上海重点中学2011届高三上学期期中考试试卷（数学理）.doc

上海重点中学2011届高三上学期期中考试试卷（数学理）考生注意：本试卷共有20道试题，满分150分，考试时间120分钟一.填空题（本大题满分40分）本大题共有10题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.若，则正整数的值为_10_.2.函数的反函数是 3.记的展开式中第m项的系数为，若，则的值为_5_.4.方程的解集为 .5.在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为则tan()的值为_.6.已知函数，若存在使成立，则实数的取值范围是_.7.不等式的解集是_.8.已知函数，则当时，自变量的取值范围是_.9.已知函数，若关于x的方程在区间上有实数解，则实数a的取值范围是_.10.设是定义在上的奇函数，且对于任意的，恒成立，当时，.若方程恰好有5个不同的解，则实数的取值范围是_.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11若，则M，N两个集合的关系是（ D ）ABCD12“成立”是“成立”的（ A ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件13.在中，分别是角的对边，且，则是（ B ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形14.已知二次函数（其中）的图像如下面右图所示，则函数的图像是 ( A ) f (x)三.解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤15（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知集合，集合，集合（1）求AB；（2）若，求实数的取值范围解：（1）或， 2分= 4分所以AB= 6分（2）因为，所以，10分因此实数a的取值范围是 12分16.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.在中，（1）求角C； （2）求的面积解：（1）由，得，所以 4分因为，6分又， 故 8分（2）根据正弦定理得， 11分所以的面积为 14分17（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知函数（1）求函数的最小正周期及最值；（2）令，判断函数的奇偶性，并加以证明解：（1） 4分的最小正周期 6分当时，取得最小值；当时，取得最大值28分（2）由（1）知又 11分 13分函数是偶函数 14分18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分5分.现建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小.（1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少？（2）如防洪堤的高限制在范围内，则外周长的最小应为多少米？【解】（1）依题意有，所以 3分所以 6分 当，即时等号成立. 所以外围的周长的最小值为米，此时堤高米.-9分（2）由（1）知， 因为函数在递增 11分所以当时，（米） 13分故外周长最小应为米. 14分19.（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分8分.请认真阅读并思考以下五个命题：若函数的图像与其反函数的图像存在公共点，则该公共点必在直线上.函数是奇函数的充要条件是.若定义在R上的函数满足和，则函数一定是偶函数.已知函数在上是增函数，若，且，则.设函数的图像关于直线对称，则函数在区间上是减函数.（1）请你将五个命题中真命题的序号全部选择出来，并选择其中一个加以证明；（2）请你将五个命题中假命题的序号全部选择出来，并选择其中一个加以证明.解：（1）真命题的序号是. 3分的证明：由得，.又由得，函数是偶函数.故命题是真命题.的证明：因为在R上是增函数，且，所以.同向相加得. 故命题是真命题.的证明：由得.依题意知，函数与其反函数是同一函数，. .设，函数在上是减函数.故命题是真命题. 10分（2）假命题的序号是. 12分的证明：取，则.函数的图像与其反函数的图像有三个公共点，且只有一个公共点在直线上，而另外两个公共点和都不在直线上.所以命题是假命题.的证明：当时，.由，得.所以函数不是奇函数. 故命题是假命题. 18分20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.已知函数定义在R上.（1）若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）若可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设，求出的解析式；（3）若对任意都有成立，求实数m的取值范围.解：（1）依题意有，即关于的方程有解.2分而，当且仅当，即时等号成立， 故实数m的取值范围是. 4分（2）假设，其中为偶函数，为奇函数，则有，即，由解得，. 6分定义在R上，都定义在R