【精品】高中数学 9.10《球·第二课时》教案 旧人教版必修

用心 爱心 专心 球 二 球 二 教学目标 一 教学知识点 1 利用 分割 求近似和 化为准确和 的思想方法推导球体积公式 V R3 3 4 2 球的体积公式 V R3的应用 3 4 3 几何体的接切问题 二 能力训练要求 1 使学生了解这种 分割 求近似和 化为准确和 的思想方法 2 使学生熟练掌握球体积公式 V R3 3 4 3 使学生能熟练解决几何体的相接切问题 三 德育渗透目标 培养学生用普遍联系的观点看问题 教学重点 球体积公式 V R3的应用 3 4 教学难点 了解 分割 求近似和 化为准确和 的思想方法 教学方法 启发式 由于对推导球体积公式 V R3的过程并不要求学生准确掌握 重要的是让学生必须 3 4 了解推导过程中所用的基本数学思想方法 即 分割 求近似和 化为准确和 这一重 要的数学思想方法 这将有利于学生进一步学习微积分和近代数学知识 因此教师只需指导学 生体会用 分割 求近似和 化为准确和 这一重要数学思想在研究数学问题中的应用 即可 球体积公式 V R3的应用尤为重要 本节通过引入几何体的接切概念 将球体积公式 3 4 的应用体现在与球有关的接切问题中 教学中 在解决与球有关的接切问题时 教师要启发学 生自己归纳 在一般情况下 需要通过作一个怎样的适当截面 就可以将问题转化为平面问 题去解决 教具准备 多媒体课件一个 作球 O 过球心 O 作一截面 得一半球 则半球的底面是截面 O 把半球的垂直于底 面的半径 OA 作 n 等分 过这些等分点 用一组平行于底面的平面把半球切割成 n 层 让学生 观察得 若 n 无限大时 每一层都是近似于圆柱形状的 小圆片 投影片四张 第一张 本课时教案练习 记作 9 9 2 A 第二张 课本 P68例 2 记作 9 9 2 B 第三张 本课时教案例 1 记作 9 9 2 C 第四张 本课时教案例 2 记作 9 9 2 D 用心 爱心 专心 教学过程 复习回顾 师 上节课我们讨论了球及其性质 学会了求地球上两点间的球面距离 现在请大家 思考 若 A B 为球面上相异的两点 则通过 A B 可作的大圆个数为几个 为什么 学生思考 动手画 生甲 一个 因为 A B 及球心 O 三点确定一个平面 所以这样的大圆只有一个 师 有不同意见吗 生乙 一个或无数个 当 A B 及球心 O 不共线时 可作一个大圆 当 A B 恰是球直 径的两个端点 即当 A B 及球心 O 共线时 这样的大圆可作无数个 师 生甲只注意到其中的一种情况 漏掉了另一种情况 导致问题分析不全面 不严 谨 以后学习过程中应引起注意 接下来 我们再练习一题 打出投影片 9 9 2 A 读题 练习 设地球的半径为 R 在北纬 45 圈上有两个点 A B A 在西经 40 东经 50 求 A B 两点间的球面距离 师 A B 两点的球面距离 就是球面上两点之间的最短距离 是一段弦 请大家回忆 上节课学习的计算 A B 两点间的球面距离的一般步骤是什么 生 1 计算线段 AB 的长 2 计算 A B 对球 O 的张角 AOB 3 计算大圆劣弧 AB 的长 师 好 下面请同学们画出这个题目的图形 找出 A B 所在位置 按照以上步骤完 成 A B 两点间的球面距离 请一位同学板书 其余学生练习 教师查看指导 解 如图所示 设 45 纬度圈中心为 O1 地球中心为 O 则 AO1B 45 45 90 A B O O1 OO1 面 O1所在平面 OO1 O1A OO1 O1B A B 在北纬 45 圈上 AOO1与 BOO1都等于纬度 45 的余角 45 AO1 BO1 R 2 2 在 Rt AO1B 中 AB AO1 R 2 AOB 为等边三角形 AOB 3 R R 3 A B 两点的球面距离为R 3 用心 爱心 专心 师 解决这个问题的关键是确定球心角 AOB 以上解法是将各分散的已知元素和所求 元素都集中在较为熟悉的几何体 四面体之中 从而变未知为已知 使问题获解 这节课 我们对球继续讨论 讨论球的体积及其在与球有关的相接切问题中的应用 讲授新课 师 球的体积就是球体所占空间大小的度量 球体积公式的推导过程使用了 分割 求近似和 再由近似和转化为准确和 的方法 即先将半球分割成 n 部分 再求出每一部分 的近似体积 并将这些近似值相加 得出半球的近似体积 最后通过考虑 n 变到无穷大的情 形 由半球的近似体积推出准确体积 下面 我们一起来体会这种数学思想方法的应用 教师边讲边演示多媒体课件 学生观察 思考 师 由以上的演示过程 我们得到被分成 n 层的半球的每一层都是近似于圆柱形的 小圆片 显然 这些 小圆片 的体积之和就是半球的体积 那么如何计算这些 小圆片 的体积呢 生 由于这些 小圆片 近似于圆柱形状 所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积 师 好 思路很正确 大家顺着这一思路自己阅读课本 P67 P68 完成 求和 及 化 为准确和 的学习过程 学生自学 教师指导 可能有的学生对于第三步 化为准确和 中的 当 n 变得无穷 大时 0 的理解有困难 教师要及时地指导学生通过 n 100 1000 10000 100000 时 n 1 的相应变化趋势 去直观地认识 n 1 师 同学们理解了用 分割 求近似和 化为准确和 这一思想方法推导球体积 公式的过程了 那么对球的体积 V 与球的半径 R 之间的函数关系就搞清了 即 V R3 下 3 4 面 我们来体会一下它的作用 板书球体积公式 打出投影片 9 9 2 B 读题 师 怎样利用球体积公式处理这个问题呢 生 因为钢球的质量等于钢球的密度乘以钢球的体积 而钢球的体积又等于倍的 3 4 外半径的立方减去倍的内半径的立方 3 4 解 设空心钢球的内径为 2x cm 那么钢球的质量是 7 9 3 x3 142 3 4 2 5 3 4 x3 3 11 3 2 5 49 7 3142 由计算器算得 x 2 24 2x 4 5 cm 答 空心钢球的内径约为 4 5 cm 师 两个几何体相接或相切的问题是立体几何中的重要内容 一般情况下 两个几何体 相接是指一个几何体的所有顶点 包括某一个面的周线上所有点或某一个面上的所有点 都在另一个几何体的表面上 两个几何体相切是指一个几何体的各个面与另一个几何体的各面 相切 下面 我们研究与球有关的相接切问题 打出投影片 9 9 2 C 读题 用心 爱心 专心 例 1 求球与它的外切圆柱 外切等边圆锥的体积之比 师 解答本题的关键是根据问题的题设和所求 将问题的空间图形想清楚 那么 该如 何去画呢 生 画出球及它的外切圆柱 等边圆锥的公共轴截面 再寻找几何体与几何体之间元 素的关系 师生共同分析图形 教师板书解答过程 解 如图所示 等边 SAB 为圆锥的轴截面 此截面截圆柱得正方形 C1CDD1 截球面得 球的大圆圆 O1 1 1 1 30o S AB C C D D O 设球的半径 O1O R 则它的外切圆柱的高为 2R 底面半径为 R 则有 OB O1O cot30 R 3 SO OB tan60 R 3R 33 V球 R3 V柱 R2 2R 2 R3 3 4 V锥 R 2 3R 3 R3 3 1 3 V球 V柱 V锥 4 6 9 师 以上题目 通过作球及外切圆柱 等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相 互关系 让我们继续体会有关球的相接切问题 打出投影片 9 9 2 D 读题 例 2 半径为 R 的球的内接四面体内有一内切球 求这两球的体积比 师 同学们分析题目 整理你的思路 生 先用 R 表示正四面体的棱长 再求内切球的半径 师 内切球的半径怎样求呢 生 根据几何体相切的定义知内切球 O 到正四面体各面距离为内切球的半径 故可以 通过等体积法求之 学生分析 教师板书解答过程 解 如图所示 大球 O 的半径为 R 设正四面体 A BCD 的棱长为 a 它的内切球半径为 r 依 题意知 BO1 a a AO1 a 3 2 2 3 3 3 2 1 2 BOAB 22 3 3 aa 3 6 1 A O O BD C E 用心 爱心 专心 又 BO2 BO12 OO12 R2 a 2 a R 2 3 3 3 6 a R 3 62 连结 OA OB OC OD 内切球球心到正四面体各面距离为 r VO BCD VO ABC VO ACD VO AOB VO BCD S BCD AO1 4 S BCD r 3 1 3 1 r 4 1 AO r a R R 12 6 12 6 3 62 3 1 V小球 V大球 R 3 R3 1 27 3 4 3 1 3 4 内切球与外接球的体积比为 1 27 师 整个解题过程中 最关键的是什么 生 关键在于求正四面体的高 师 好 本例题的难点显然是利用等体积法求内切球的半径 突破这一难点需要同学 们有较强的空间想象和分析能力 所以 同学们在平时的学习过程中就应该注重培养自己的观 察 判断推理的数学技能 课堂练习 课本 65练习 1 2 1 球的直径伸长为原来的 2 倍 计算球的体积变为原来的几倍 答案 设原来球体积为 R3 则当球的直径伸长为原来的 2 倍时 体积变 3 4 为 2R 3 所以 球的体积变为原来的 8 倍 3 4 2 一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长是 4 cm 求这个球的体积 答案 因正方体的顶点都在球面上 所以正方体的体对角线长等于球的直径 即 4 2R 又有 V R3 3 32 cm3 3 3 4 3 4 2 34 3 课时小结 本节课学习了球体积公式及与球有关的相接切的问题 对于前者 要求同学们要理解并 能体会出 分割 求近似和 化为准确和 这种重要数学思想方法的应用 对于处理后者 的问题时 一般可通过作一适当的截面 使得问题转化为平面问题而获解 这类截面常常是 圆锥的轴截面 球的大圆 多面体的对角面等 在这个截面中应包括