2012高考数学最后冲刺 复数

用心 爱心 专心 1 最后冲刺最后冲刺 高考预测高考预测 1 复数的概念 2 复数的代数形式及运算 3 复数概念的应用 4 复数的代数形式及运算 易错点易错点 1 1 复数的概念复数的概念 1 2012 精选模拟 若 z1 a 2i z2 3 4i 且 2 1 z z 为纯虚数 则实数 a 的值为 错误解答 z1 a 2i z2 3 4i 25 46 25 83 169 46 83 43 43 43 2 43 2 2 1 i aaiaa ii iiaia z z 又 2 1 z z 为纯虚数 0 25 83 a a 3 8 填3 8 错解分析 复数 z a bi a b R 为纯虚数的充要条件是 a 0 且 b 0 因此上面解答 虽 错误解答 选 C z i 1 1 1 i z 为纯虚数为 1 i 错解分析 z i 1 1 1 i 是错误的 因为 1 i 1 i 1 i 2 z 1 用心 爱心 专心 2 正确解答 选 B z i 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 i i ii i z i 1 1 的共轭复数是2 1 2 1 i 3 2012 精选模拟 已知复数 z1 3 4i z2 t i 且 21 zz 是实数 则实数 t A 4 3 B 3 4 C 3 4 D 4 3 错误解答 选 C z1 2 z R 2121 zzzz 0 即 3 4i t i 3 4i t i 0 t 3 4 错误解答 设 z x yi x y R z 2i x y 2 i 由题意得 y 2 5 1 2 2 2 i ix i z x 2 2 i 5 1 2x 2 5 1 x 4 i 由题意得 x 4 z 4 2i z ai 2 4 a 2 i 2 12 4a a2 8 a 2 i z ai 2在复平面上的点在第一象限 0 2 8 0412 2 a aa 解得 2 a 6 实数 a 的取值范围是 2 6 错解分析 复数 z a bi a b R 对应点 a b 在第一象限的充要条件是 a 0 b 0 a 0 对应点在虚轴上 b 0 对应点在实轴上 不属于任何象限 因此 a 2 b 6 用心 爱心 专心 3 正确解答 设 z x yi x y R z 2i x y 2 i 由题意得 y 2 又 5 1 2 2 2 2 ii iz i z 2x 2 5 1 x 4 i 由题意得 x 4 z 4 2i z ai 2 12 4a a2 8 a 2 i 根据条件 可知 0 2 8 0412 2 a aa 解得 2 a 6 实数 a 的取值范围是 2 6 特别提醒特别提醒 1 深刻理解复数 实数 虚数 纯虚数 模 辐角 辐角主值 共轭复数的概念和得 数的几何表示 复数 z a bi a b R 与复平面内的点 a b 及向量OP是一一对应的 在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想 如纯虚数与虚轴上的点对应 实数与实轴上 的点对应 复数的模表示复数对应的点到原点的距离 2 要善于掌握化虚为实的转化方法 即设复数 z a bi a b R 但有时给许多问题的 求解带来不必要的运算困难 而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法 则能事半 功倍 同时要注意复数几何意义的应用 变式训练变式训练 1 若复数 i ia 21 3 a R i 为虚数单位 是纯虚数 则实数 a 的值为 A 2 B 4 C 6 D 6 用心 爱心 专心 4 3 设复数 z 满足 i z z 1 1 则 1 z A 0 B 1 C 2 D 2 答案 C 解析 由 2 1 1 1 1 1 2 i i i i zi z z 1 z 1 i 211 22 C选 4 已知复数 z1满足 1 i z1 1 5i a2 a 2 i 其中 i 为虚数单位 a R 若 z1 2 z z1 求 a 的取值范围 答案 解 由题意得 于是 32 1 51 1 i i i z 13 4 4 24 1 2 21 zaiazz 由 078 134 4 22 aaa得 1 a 7 易错点易错点 2 2 复数的代数形式及运算复数的代数形式及运算 1 复数 i i 21 2 3 A i B i C 2 2 i D 22 i 错误解答 选 C 22 1 22 21 21 2 21 2 21 2 3 i iii i i i i 错解分析 上面解答错误认为 i2 1 导致结果错误 用心 爱心 专心 5 错解分析 上面解答似乎很有 道理 但 2 1 i 2 3 5 2 1 i 2 3 3 3 5 是错误的 zmn zm n在 数范围内 必须是 m n 均正整数时才成立 这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幂运 算法则 所以对于数学中的有关定理 定义 法则 性质等 在应用时 必须注意成立的条 件 否则会产生错误 正确解答 选 A 原式 2 3 2 1 16 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 555 55 iw ww ww w w i i 令 3 满足条件 z i 3 4i 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 A 一条直线 B 两条直线 C 圆 D 椭圆 错误解答 选 A 由 z i 3 4i 知 z 在复平面上对应的图形是点 0 1 和 3 4 的垂直平分线 错解分析 以上解答错在两边取模的计算 因为 z1 z2 z1 z2 只有当 z1 z2 R 时成立 而从题设条件中是无法得到这一条件的 正确解答 原方程化简为 z 2 1 i z 1 i z 1 3i 设 z x yi x y R 代入上述方程得 x2 y2 2xi 2yi 1 3i 2 322 1 1 22 yx yx 用心 爱心 专心 6 将 2 代入 1 整理得 8x2 12x 5 0 16 0 方程 无实数解 原方程在复数范围内无解 特别提醒 1 复数的加 减 乘 除运算一般用代数形式进行 2 求解计算时 要充分利用 i w 的性质 可适当变形 创造条件 从而转化 i w 转 化的计算问题 3 在复数的求解过程中 要注意复数整体思想的把握和运用 变式训练变式训练 1 i ii 1 21 1 A 2 i B 2 i C 2 i D 2 i 5 设 i 是虚数单位 复数 z 和 w 满足 zw 2iz 2iw 1 0 若 z 和 w 又满足w z 2i 求 z 和 w 值 答案 012 2 2 01222 2 iwiwiwiwizzwiwzizw中得代入 025605 2 4 0524 22 xiyyxyixiyixiyixyixRyxyixw wiiwww 则上式可变为设 用心 爱心 专心 7 3 5 5 0 1 0 02 056 22 iziwiziw y x y x x yyx 或 或 2 求证 如果 z 3 那么 w 4i 的值是一个常数 并求这个常数 答案 由 wz 2iz 2iw 1 0 有 z w 2i 2iw 1 z w 2i 2iw 1 设 w x yi 则有 44 2 2 2 2222 yyxyxiyxiw 14444 12 212 12 2222 yyxxyxiyiw 又 z 3 故 式可变为 3 x2 y2 4y 4 4x2 4y2 4y 1 x2 y2 8y 11 33 4 331116 168 4 4 4 22 42 且等于的值是常数iw yyx yxiyxiw 知识导学知识导学 难点难点 1 1 复数概念的应用复数概念的应用 下列命题中 1 两个复数不能比较大小 2 若 z a bi 则当且仅当 a 0 b 0 时 z 为纯虚数 3 z1 z2 2 z2 z3 2 0 则 z1 z2 z3 4 x yi 1 i x y 1 5 若实数 a 与 ai 对应 则实数集与纯虚集一一对应 其中正确的命题的个数是 用心 爱心 专心 8 A 0 B 1 C 2 D 3 点们于第三象限 解析 讨论此类问题时 首先将原式化为复数 z a bi a b R 的形式 然后根据复 数的分类求解 4 log2 x2 3x 3 ilog2 x 3 log49 i 根据两个复数相等的条件 1 3 log 49log 33 log 2 4 2 2 x xx 2 原式 2 2 2 1 2 321 321 1003100310032 iii i i i i ii 用心 爱心 专心 9 2 设复数 z i ii 2 1 3 1 2 若 z2 az b 1 i 求实数 a b 的值 解析 与实数集中求值问题类似 应先化简后代入求值 答案 z 1 5 55 2 2 2 3 2 3 2 1 32 2 1 3 1 2 i i ii ii i i i ii i ii 将 z 1 i 代入 z2 az b 1 i 得 1 i 2 a 1 i b 1 i 即 a b a b i 1 i 4 3 1 2 1 b a a ba 解得 3 若 z c 且 z 2 2i 1 则 z 2 2i 的了小值是 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 运用数形结合的思想求解 答案 B z 2 2i 1 即 z 2 2i 1 点 z 的轨迹是以 2 2 为圆心 以 1 为半径的圆 z 2 2i 表示圆上一点到定点 A a2 b2 1 即 z 1 w 2a 1 w 2 z 的实部的取值范围是 2 1 1 2 u 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 22 22 i a b ba bba bia bia bia bia bia bia z z 用心 爱心 专心 10 又 a 2 1 1 b 0 u 为纯虚数 3 w u2 2a 13223 1 2 1 2 1 2 12 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a b 2 a 1 1 2 a 即 a 0 2 1 1 时 上式等号成立 w u2的最小值为 1 典型习题导练典型习题导练 1 已知复数 Z1 3 4i Z2 1 i 则 Z1 2 Z 等于 A 7 i B 7 i C 1 7i D 1 7i 答案 A 解析 由 z2 1 I 得 7 1 43 1 212 iiizziz 于是 2 在复平面内 设向量 1 p x1 y1 2 p x2 y2 设复数 Z1 x1 y1i x1 y1 x2 y2 R 则 1 p 2 p 等于 A 1 Z Z2 2 Z Z1 B 1 Z Z2 Z1 2 Z C 2 1 1 Z Z2 Z1 2 Z D 2 1 1 Z Z2 Z1 2 Z z 5 3 5 4 5 3 5 4 5 34 2 2 2 21 21 Azi i ii ii iz i 位于第一象限选对应的点 5 i i 3 31 2 用心 爱心 专心 11 A 3 i B 3 i C 3 i D 3 i 答案 C 解析 3 3 31 2 3 31 2 Ci i i i i 选 6 44 1 4 1 2 ii 的值为 A 2 B 2 C 0 D 1 答案 B 解析 z1 10 71 10 3 21 3 21iii i i 10 1 50 139 50 2 71 2 10 71 22 2 2 2 zzz iii i i z又 9 定义运算 d b c a ad bc 若复数 Z x yi x y R 满足 1 1 1 Z 的模等于 x 则复数 Z 对应 的点 Z x y 的轨迹方程为 答案 2 1 2 1 1 2 1 2 22222 xyxyxxzxy解析 10 1 i 3 10的展开式中所有奇数项的和为 答案 3 3 31 31 2 33 10 22 10 1 10 109 iCiCiCi 解析 322 2 3 2 1 222 2 3 2 1 2 31 31 31 991010101010101010 iiwwiiii 又的实部为复数的展开式中奇数项之和 1 3i 10的展开式中各奇数项和为 29 用心 爱心 专心 12 11 已知 z2 5 12i 求 f z z z 1 的值 答案 解 设 z z yi x1y R 则 z2 x yi 2 x2 y2 2xyi 由题设得 x2 y2 2xyi 5 12i 2 3 2 3 122 522 y x y x x