x x x x x xx xxxx sin cos cos sin 1sin 2 sin2 cottan 2 cos 2 cos 2 sin2 2 sin3 222 sinxcosx 2 cosx sinx 125 108 5 3 5 4 2 5 4 5 3 3 2012 模拟题精选 已知 6sin2 sin cos 2cos2 0 2 求 sin 2 3 的值 用心 爱心 专心 9 即 10 334 3 26 5 13 6 3 2sin 或 错解分析错解分析 上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用 2 tan 0 tan 2 1 应舍去 因此原题只有一解 正确解答正确解答 解法 1 由已知得 3sin 2cos 2sin cos 0 3sin 2sin 0 或 2sin cps 0 由已知条件可知 cos 2 0 所以 2 即 2 于是 tan 0 cos 0 tan 1 4 已知函数 f x 3sin2x sinxcosx 1 求 f 6 25 的值 答案 sin 2 3 6 25 cos 2 1 6 25 0 6 25 cos 6 25 sin 6 25 sin3 6 25 2 f 2 设 0 f 2 2 3 4 1 求 sin 的值 答案 2 3 2sin 2 1 2cos 2 3 xxxf 2 3 4 1 2 3 sin 2 1 cos 2 3 2 f 16sin2 4sin 11 0 解得 sin 8 531 0 sin 0 则 sin 8 531 已知函数 f x 2sin2x sin2x x 0 2 求使 f x 为正值的 x 的集合 用心 爱心 专心 12 2 a2 sin x 4 f x 的最大值为 2 a2 令2 a2 2 3 a 3 易错点易错点 3 3 三角函数的综合应用三角函数的综合应用 1 2012 模拟题精选 如图 在直径为 1 的圆 O 中 作一关于圆心对称 邻边互相垂直 的十字形 其中 y x 0 将十字形的面积表示为 的函数 为何值时 十字形的面积最大 最大面积是多少 错误答案错误答案 设 S 为十字形的面积 则 S 2xy 2sin cos sin2 4 2 2 当 sin2 1 即 4 时 S 最大 S 的最大值为 1 错解分析错解分析 上面解答错在面积 S 的计算上 因为十字形面积等于两个矩形面积和还需 减去中间一个边长为 x 的正方形面积 正确解答正确解答 1 设 S 为十字形的面积 则 S 2xy x2 2sin cos cos2 4 2 2 解法 1 S 2sin cos cos2 sin2 2 1 cos2 2 1 2sin 2 5 其中 2sin 5 5 arccos 当 1 即 2 2 时 S 最大 当 5 52 2 1 4 ARCCOS 时 S 最大 S 的最大值为 2 15 解法 2 S 2sin cos cos2 S 2cos2 2sin2 2sin cos 2cos2 sin2 令 S 0 即 2cos2 sin2 0 可解得 2 1 2 arctan 2 当 2 1 2 arctan 2 时 S 最大 S 的最大值为 2 15 2 2012 模拟题精选 若 0 x3sinx B 2x 3sinx C 2x 3sinx D 与 x 的取值有关 用心 爱心 专心 13 错误答案错误答案 选 A 设 f x 2x 3sinx f x 2 3cosx 0 x0 f x 在 0 2 上是增函数 f x f 0 0 即 2x 3sinx 选 A 错解分析错解分析 f x 3 3 2 cosx 当 0 x 2 时 f x 不一定恒大于 0 只有当 x arccos 2 3 2 时 f x 才大于 0 因而原函数 f x 在 0 2 先减后增函数 因而 2x 与 3sinx 的大小不确定 正确解答正确解答 选 D 设 y x 2x 3sinx y 2 3cosx 3 3 2 cosx 当 cosx0 当 x 0 arcccos3 2 时 y 0 口 P2x 3sinx 当 x 0 arccoss3 2 时 f x 0 即 2x 3sinx 故选 D 3 2012 模拟题精选 设函数 f x xsinx x R 1 证明 f x 2k f x 2k sinx 其中 k Z 2 设 x0是 f x 的一个极值点 证明 f x0 2 2 0 4 0 1x x 3 设 f x 在 0 的全部极值点按从小到大的顺序 a1 a2 an 证明 2 an 1 an0 是 f x0 0 的任意正实根即 x0 tax0 则存在一个非负整数 k 使 x0 2 k k 即 x0在第二或第四象限内 由题设条件 a1 a2 an为方程 x tanx 的全部正实根 且满足 用心 爱心 专心 14 a1 a2 a3 an 那么对于 an 1 an tanan 1 tanan 1 tanan 1 tanan tan an 1 an 由于2 n 1 an n 1 2 n an 1 n 则2 an 1 an0 由 式知 tan an 1 an 0 由此可知 an 1 an必在第二象限 2 an 1 an0 是 f x 0 的任意正实根 即 x0 tanx0 则存在一个非负整数 k 使 x0 2 k k 即 x0在第二或第四象限内 由 式 f x cosx tanx x 在第二象 限或第四象限中的符号可列表如下 X 0 2 xk 0 x kx 0 K 为奇 数 0 f x 的符 号 K 为偶 数 0 所以满足 f x 0 的正根 x0都为 f x 的极值点 由题设条件 a1 a2 an 为方程 x tanx 的全部正实根且满足 a1 a2 an 那么 对于 n 1 2 an 1 an tanan 1 tanan 1 tanan 1 tanan tan an 1 an 用心 爱心 专心 15 由于2 n 1 an n 1 2 n an 1 n 则2 an 1 an0 由 式知 tan an 1 an 0 由此可知 an 1 an必在第二象限 即 an 1 an 综 上 2 an 1 an 特别提醒特别提醒 处理与角度有关的应用问题时 可优先考虑三角方法 其一般步骤是 具体设角 构造 三角函数模型 通过三角变换来解决 另外 有些代数问题 可通过三角代换 运用三角知 识来求解 有些三角问题 也可转化成代数函数 利用代数知识来求解如前面第 2 3 题 变式探究 1 将参数方程 sin2 cos21 y x 为参数 化为普通方程 所得方程是 答案 解析 x 1 2 y2 4 由 sin2 cos21 y x sin2 cos21 y x 2 若 x2 y2 4 则 x y 的最大值是 答案 2 2解析 设 x 2cos y 2sin 则 x y 2 sin cos 23sin 4 当 2k 4 3 时 x y max 2 2 用心 爱心 专心 16 3 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室 如图所示 ABCD 是一块边长为 50 米的正方形地皮 扇形 CEF 是运动场的一部分 其半径为 40 米 矩形 AGHM 就是拟建的健 身室 其中 C M 分别在 AB 和 AD 上 H 在 EF 上 设矩形 AGHM 的面积为 S HCF 请将 S 表示为 的函数 并指出当点 H 在 EF 的何处时 该健身室的面积最大 最大面积是多少 当 t 1 时 S 有最大值 且 S最大值 500 此时 2sin cos 0 即 sin 2 0 0 2 0 或2 当 H 在 EF 的端点 E 或 F 处时 健身室面积最大 最大面积为 500 平方米 4 已知函数 f x sin 3 cos3 3 cos 3 xxx 1 将 f x 写成 Asin x k 的形式 并求其图像对称中心的横坐标 答案 解 f x sin 3 2 x 3 2 3 由 sin 3 2 x 3 0 即3 2 x 3 k k Z 得 x 2 13 k k Z 即对称中心的横坐标为 2 13 k k Z 2 如果 ABC 的三边 a b c 成等比数列 且边 b 所对的角为 x 试求 x 的取值范围 及此时函数 f x 的值域 用心 爱心 专心 17 答案 解析 2 由已知 b2 ac cosx ac acca ac bca 22 2222 0 x 3 sin3 sin 3 2 x 3 1 2 3 1 2 3 33 2 sin 3 9 5 33 2 3 x x 即 f x 的值域为 3 1 2 3 知识导学知识导学 难点 1 三角函数的图象和性质 1 关于函数 f x 4sin 2x 3 x R 有下列命题 由 f x1 f x2 可得 x1 x2必是 的整数倍 若6 x1 x2 12 且 2f x1 f x1 x2 6 则 x1 x2 函数 y f x 的图像关于点 6 0 对称 函数 y f x 的单凋递增区间可由 不等式 2k 2 2x 3 2k 2 k Z 求得 其中正确命题的序号是 图像的对称点 x 6 4sin 2 6 3 0 故 对 用心 爱心 专心 18 由复合函数的知识可知 y 4sin 2x 3 的递增区间为满足不等式 2k 2 2x 3 2k 2 3 的 x 的集合 故 错 综合得只有 正确 故填 2 函数 f x 2cos2x x2sin3 1 求函数 f x 的最小正周期 2 当方程 f x a 0 有解时 求 a 的取值范围 3 当 cos 4 2 0 3 1 时 求 f x 的值 难点难点 2 2 运用三角恒等变形求值运用三角恒等变形求值 1 若关于 x 的方程 x2 4x Sin tan 0 4 2 有两个相同的实根 1 求 a 的取值范围 2 当 a 5 6 时 求 cos 4 的值 解析 1 利有 0 可得 a 表示为 的函数 通过来值域即可得 a 的取值范围 2 可先通过第 1 问结果求出 sin2 的值 再运用降幂公式可求得 cos2 4 的值 用心 爱心 专心 19 再求 cos 4 的值就容易了 答案 1 16sin2 4a tan 0 4 2 sin 0 故 4sin cos a a 4sin cos 2sin2 2 2 0 sin20 1 0 a 2 2 由5 6 2sin2 sin2 5 3 cos 4 2 2sin1 2 2 2cos 1 5 1 2 5 3 1 而 5 5 4 cos 4 3 42 2 已知 0 2 sin cos 5 5 求 tan1 12sin2cos 的值 解析 由已知可求得 sin2 及 tan 的值 因此只要把 tan1 2sin2cos 化为 sin cos sin2 及 tan 表示的式子 再代入计算即可 答案 解法 1 把 sin cos 两边平方得 5 12 5 5 5 3 5 4 tan1 12sincos 5 3 5 4 1 2sin1 cos sincossin 0cossin 2 0 cossin cos sin2sin cos cossin cossin2sin2 1tan 2sin2cos1 tan1 12sin2cos 5 4 2sin 5 1 2sin1 2 2 用心 爱心 专心 20 解析 2 由已知 sin2 5 4 且 2 2 2 5 3 1 5 4 2cos1 2sin cos2 cossin2 cos sin tan 5 3 2cos 2 5 12 21 1 5 4 5 3 tan1 12sin2cos 3 已知 cos 4 sin 5 4 13 12 且 0 4 4 3 4 求 sin 的值 解析 注意已知角与未知角之间的联系 即 5 4 4 答案 由已知 4 3 4 所以 0 2 4 4 4 3 65 56 sin 65 56 5 4 13 5 5 3 13 12 4 sin 4 5 cos 4 cos 4 5 sin 4 4 5 sin sin sin 13 5 13 12 1 5 4 cos 5 4 5 3 4 sin 2 3 4 5 4 5 4 0 2 2 a所以 所以 又 难点难点 3 3 向量与三角函数的综合向量与三角函数的综合 1 已知向量 a 2sinx cosx b 3cosx 2cosx 定义函数 f x a b 1 1 求函数 f x 的最小正周期 2 求函数 f x 的单调减区间 解析 用向量的数量积的坐标运算求出 y f x 的解析式 再利用三角函数的图像和 性质求解 答案 1 f x a b 1 32 sinxcosx 2cos2x 1 3sin2x cosx 2sin 2x 6 2 令 3 2 63 4 22 3 2 2 3 2 6 2 2 2Zkkxkkxkkxk 函数 f x 的单调减区间为 k 3 2 6 k Z 2 设 a 1 cos sin b 1 cos sin c 1 0 0 2 a 与 b 的夹角为 1 b 与 c 的夹角为 8 sin 6 212 求 的值 用心 爱心 专心 21 解析 通过向量的夹角公式找到 1 2与 的关系 从而得 1 2与 的关系 进而求得 sin 8 的值 答案 根据题意 cos 1 2 0 2 0 2 cos 2 cos 2 2 cos2 2 cos1 cos22 cos1 1 2 ca ca 4 62 34 sin 12 sin 8 sin 3 2 6222 622 2 0 22 0 22 cos 2 sin 2 sin 2 2 sin2 2 cos1 cos22 cos1 cos 2 2122 2 21 QQQ cb cb 又而 同理 3 已知 a sino cos b cos sin b c 2cos 0 a b 2 1 a c 3 1 求 cos2 tan cot 的值 典型习题导练典型习题导练 1 已知 x 0 2 cos2x a 则 sinx A 2 1a B 2 1a C 2 1a D 2 1a 答案 B 解析 由 2 x 0 知 sinx 0 sin2x 2 2cos1x 2 1a sinx 2 1a 用心 爱心 专心 22 2 已知 4 cos 2cos 5 3 4 sin 4 3 4 x 则 的值为 A 5 8 B 8 5 C 5 4 D 5 6 答案 A 解析 4 b c B O b c C O c 6 D 6 c O 5 已知 f 2 0 2 tan 2 cot 2cos1 则 f 取得最大值时 的值是 A 6 B 4 C 3 D 5 2 答案 B 解析 f x 2sin2cossin4 sin 2 1 cos cos2 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos cos2 22 用心 爱心 专心 23 当 sin2a 1 即 4 时 f x 有最大值 6 若 sin cos tan 0 2 则 答案 C 解析 0 2 O w 0 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点为 M 2 2 2 与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N 0 0 1 求这个函数的解析式 答案 解 1 根据题意可知 A 2 4 2 T 6 2 4 T 16 于是 w 8 2 T 所以 y 2 用心 爱心 专心 24 8 sin 2 x 将点 M 的坐标代入 y 2 8 sin 2 x 即 sin 1 4 满足 的 24 为最小正数解 即 4 故所求的解析工为 y 2 48 sin 2Rxx 2 此函数可以由 y sinx 经过怎样的变换得到 写出每一个具体变换 倍纵坐标伸长到原来的 倍横坐标伸长到原来的向左平移 22 8 4 48 sin 4 sin sin xyxyxy y 2 2