浙江省绍兴县杨汛桥镇中学2012年中考数学 压轴测试题精选精析

1 浙江省绍兴县杨汛桥镇中学浙江省绍兴县杨汛桥镇中学 20122012 年中考数学年中考数学 压轴测试题精选精析压轴测试题精选精析 1 2012 1 2012 黄石黄石 25 本小题满分 10 分 已知抛物线的函数解析式为 1 C 若抛物线经过点 方程的两根 2 3 0 yaxbxa b 1 C 0 3 2 30axbxa 为 且 1 x 2 x 12 4xx 1 求抛物线的顶点坐标 1 C 2 已知实数 请证明 并说明为何值时才会有 0 x 1 x x 2x 1 2x x 3 若抛物线先向上平移 4 个单位 再向左平移 1 个单位后得到抛物线 设 2 C 是上的两个不同点 且满足 1 A m y 2 B n y 2 C 0 90AOB 0m 0n 请你用含有的表达式表示出 的面积 并求出的最小值及取最小值时mAOBSSS 一次函数的函数解析式 OA 参考公式 在平面直角坐标系中 若 则 两点间的距 11 P x y 22 Q xyPQ 离为 22 2121 xxyy 考点考点 二次函数综合题 专题专题 压轴题 配方法 分析分析 1 求抛物线的顶点坐标 需要先求出抛物线的解析式 即确定待定系数 a b 的值 已知抛物线图象与 y 轴交点 可确定解析式中的常数项 由 此得到 a 的值 然后从方程入手求 b 的值 题干给出了两根差的绝对 值 将其进行适当变形 转化为两根和 两根积的形式 结合根与系 数的关系即可求出 b 的值 2 因此将配成完全平方式 然后根据平方的非负性即可 1 1x x 1 x x 得证 3 结合 1 的抛物线的解析式以及函数的平移规律 可得出抛物线 C2的解 析式 在 Rt OAB 中 由勾股定理可确定 m n 的关系式 然后用 m 列出 AOB 的面积表达式 结合不等式的相关知识可确定 OAB 的最小面积值 以及此时 m 的值 进而由待定系数法确定一次函数 OA 的解析式 解答解答 解 1 抛物线过 点 3a 2 a 分 x2 bx x2 bx 的两根为x1 x2且 21 x x 且b 21 2 2121 4 xxxxxx b 分 x2 x x 抛物线 的顶点坐标为 分 2 x 0 1 2 1 x x x x 显然当x 时 才有 分 2 1 x x 2 1 x x 3 方法一 由平移知识易得 的解析式为 y x2 分 m m B n n AOB为 Rt OA OB AB m m n n m n m n 化简得 m n 分 AOB OBOA 2 1 4242 2 1 nnmm m n AOB 2 222 1 2 2 1 2 2 1 m mnm 12 2 11 2 1 1 2 1 2 m m m m AOB的最小值为 此时m 分 直线OA的一次函数解析式为 x 分 方法二 由题意可求抛物线的解析式为 1 分 2 C 2 yx 2 A m m 2 B n n B n n2 A m m2 OCD y x 3 过点 作轴的垂线 垂足分别为 则ABxCD AOCBODACDB SSSS AA梯形 2222 111 222 mnmnm mn n 1 2 mn mn 由 得 BOD OAC BDOD OCAC 即 2 2 nn mm 1 分 1mn 1 n m 1 2 Smn mn 11 2 m m 由 2 知 1 2m m 111 21 22 Sm m 当且仅当 取得最小值 11m S 此时的坐标为 2 分 A 一次函数的解析式为 1 分 OAyx 点评点评 该题考查了二次函数解析式的确定 函数图象的平移 不等式的应用等知识 解题过程中完全平方式的变形被多次提及 应熟练掌握并能灵活应用 2 20122 2012 滨州 滨州 24 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 bx c 经过 A 2 4 O 0 0 B 2 0 三点 1 求抛物线 y ax2 bx c 的解析式 2 若点 M 是该抛物线对称轴上的一点 求 AM OM 的最小值 4 考点 二次函数综合题 解答 解 1 把 A 2 4 O 0 0 B 2 0 三点的坐标代入 y ax2 bx c 中 得 解这个方程组 得 a b 1 c 0 所以解析式为 y x2 x 2 由 y x2 x x 1 2 可得 抛物线的对称轴为 x 1 并且对称轴垂直平分线段 OB OM BM OM AM BM AM 连接 AB 交直线 x 1 于 M 点 则此时 OM AM 最小 过点 A 作 AN x 轴于点 N 在 Rt ABN 中 AB 4 因此 OM AM 最小值为 5 3 20123 2012 滨州 滨州 25 如图 1 l1 l2 l3 l4是一组平行线 相邻 2 条平行线间的距离都是 1 个单位长度 正方形 ABCD 的 4 个顶点 A B C D 都在这些平行线上 过点 A 作 AF l3 于点 F 交 l2于点 H 过点 C 作 CE l2于点 E 交 l3于点 G 1 求证 ADF CBE 2 求正方形 ABCD 的面积 3 如图 2 如果四条平行线不等距 相邻的两条平行线间的距离依次为 h1 h2 h3 试 用 h1 h2 h3表示正方形 ABCD 的面积 S 考点 全等三角形的判定与性质 平行线之间的距离 正方形的性质 解答 证明 1 在 Rt AFD 和 Rt CEB 中 AD BC AF CE Rt AFD Rt CEB 2 ABH CBE 90 ABH BAH 90 CBE BAH 又 AB BC AHB CEB 90 ABH BCE 6 同理可得 ABH BCE CDG DAF S正方形 ABCD 4S ABH S正方形 HEGF 4 2 1 1 1 5 3 由 1 知 AFD CEB 故 h1 h3 由 2 知 ABH BCE CDG DAF S正方形 ABCD 4S ABH S正方形 HEGF 4 h1 h2 h1 h22 2h12 2h1h2 h22 4 2012 4 2012 云南云南 22 如图 在矩形 ABCD 中 对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M 与 BD 相交于点 N 连接 BM DN 1 求证 四边形 BMDN 是菱形 2 若 AB 4 AD 8 求 MD 的长 考点 矩形的性质 线段垂直平分线的性质 勾股定理 平行四边形的判定 菱形的性质 菱形的判定 专题 计算题 证明题 分析 1 根据矩形性质求出 AD BC 根据 OB OD 和 AD BC 推出 OM ON 得出平行四边 形 BMDN 推出菱形 BMDN 2 根据菱形性质求出 DM BM 在 Rt AMB 中 根据勾股定理得出 BM2 AM2 AB2 推出 x2 x2 16x 64 16 求出即可 解答 1 证明 四边形 ABCD 是矩形 AD BC A 90 MN 是 BD 的中垂线 OB OD BD MN 7 BM DM OB OD 四边形 BMDN 是平行四边形 MN BD 平行四边形 BMDN 是菱形 2 解 四边形 BMDN 是菱形 MB MD 设 MD 长为 x 则 MB DM x 在 Rt AMB 中 BM2 AM2 AB2 即 x2 8 x 2 42 解得 x 5 答 MD 长为 5 点评 本题考查了矩形性质 平行四边形的判定 菱形的判定和性质 勾股定理等知识点 的应用 对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形是 菱形 5 2012 5 2012 云南云南 23 如图 在平面直角坐标系中 直线 y x 2 交 x 轴于点 P 交 y 轴于 点 A 抛物线 y x2 bx c 的图象过点 E 1 0 并与直线相交于 A B 两点 1 求抛物线的解析式 关系式 2 过点 A 作 AC AB 交 x 轴于点 C 求点 C 的坐标 3 除点 C 外 在坐标轴上是否存在点 M 使得 MAB 是直角三角形 若存在 请求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 8 考点 二次函数综合题 分析 1 首先求出 A 点坐标 然后利用待定系数法求出抛物线的解析式 2 利用相似三角形 Rt OCA Rt OPA 比例线段之间的关系 求出线段 OC 的 长度 从而得到 C 点的坐标 如题图所示 3 存在所求的 M 点 在 x 轴上有 3 个 y 轴上有 2 个 注意不要遗漏 求点 M 坐 标的过程并不复杂 但要充分利用相似三角形比例线段之间的关系 解答 解 1 直线解析式为 y x 2 令 x 0 则 y 2 A 0 2 抛物线 y x2 bx c 的图象过点 A 0 2 E 1 0 解得 抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 直线 y x 2 分别交 x 轴 y 轴于点 P 点 A P 6 0 A 0 2 OP 6 OA 2 AC AB OA OP 9 Rt OCA Rt OPA OC 又 C 点在 x 轴负半轴上 点 C 的坐标为 C 0 3 抛物线 y x2 x 2 与直线 y x 2 交于 A B 两点 令x2 x 2 x 2 解得 x1 0 x2 B 如答图 所示 过点 B 作 BD x 轴于点 D 则 D 0 BD DP 6 点 M 在坐标轴上 且 MAB 是直角三角形 有以下几种情况 当点 M 在 x 轴上 且 BM AB 如答图 所示 设 M m 0 则 MD m BM AB BD x 轴 即 解得 m 此时 M 点坐标为 0 当点 M 在 x 轴上 且 BM AM 如答图 所示 设 M m 0 则 MD m BM AM 易知 Rt AOM Rt MDB 即 10 化简得 m2 m 0 解得 x1 x2 此时 M 点坐标为 0 0 说明 此时的 M 点相当于以 AB 为直径的圆与 x 轴的两个交点 当点 M 在 y 轴上 且 BM AM 如答图 所示 此时 M 点坐标为 0 当点 M 在 y 轴上 且 BM AB 如答图 所示 设 M 0 m 则 AM 2 BM MM m 易知 Rt ABM Rt MBM 即 解得 m 此时 M 点坐标为 0 综上所述 除点 C 外 在坐标轴上存在点 M 使得 MAB 是直角三角形 符合条件的点 M 有 5 个 其坐标分别为 0 0 0 0 或 0 11 点评 本题综合考查了二次函数的图象与性质 待定系数法求函数解析式 一次函数 解 一元二次方程 相似三角形的判定与性质等重要知识点 难点在于第 3 问 所 求的 M 点有 5 个 x 轴上有 3 个 y 轴上有 2 个 需要分情况讨论 不要遗漏 6 2012 6 2012 岳阳岳阳 25 1 操作发现 如图 D 是等边 ABC 边 BA 上一动点 点 D 与点 B 不 重合 连接 DC 以 DC 为边在 BC 上方作等边 DCF 连接 AF 你能发现线段 AF 与 BD 之间 的数量关系吗 并证明你发现的结论 2 类比猜想 如图 当动点 D 运动至等边 ABC 边 BA 的延长线上时 其他作法与 1 相同 猜想 AF 与 BD 在 1 中的结论是否仍然成立 3 深入探究 如图 当动点 D 在等边 ABC 边 BA 上运动时 点 D 与点 B 不重合 连接 DC 以 DC 为边在 BC 上方 下方分别作等边 DCF 和等边 DCF 连接 AF BF 探究 AF BF 与 AB 有何数量关系 并证明你探究的结论 如图 当动点 D 在等边 边 BA 的延长线上运动时 其他作法与图 相同 中的结 论是否成立 若不成立 是否有新的结论 并证明你得出的结论 考点 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 12 专题 几何综合题 分析 1 根据等边三角形的三条边 三个内角都相等的性质 利用全等三角形的判定 定理 SAS 可以证得 BCD ACF 然后由全等三角形的对应边相等知 AF BD 2 通过证明 BCD ACF 即可证明 AF BD 3 AF BF AB 利用全等三角形 BCD ACF SAS 的对应边 BD AF 同 理 BCF ACD SAS 则 BF AD 所以 AF BF AB 中的结论不成立 新的结论是 AF AB BF 通过证明 BCF ACD SAS 则 BF AD 全等三角形的对应边相等 再结合 2 中的结论即可证得 AF AB BF 解答 解 1 AF BD 证明如下 ABC 是等边三角形 已知 BC AC BCA 60 等边三角形的性质 同理知 DC CF DCF 60 BCA DCA DCF DCA 即 BCD ACF 在 BCD 和 ACF 中 BCD ACF SAS BD AF 全等三角形的对应边相等 2 证明过程同 1 证得 BCD ACF SAS 则 AF BD 全等三角形的对应边 相等 所以 当动点 D 运动至等边 ABC 边 BA 的延长线上时 其他作法与 1 相 同 AF BD 仍然成立 3 AF BF AB 证明如下 由 1 知 BCD ACF SAS 则 BD AF 同理 BCF ACD SAS 则 BF AD AF BF BD AD AB 中的结论不成立 新的结论是 AF AB BF 13 证明如下 在 BCF 和 ACD 中 BCF ACD SAS BF AD 全等三角形的对应边相等 又由 2 知 AF BD AF BD AB AD AB BF 即 AF AB BF 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 等边三角形的三条边都 相等 三个内角都是 60 7 2012 7 2012 岳阳岳阳 26 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面 经过锅心和盖心的纵断面是两 端抛物线组合而成的封闭图形 不妨简称为 锅线 锅口直径为 6dm 锅深 3dm 锅盖高 1dm 锅口直径与锅盖直径视为相同 建立直接坐标系如图 所示 如果把锅纵断面的抛 物线的记为 C1 把锅盖纵断面的抛物线记为 C2 1 求 C1和 C2的解析式 2 如图 过点 B 作直线 BE y x 1 交 C1于点 E 2 连接 OE BC 在 x 轴上求一点 P 使以点 P B C 为顶点的 PBC 与 BOE 相似 求出 P 点的坐标 3 如果 2 中的直线 BE 保持不变 抛物线 C1或 C2上是否存在一点 Q 使得 EBQ 的面 积最大 若存在 求出 Q 的坐标和 EBQ 面积的最大值 若不存在 请说明理由 14 考点 二次函数综合题 专题 压轴题 分类讨论 分析 1 已知 A B C D 四点坐标 利用待定系数法即可确定两函数的解析式 2 根据直线 BE y x 1 知 该直线必过 0 1 点 那么 EBO CBO 若 以点 P B C 为顶点的 PBC 与 BOE 相似 那么夹这组对应角的对应边必成比例 先求出 BC BO BE 的长 然后分情况根据线段间的比例关系求出 BP 的长 进而得 到 OP 的长 即可确定 P 点坐标 3 EBQ 中 BE 长为定值 若以 BE 为底 当 EBQ 的面积最大时 Q 到直线 BE 的距离最大 由于点 Q 可能在抛物线 C1或 C2上 因此两种情况都要解一下 最后 通过比较得到能使 EBQ 面积最大的 Q 点 首先作直线 l BE 分别令直线 l 与抛 物线 C1 C2有且仅有一个交点 那么符合条件的 Q 点必在这两个交点中 先求出这 两个交点分别到直线 BE 的距离 距离大者符合条件 由此可得到 Q 点坐标和 EBQ 的面积最大值 解答 解 1 由于抛物线 C1 C2都过点 A 3 0 B 3 0 可设它们的解析式为 y a x 3 x 3 抛物线 C1 还经过 D 0 3 则有 3 a 0 3 0 3 a 即 抛物线 C1 y x2 3 3 x 3 抛物线 C2还经过 A 0 1 则有 1 a 0 3 0 3 a 即 抛物线 C2 y x2 1 3 x 3 2 由于直线 BE y x 1 必过 0 1 所以 CBO EBO tan CBO tan EBO 由 E 点坐标可知 tan AOE 即 AOE CBO 所以它们的补角 EOB CBx 15 若以点 P B C 为顶点的 PBC 与 BOE 相似 只需考虑两种情况 CBP1 EBO 且 OB BE BP1 BC 即 3 BP1 得 BP1 OP1 OB BP1 P1 0 P2BC EBO 且 BC BP2 OB BE 即 BP2 3 得 BP2 OP2 BP2 OB P2 0 综上 符合条件的 P 点有 P1 0 P2 0 3 如图 作直线 l 直线 BE 设直线 l y x b 当直线 l 与抛物线 C1只有一个交点时 x b x2 3 即 x2 x 3b 9 0 该交点 Q2 Q2到直线 BE x y 1 0 的距离 当直线 l 与抛物线 C2只有一个交点时 x b x2 1 即 x2 3x 9b 9 0 该交点 Q1 Q1到直线 BE x y 1 0 的距离 符合条件的 Q 点为 Q1 16 EBQ 的最大面积 Smax BE 点评 考查了二次函数综合题 该题的难度和计算量都比较大 涉及了函数解析式的确定 相似三角形的判定和性质 图形面积的解法等重点知识 解答 2 题时 应注意 分不同的对应边来进行讨论 以免漏解 3 的难度较大 点到直线的距离公式 点 x0 y0 到直线 Ax By C 0 的距离为 d 是需要记住的 内容 另外 题目在设计时结合了一定的生活元素 形式较为新颖 8 2012 8 2012 苏州苏州 28 如图 正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合 将正方形 ABCD 以 1cm s 的速度沿 FG 方向移动 移动开始前点 A 与点 F 重合 在移动过程中 边 AD 始终 与边 FG 重合 连接 CG 过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P 连接 PD 已知正方形 ABCD 的边长为 1cm 矩形 EFGH 的边 FG GH 的长分别为 4cm 3cm 设正方形移动时间为 x s 线段 GP 的长为 y cm 其中 0 x 2 5 1 试求出 y 关于 x 的函数关系式 并求当 y 3 时相应 x 的值 2 记 DGP 的面积为 S1 CDG 的面积为 S2 试说明 S1 S2是常数 3 当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时 求线段 PD 的长 17 考点 正方形的性质 一元二次方程的应用 等腰直角三角形 矩形的性质 解直角三角 形 专题 代数几何综合题 分析 1 根据题意表示出 AG GD 的长度 再由 GCD APG 利用对应边成比例可解 出 x 的值 2 利用 1 得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1 S2 然后作差即可 3 延长 PD 交 AC 于点 Q 然后判断 DGP 是等腰直角三角形 从而结合 x 的范围 得出 x 的值 在 Rt DGP 中 解直角三角形可得出 PD 的长度 解答 解 1 CG AP GCD APG GF 4 CD DA 1 AF x GD 3 x AG 4 x 即 y y 关于 x 的函数关系式为 y 当 y 3 时 3 解得 x 2 5 经检验的 x 2 5 是分式方程的根 故 x 的值为 2 5 18 2 S1 GP GD 3 x S2 GD CD 3 x 1 S1 S2 即为常数 3 延长 PD 交 AC 于点 Q 正方形 ABCD 中 AC 为对角线 CAD 45 PQ AC ADQ 45 GDP ADQ 45 DGP 是等腰直角三角形 则 GD GP 3 x 化简得 x2 5x 5 0 解得 x 0 x 2 5 x 在 Rt DGP 中 PD 3 x 点评 此题考查了正方形的性质 等腰三角形的性质及解直角三角形的知识 解答本题的 关键是用移动的时间表示出有关线段的长度 然后运用所学知识进行求解 19 9 2012 9 2012 苏州苏州 29 如图 已知抛物线 y x2 b 1 x b 是实数且 b 2 与 x 轴的 正半轴分别交于点 A B 点 A 位于点 B 的左侧 与 y 轴的正半轴交于点 C 1 点 B 的坐标为 b 0 点 C 的坐标为 0 用含 b 的代数式表示 2 请你探索在第一象限内是否存在点 P 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b 且 PBC 是 以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形 如果存在 求出点 P 的坐标 如果不存在 请说明 理由 3 请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两 个三角形均相似 全等可作相似的特殊情况 如果存在 求出点 Q 的坐标 如果不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 令 y 0 即 y x2 b 1 x 0 解关于 x 的一元二次方程即可求出 A B 横坐标 令 x 0 求出 y 的值即 C 的纵坐标 2 存在 先假设存在这样的点 P 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b 且 PBC 是 以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形 设点 P 的坐标为 x y 连接 OP 过 P 作 PD x 轴 PE y 轴 垂足分别为 D E 利用已知条件证明 PEC PDB 进而求 出 x 和 y 的值 从而求出 P 的坐标 3 存在 假设存在这样的点 Q 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两个三角形 均相似 有条件可知 要使 QOA 与 QAB 相似 只能 QAO BAQ 90 即 QA x 轴 要使 QOA 与 OQC 相似 只能 QCO 90 或 OQC 90 再分别讨论求出满足题 意 Q 的坐标即可 20 解答 解 1 令 y 0 即 y x2 b 1 x 0 解得 x 1 或 b b 是实数且 b 2 点 A 位于点 B 的左侧 点 B 的坐标为 b 0 令 x 0 解得 y 点 C 的坐标为 0 故答案为 b 0 0 2 存在 假设存在这样的点 P 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b 且 PBC 是以点 P 为直角顶 点的等腰直角三角形 设点 P 的坐标为 x y 连接 OP 则 S四边形 POCB S PCO S POB x b y 2b x 4y 16 过 P 作 PD x 轴 PE y 轴 垂足分别为 D E PEO EOD ODP 90 四边形 PEOD 是矩形 EPO 90 EPC DPB PEC PDB PE PD 即 x y 由解得 由 PEC PDB 得 EC DB 即 b 解得 b 2 符合题意 P 的坐标为 21 3 假设存在这样的点 Q 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相 似 QAB AOQ AQO QAB AOQ QAB AQO 要使 QOA 与 QAB 相似 只能 QAO BAQ 90 即 QA x 轴 b 2 AB OA Q0A ABQ 只能 AOQ AQB 此时 OQB 90 由 QA x 轴知 QA y 轴 COQ OQA 要使 QOA 与 OQC 相似 只能 QCO 90 或 OQC 90 I 当 OCQ 90 时 CQO QOA AQ CO 由 AQ AQ2 OA AB 得 2 b 1 解得 b 8 4 b 2 b 8 4 点 Q 的坐标是 1 2 II 当 OQC 90 时 QCO QOA 即 OQ2 OC AQ 又 OQ2 OA OB OC AQ OA OB 即 AQ 1 b 解得 AQ 4 此时 b 17 2 符合题意 点 Q 的坐标是 1 4 综上可知 存在点 Q 1 2 或 Q 1 4 使得 QCO QOA 和 QAB 中的 任意两个三角形均相似 22 点评 此题是一道综合题 难度较大 主要考查二次函数的性质 全等三角形的判定和性 质 以及相似三角形的判定和性质 还考查等腰三角形的性质及勾股定理 同时还 让学生探究存在性问题 对待问题要思考全面 学会分类讨论的思想 10 10 20122012 广东深圳广东深圳 9 9 分 分 22 如图 已知 ABC 的三个顶点坐标分别为 A 4 0 B 1 0 C 2 6 1 求经过 A B C 三点的抛物线解析式 2 设直线 BC 交 y 轴于点 E 连接 AE 求证 AE CE 3 设抛物线与 y 轴交于点 D 连接 AD 交 BC 于点 F 试问以 A B F 为顶点的三角形与 ABC 相似吗 请说明理由 答案答案 解 1 抛物线经过 A 4 0 B 1 0 设函数解析式为 y a x 4 x 1 又 由抛物线经过 C 2 6 6 a 2 4 2 1 解得 a 1 经过 A B C 三点的抛物线解析式为 y x 4 x 1 即 y x2 3x 4 23 2 证明 设直线 BC 的函数解析式为 y kx b 由题意得 解得 kb0 2kb6 k2 b2 直线 BC 的解析式为 y 2x 2 点 E 的坐标为 0 2 22 22 22 AEAOOE422 5CE20622 5 AE CE 3 相似 理由如下 设直线 AD 的解析式为 y k1x b1 则 解得 11 1 4kb0 b4 1 1 k1 b4 直线 AD 的解析式为 y x 4 联立直线 AD 与直线 BC 的函数解析式可得 解得 yx4 y2x2 2 x 3 10 y 3 点 F 的坐标为 210 33 则 2222 2105 521010 2 BF 10AF 41 0 333333 又 AB 5 22 BC 2160 3 5 BF5AB 5 AB3BC3 BFAB ABBC 又 ABF CBA ABF CBA 以 A B F 为顶点的三角形与 ABC 相似 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 勾股定理 相似 三角形的判定 分析分析 1 利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式 2 求出直线 BC 的函数解析式 从而得出点 E 的坐标 然后分别求出 AE 及 CE 的 24 长度即可证明出结论 3 求出 AD 的函数解析式 然后结合直线 BC 的解析式可得出点 F 的坐标 根据勾股定理 分别求出 BF BC 得出 由题意得 ABF CBA 即可作出判断 BFAB ABBC 11 11 20122012 成都成都 28 本小题满分 l2 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 一次函数 5 4 yxm m为常数 的图象与 x 轴交 于点 A 3 0 与 y 轴交于点 C 以直线 x 1 为对称轴的抛物线 2 yaxbxc abc 为常数 且a 0 经过 A C 两点 并与 x 轴的正半轴交于点 B 1 求m的值及抛物线的函数表达式 2 设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点 过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F 是否存 在这样的点 E 使得以 A C E F 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求出点 E 的坐 标及相应的平行四边形的面积 若不存在 请说明理由 3 若 P 是抛物线对称轴上使 ACP 的周长取得最小值的点 过点 P 任意作一条与 y 轴 不平行的直线交抛物线于 111 M xy 222 M xy 两点 试探究 21 12 PPMM M M 是否为定 值 并写出探究过程 考点 二次函数综合题 解答 解 1 经过点 3 0 25 0 m 解得 m 直线解析式为 C 0 抛物线 y ax2 bx c 对称轴为 x 1 且与 x 轴交于 A 3 0 另一交点为 B 5 0 设抛物线解析式为 y a x 3 x 5 抛物线经过 C 0 a 3 5 解得 a 抛物线解析式为 y x2 x 2 假设存在点 E 使得以 A C E F 为顶点的四边形是平行四边形 则 AC EF 且 AC EF 如答图 1 i 当点 E 在点 E 位置时 过点 E 作 EG x 轴于点 G AC EF CAO EFG 又 CAO EFG EG CO 即 yE xE2 xE 解得 xE 2 xE 0 与 C 点重合 舍去 E 2 S ACEF ii 当点 E 在点 E 位置时 过点 E 作 E G x 轴于点 G 同理可求得 E 1 S ACE F 26 3 要使 ACP 的周长最小 只需 AP CP 最小即可 如答图 2 连接 BC 交 x 1 于 P 点 因为点 A B 关于 x 1 对称 根据轴对称性质以及两点 之间线段最短 可知此时 AP CP 最小 AP CP 最小值为线段 BC 的长度 B 5 0 C 0 直线 BC 解析式为 y x xP 1 yP 3 即 P 1 3 令经过点 P 1 3 的直线为 y kx 3 k y kx 3 k y x2 x 联立化简得 x2 4k 2 x 4k 3 0 x1 x2 2 4k x1x2 4k 3 y1 kx1 3 k y2 kx2 3 k y1 y2 k x1 x2 根据两点间距离公式得到 M1M2 M1M2 4 1 k2 又 M1P 同理 M2P M1P M2P 1 k2 1 k2 1 k2 4 1 k2 M1P M2P M1M2 1 为定值 27 12 2012 12 2012 聊城聊城 25 某电子厂商投产一种新型电子厂品 每件制造成本为 18 元 试销过程中发现 每月销 售量 y 万件 与销售单价 x 元 之间的关系可以近似地看作一次函数 y 2x 100 利 润 售价 制造成本 1 写出每月的利润 z 万元 与销售单价 x 元 之间的函数关系式 2 当销售单价为多少元时 厂商每月能获得 3502 万元的利润 当销售单价为多少元时 厂商每月能获得最大利润 最大利润是多少 3 根据相关部门规定 这种电子产品的销售单价不能高于 32 元 如果厂商要获得每月 不低于 350 万元的利润 那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元 考点 二次函数的应用 一次函数的应用 分析 1 根据每月的利润 z x 18 y 再把 y 2x 100 代入即可求出 z 与 x 之间的 函数解析式 2 把 z 350 代入 z 2x2 136x 1800 解这个方程即可 将 z 2x2 136x 1800 配方 得 z 2 x 34 2 512 即可求出当销售单价为多少元时 厂商每月能获得最大利润 最大利润是多少 3 结合 2 及函数 z 2x2 136x 1800 的图象即可求出当 25 x 43 时 z 350 再根据限价 32 元 得出 25 x 32 最后根据一次函数 y 2x 100 中 y 随 x 的增大而减小 即可得出当 x 32 时 每月制造成本最低 最低成本是 28 18 2 32 100 解答 解 1 z x 18 y x 18 2x 100 2x2 136x 1800 z 与 x 之间的函数解析式为 z 2x2 136x 1800 2 由 z 350 得 350 2x2 136x 1800 解这个方程得 x1 25 x2 43 所以 销售单价定为 25 元或 43 元 将 z 2x2 136x 1800 配方 得 z 2 x 34 2 512 因此 当销售单价为 34 元时 每月能获得最大利润 最大利润是 512 万元 3 结合 2 及函数 z 2x2 136x 1800 的图象 如图所示 可知 当 25 x 43 时 z 350 又由限价 32 元 得 25 x 32 根据一次函数的性质 得 y 2x 100 中 y 随 x 的增大而减小 当 x 32 时 每月制造成本最低 最低成本是 18 2 32 100 648 万元 因此 所求每月最低制造成本为 648 万元 点评 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用 关键是根据题意求出二次函数的解析 式 综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题 13 13 20122012 安徽安徽 23 如图 排球运动员站在点 O 处练习发球 将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出 把球看成 点 其运行的高度 y m 与运行的水平距离 x m 满足关系式 y a x 6 2 h 已知球网与 O 点的水平距离为 9m 高度为 2 43m 球场的边界距 O 点的水平距离为 18m 29 1 当 h 2 6 时 求 y 与 x 的关系式 不要求写出自变量 x 的取值范围 2 当 h 2 6 时 球能否越过球网 球会不会出界 请说明理由 3 若球一定能越过球网 又不出边界 求 h 的取值范围 23 解析 1 根据函数图象上面的点的坐标应该满足函数解析式 把 x 0 y 2 及 h 2 6 代入到 y a x 6 2 h 中即可求函数解析式 2 根据函数解析式确定函数图象上点的坐标 并解决时间问题 3 先把 x 0 y 2 代入到 y a x 6 2 h 中求出 然后分别表 36 2h a 示出 x 9 x 18 时 y 的值应满足的条件 解得即可 解 1 把 x 0 y 2 及 h 2 6 代入到 y a x 6 2 h 即 2 a 0 6 2 2 6 60 1 a y x 6 2 2 6 60 1 2 当 h 2 6 时 y x 6 2 2 6 60 1 x 9 时 y 9 6 2 2 6 2 45 2 43 60 1 球能越过网 x 18 时 y 18 6 2 2 6 0 2 0 60 1 球会过界 3 x 0 y 2 代入到 y a x 6 2 h 得 36 2h a x 9 时 y 9 6 2 h 2 43 36 2h 4 32h x 18 时 y 18 6 2 h 0 36 2h h38 第 23 题 图 A O x y 球 球 球 球 1896 2 30 由 得 h 3 8 点评 本题是二次函数问题 利用函数图象上点的坐标确定函数解析式 然后根据函数性 质来结合实际问题求解 14 14 20122012 乐山乐山 26 如图 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 m m 点 B 的坐标为 n n 抛物 线经过 A O B 三点 连接 OA OB AB 线段 AB 交 y 轴于点 C 已知实数 m n m n 分别是方程 x2 2x 3 0 的两根 1 求抛物线的解析式 2 若点 P 为线段 OB 上的一个动点 不与点 O B 重合 直线 PC 与抛物线交于 D E 两 点 点 D 在 y 轴右侧 连接 OD BD 当 OPC 为等腰三角形时 求点 P 的坐标 求 BOD 面积的最大值 并写出此时点 D 的坐标 考点 二次函数综合题 分析 1 首先解方程得出 A B 两点的坐标 进而利用待定系数法求出二次函数解析式 即可 2 首先求出 AB 的直线解析式 以及 BO 解析式 再利用等腰三角形的性质得出 当 OC OP 时 当 OP PC 时 点 P 在线段 OC 的中垂线上 当 OC PC 时分别求出 x 的值 即可 利用 S BOD S ODQ S BDQ得出关于 x 的二次函数 进而得出最值即可 31 解答 解 1 解方程 x2 2x 3 0 得 x1 3 x2 1 m n m 1 n 3 1 分 A 1 1 B 3 3 抛物线过原点 设抛物线的解析式为 y ax2 bx 解得 抛物线的解析式为 4 分 2 设直线 AB 的解析式为 y kx b 解得 直线 AB 的解析式为 C 点坐标为 0 6 分 直线 OB 过点 O 0 0 B 3 3 直线 OB 的解析式为 y x OPC 为等腰三角形 OC OP 或 OP PC 或 OC PC 设 P x x i 当 OC OP 时 解得 舍去 32 P1 ii 当 OP PC 时 点 P 在线段 OC 的中垂线上 P2 iii 当 OC PC 时 由 解得 x2 0 舍去 P3 P 点坐标为 P1 或 P2 或 P3 9 分 过点 D 作 DG x 轴 垂足为 G 交 OB 于 Q 过 B 作 BH x 轴 垂足为 H 设 Q x x D x S BOD S ODQ S BDQ DQ OG DQ GH DQ OG GH 0 x 3 当时 S 取得最大值为 此时 D 13 分 点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知 识 求面积最值经常利用二次函数的最值求法得出 15 15 20122012 衢州衢州 33 24 如图 把两个全等的 Rt AOB 和 Rt COD 分别置于平面直角坐标系中 使直角边 OB OD 在 x 轴上 已知点 A 1 2 过 A C 两点的直线分别交 x 轴 y 轴于点 E F 抛 物线 y ax2 bx c 经过 O A C 三点 1 求该抛物线的函数解析式 2 点 P 为线段 OC 上一个动点 过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M 交 x 轴于点 N 问是否存在这样的点 P 使得四边形 ABPM 为等腰梯形 若存在 求出此时点 P 的坐标 若 不存在 请说明理由 3 若 AOB 沿 AC 方向平移 点 A 始终在线段 AC 上 且不与点 C 重合 AOB 在平移过 程中与 COD 重叠部分面积记为 S 试探究 S 是否存在最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 抛物线 y ax2 bx c 经过点 O A C 利用待定系数法求抛物线的解析式 2 根据等腰梯形的性质 确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系 得到一元 二次方程 求出 t 的值 从而可解 结论 存在点 P 使得四边形 ABPM 为 等腰梯形 3 本问关键是求得重叠部分面积 S 的表达式 然后利用二次函数的极值求得 S 的 最大值 解答中提供了三种求解面积 S 表达式的方法 殊途同归 可仔细体味 解答 解 1 抛物线 y ax2 bx c 经过点 O A C 可得 c 0 34 解得 a b 抛物线解析式为 y x2 x 2 设点 P 的横坐标为 t PN CD OPN OCD 可得 PN P t 点 M 在抛物线上 M t t2 t 如解答图 1 过 M 点作 MG AB 于 G 过 P 点作 PH AB 于 H AG yA yM 2 t2 t t2 t 2 BH PN 当 AG BH 时 四边形 ABPM 为等腰梯形 t2 t 2 化简得 3t2 8t 4 0 解得 t1 2 不合题意 舍去 t2 点 P 的坐标为 存在点 P 使得四边形 ABPM 为等腰梯形 3 如解答图 2 AOB 沿 AC 方向平移至 A O B A B 交 x 轴于 T 交 OC 于 Q A O 交 x 轴于 K 交 OC 于 R 求得过 A C 的直线为 yAC x 3 可设点 A 的横坐标为 a 则点 A a a 3 易知 OQT OCD 可得 QT 点 Q 的坐标为 a 解法一 设 AB 与 OC 相交于点 J ARQ AOJ 相似三角形对应高的比等于相似比 HT 2 a 35 KT A T 3 a A Q yA yQ a 3 3 a S四边形 RKTQ S A KT S A RQ KT A T A Q HT 3 a 3 a a 2 a2 a a 2 由于 0 在线段 AC 上存在点 A 能使重叠部分面积 S 取到最大值 最大值 为 解法二 过点 R 作 RH x 轴于 H 则由 ORH OCD 得 由 RKH A O B 得 由 得 KH OH OK OH KT OT OK a OH 由 A KT A O B 得 则 KT 由 得 a OH 即 OH 2a 2 RH a 1 所以点 R 的坐标为 R 2a 2 a 1 S四边形 RKTQ S QOT S ROK OT QT OK RH a a 1 a a 1 a2 a a 2 由于 0 在线段 AC 上存在点 A 能使重叠部分面积 S 取到最大值 最大值 为 36 解法三 AB 2 OB 1 tan O A B tan OAB KT A T tan O A B a 3 a OK OT KT a a a 过点 R 作 RH x 轴于 H tan OAB tan RKH 2 RH 2KH 又 tan OAB tan ROH 2RH OK KH a RH RH a 1 OH 2 a 1 点 R 坐标 R 2a 2 a 1 S四边形 RKTQ S A KT S A RQ KT A T A Q xQ xR 3 a 3 a a 2 a2 a a 2 由于 0 在线段 AC 上存在点 A 能使重叠部分面积 S 取到最大值 最大值 为 37 点评 本题综合考查了二次函数的图象与性质 待定系数法 二次函数的最值 等腰梯形 相似三角形 图形的平移以及几何图形面积的求法 涉及到的知识点众多 难度较 大 对学生能力要求较高 有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力 16 16 20122012 绍兴绍兴 25 如图 矩形 OABC 的两边在坐标轴上 连接 AC 抛物线经过 A B 两点 2 42yxx 1 求 A 点坐标及线段 AB 的长 2 若点 P 由点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB 边向点 B 移动 1 秒后点 Q 也由点 A 出发以每秒 7 个单位的速度沿 AO OC CB 边向点 B 移动 当其中一个点到达终点时另一个 点也停止移动 点 P 的移动时间为 t 秒 当 PQ AC 时 求 t 的值 当 PQ AC 时 对于抛物线对称轴上一点 H HOQ POQ 求点 H 的纵坐标的取值范围 考点 二次函数综合题 解答 解 1 由抛物线知 当 x 0 时 y 2 2 42yxx 38 A 0 2 由于四边形 OABC 是矩形 所以 AB x 轴 即 A B 的纵坐标相同 当时 解得 2y 2 242xx 12 04xx B 4 2 AB 4 2 由题意知 A 点移动路程为 AP t Q 点移动路程为 7 1 77tt 当 Q 点在 OA 上时 即 时 0772t 9 1 7 t 如图 1 若 PQ AC 则有 Rt QAP Rt ABC 即 QAAP ABBC 77 42 tt 7 5 t 79 57 此时 t 值不合题意 当 Q 点在 OC 上时 即 时 2776t 9 7 13 7 t 如图 2 过 Q 点作 QD AB AD OQ 7 t 1 2 7t 9 DP t 7t 9 9 6t 若 PQ AC 则有 Rt QDP Rt ABC 即 QADP ABBC 296 44 t 4 3 t 9413 737 符合题意 4 3 t 当 Q 点在 BC 上时 即 时 6778t 31 77 15 t 如图 3 若 PQ AC 过 Q 点作 QG AC 则 QG PG 即 GQP 90 QPB 90 这与 QPB 的内角和为 180 矛盾 39 此时 PQ 不与 AC 垂直 综上所述 当时 有 PQ AC 4 3 t 当 PQ AC 时 如图 4 BPQ BAC BPBQ BABC 487 1 42 tt 解得 t 2 即当 t 2 时 PQ AC 此时 AP 2 BQ CQ 1 P 2 2 Q 4 1 抛物线对称轴的解析式为 x 2 当 H1为对称轴与 OP 的交点时 有 H1OQ POQ 当 yH 2 时 HOQ POQ 作 P 点关于 OQ 的对称点 P 连接 PP 交 OQ 于点 M 过 P 作 P N 垂直于对称轴 垂足为 N 连接 OP 在 Rt OCQ 中 OC 4 CQ 1 OQ 17 S OPQ S四边形 ABCD S AOP S COQ S QBP 3 OQ PM 1 2 PM 6 17 17 PP 2PM 12 17 17 NPP COQ Rt COQ Rt NPP CQP N OQPP 12 P N 17 48 PN 17 P 46 14 17 17 40 直线 OP 的解析式为