高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用高中数学导数及其应用 一 知识网络一 知识网络 二 高考考点二 高考考点 1 导数定义的认知与应用 2 求导公式与运算法则的运用 3 导数的几何意义 4 导数在研究函数单调性上的应用 5 导数在寻求函数的极值或最值的应用 6 导数在解决实际问题中的应用 三 知识要点三 知识要点 一 导数 1 导数的概念 1 导数的定义 设函数 在点 及其附近有定义 当自变量 x 在 处有增量 x x 可 正可负 则函数 y 相应地有增量 这两个增量的比 叫做函数 在点 到 这间的平均变化率 如 果 时 有极限 则说函数 在点 处可导 并把这个极限叫做 在点 处的导数 或变化率 记作 即 如果函数 在开区间 内每一点都可导 则说 在开区间 内可导 此时 对于开区间 内每一个确定的值 都对应着一个确定的导数 这样在开区间 内构成一个新的函数 我们把这个新函数叫做 在开区 间 内的导函数 简称导数 记作 或 即 认知 函数 的导数 是以 x 为自变量的函数 而函数 在点 处的导数 是一个数值 在点 处的导数 是 的导函数 当 时 的函数值 求函数 在点 处的导数的三部曲 求函数的增量 求平均变化率 求极限 上述三部曲可简记为一差 二比 三极限 2 导数的几何意义 函数 在点 处的导数 是曲线 在点 处的切线的 斜率 3 函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别 若函数 在点 处可导 则 在点 处连续 若函数 在开区间 内可导 则 在开区间 内连续 可导一定 连续 事实上 若函数 在点 处可导 则有 此时 记 则有 即 在点 处连续 若函数 在点 处连续 但 在点 处不一定可导 连续不一定可导 反例 在点 处连续 但在点 处无导数 事实上 在点 处的增量 当 时 当 时 由此可知 不存在 故 在点 处不可导 2 求导公式与求导运算法则 1 基本函数的导数 求导公式 公式 1 常数的导数 c 为常数 即常数的导数等于 0 公式 2 幂函数的导数 公式 3 正弦函数的导数 公式 4 余弦函数的导数 公式 5 对数函数的导数 公式 6 指数函数的导数 2 可导函数四则运算的求导法则 设 为可导函数 则有 法则 1 法则 2 法则 3 3 复合函数的导数 1 复合函数的求导法则 设 复合成以 x 为自变量的函数 则复合函数 对自变量 x 的导数 等于已知函数对中间变量 的导数 乘以中 间变量 u 对自变量 x 的导数 即 引申 设 复合成函数 则有 2 认知 认知复合函数的复合关系循着 由表及里 的顺序 即从外向内分析 首先由最外 层的主体函数结构设出 由第一层中间变量 的函数结构设出 由第二层中间变量 的函数结构设出 由此一层一层分析 一直到最里 层的中间变量 为自变量 x 的简单函数 为止 于是所给函数便 分解 为若干相互 联系的简单函数的链条 运用上述法则求复合函数导数的解题思路 分解 分析所给函数的复合关系 适当选定中间变量 将所给函数 分解 为相互联系 的若干简单函数 求导 明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后 运用上述求导法则和基本公式求 还原 将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数 并作以适当化简或整 理 二 导数的应用 1 函数的单调性 1 导数的符号与函数的单调性 一般地 设函数 在某个区间内可导 则若 为增函数 若 为减函数 若在某个区间内恒有 则在这一区间上为常函数 2 利用导数求函数单调性的步骤 确定函数 的定义域 求导数 令 解出相应的 x 的范围 当 时 在相应区间上为增函数 当 时 在相应区间上为 减函数 3 强调与认知 利用导数讨论函数的单调区间 首先要确定函数的定义域 D 并且解决问题的过程 中始终立足于定义域 D 若由不等式 确定的 x 的取值集合为 A 由 确定的 x 的取值范围为 B 则应用 在某一区间内 或 是函数 在这一区间上为增 或减 函数的充分 不必要 条件 因此方程 的根不一定是增 减区间的分界点 并且在 对函数划分单调区间时 除去确定 的根之外 还要注意在定义域内的不连续点和不 可导点 它们也可能是增 减区间的分界点 举例 1 是 R 上的可导函数 也是 R 上的单调函数 但是当 x 0 时 2 在点 x 0 处连续 点 x 0 处不可导 但 在 0 内递减 在 0 内递增 2 函数的极值 1 函数的极值的定义 设函数 在点 附近有定义 如果对 附近的所有点 都有 则说 是函数 的一个极大值 记作 如果对 附近的所有点 都有 则说 是函数 的一个极小值 记作 极大值与极小值统称极值 认知 由函数的极值定义可知 函数的极值点 是区间 内部的点 并且函数的极值只有在区间内的连续点 处取得 极值是一个局部性概念 一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值 并且 在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值 当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时 函数 在 内的 极大值点 极小值点交替出现 2 函数的极值的判定 设函数 可导 且在点 处连续 判定 是极大 小 值的方法是 如果在点 附近的左侧 右侧 则 为极大值 如果在点 附近的左侧 右侧 则 为极小值 注意 导数为 0 的不一定是极值点 我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点 3 探求函数极值的步骤 求导数 求方程 的实根及 不存在的点 考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号 若左正右负 则 在这一点取得极大值 若左负右正 则 在这一点取得极小值 3 函数的最大值与最小值 1 定理 若函数 在闭区间上连续 则 在 上必有最大值和最小值 在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值 认知 函数的最值 最大值与最小值 是函数的整体性概念 最大值是函数在整个定义区 间上所有函数值中的最大值 最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值 函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的 具有相对性 极值只 能在区间内点取得 函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的 具有绝对 性 最大 小 值可能是某个极大 小 值 也可能是区间端点处的函数值 若 在开区间 内可导 且有唯一的极大 小 值 则这一极大 小 值 即为最大 小 值 2 探求步骤 设函数 在 上连续 在 内可导 则探求函数 在 上的最大值 与最小值的步骤如下 I 求 在 内的极值 II 求 在定义区间端点处的函数值 III 将 的各极值与 比较 其中最大者为所求最大值 最小者为 所求最小值 引申 若函数 在 上连续 则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得 对此 如果仅仅是求函数的最值 则可将上述步骤简化 I 求出 的导数为 0 的点及导数不存在的点 这两种点称为可疑点 II 计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值 从中获得所 求最大值与最小值 3 最值理论的应用 解决有关函数最值的实际问题 导数的理论是有力的工具 基本解题思路为 I 认知 立式 分析 认知实际问题中各个变量之间的联系 引入变量 建立适当的 函数关系 II 探求最值 立足函数的定义域 探求函数的最值 III 检验 作答 利用实际意义检查 2 的结果 并回答所提出的问题 特殊地 如果所得函数在区间内只有一个点 满足 并且 在点 处有极大 小 值 而所给实际问题又必有最大 小 值 那么上述极大 小 值便是最大 小 值 四 经典例题四 经典例题 例例 1 1 设函数 在点 处可导 且 试求 1 2 3 4 为常数 解 注意到 当 1 2 A A 2A 3 令 则当 时 4 点评 注意 的本质 在这一定义中 自变量 x 在 处的增量 的形式是多种多样的 但是 不论 选择哪一种形式 相应的 也必须选择 相应的形式 这种步调的一致是求值成功的保障 若自变量 x 在 处的增量为 则相应的 于是有 若令 则又有 例例 2 2 1 已知 求 2 已知 求 解 1 令 则 且当 时 注意到这里 2 注意到 由已知得 由 得 例例 3 3 求下列函数的导数 1 2 3 4 5 6 解 1 2 3 4 5 6 当 时 当 时 即 点评 为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算 首先对函数式进行化简或化整 为零 而后再实施求导运算 特别是积 商的形式可以变为代数和的形式 或根式可转化为方 幂的形式时 先变后求 的手法显然更为灵巧 例例 4 4 在曲线 C 上 求斜率最小的切线所对应的切点 并证明曲 线 C 关于该点对称 解 1 当 时 取得最小值 13 又当 时 斜率最小的切线对应的切点为 A 2 12 2 证明 设 为曲线 C 上任意一点 则点 P 关于点 A 的对称点 Q 的坐标为 且有 将 代入 的解析式得 点 坐标为方程 的解 注意到 P Q 的任意性 由此断定曲线 C 关于点 A 成中心对称 例例 5 5 已知曲线 其中 且均为可导函数 求证 两曲线在公共点处相切 证明 注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合 设上述两曲线的公共点为 则有 于是 对于 有 对于 有 由 得 由 得 即两曲线在公共点处的切线斜率相等 两曲线在公共点处的切线重合 两曲线在公共点处相切 例例 6 6 1 是否存在这样的 k 值 使函数 在区间 1 2 上递减 在 2 上递增 若存在 求出这样的 k 值 2 若 恰有三个单调区间 试确定 的取值范围 并求出这三个单调区 间 解 1 由题意 当 时 当 x 2 时 由函数 的连续性可知 即 整理得 解得 或 验证 当 时 若 则 若 则 符合题意 当 时 显然不合题意 于是综上可知 存在 使 在 1 2 上递减 在 2 上递增 2 若 则 此时 只有一个增区间 与题设矛盾 若 则 此时 只有一个增区间 与题设矛盾 若 则 并且当 时 当 时 综合可知 当 时 恰有三个单调区间 减区间 增区间 点评 对于 1 由已知条件得 并由此获得 k 的可能取值 进而再利用已知 条件对所得 k 值逐一验证 这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略 例例 7 7 已知函数 当且仅当 时 取得极值 并且极大值比极小值大 4 1 求常数 的值 2 求 的极值 解 1 令 得方程 在 处取得极值 或 为上述方程的根 故有 即 又 仅当 时取得极值 方程 的根只有 或 方程 无实根 即 而当 时 恒成立 的正负情况只取决于 的取值情况 当 x 变化时 与 的变化情况如下表 1 1 0 0 极大值极小值 在 处取得极大值 在 处取得极小值 由题意得 整理得 于是将 联立 解得 2 由 1 知 点评 循着求函数极值的步骤 利用题设条件与 的关系 立足研究 的根 的情况 乃是解决此类含参问题的一般方法 这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法 突出了 导数 与 在 处取得极值 的必要关系 例例 8 8 1 已知 的最大值为 3 最小值为 29 求 的 值 2 设 函数 的最大值为 1 最小值为 求常数 的值 解 1 这里 不然 与题设矛盾 令 解得 或 x 4 舍去 若 则当 时 在 内递增 当 时 在 内递减 又 连续 故当 时 取得最大值 由已知得 而 此时 的最小值为 由 得 若 则运用类似的方法可得 当 时 有最小值 故有 又 当 时 有最大值 由已知得 于是综合 得所求 或 2 令 得 解得 当 在 上变化时 与 的变化情况如下表 1 1 0 01 0 0 极大值 极小值 当 时 取得极大值 当 时 取得极小值 由上述表格中展示的 的单调性知 最大值在 与 之中 的最小值在 和 之中 考察差式 即 故 的最大值为 由此得 考察差式 即 的最小值为 由此得 解得 于是综合以上所述得到所求 五 高考真题五 高考真题 一 选择题 一 选择题 1 1 设 则 A B C D 分析 由题意得 具有周期性 且周期为 4 应选 C 2 2 函数 有极值的充要条件为 A B C D 分析 当 时 且 当 时 令 得 有解 因此 才有极值 故应选 C 3 3 设 设 分别是定义在 R 上的奇导数和偶导数 当 时 且 则不等式 的解集是 A 3 0 3 B 3 0 0 3 C 3 3 D 3 0 3 分析 为便于描述 设 则 为奇导数 当 时 且 根据奇函数图象的对称性知 的解集为 3 0 3 应选 D 二 填空题二 填空题 1 1 过原点作曲线 的切线 则切点坐标为 切线的斜率为 分析 设切点为 M 则以 M 为切点的切线方程为 由曲线过原点得 切点为 切线斜率为 点评 设出目标 之一 迂回作战 则从切线过原点切入 解题思路反而简明得多 2 2 曲线 在点 处的切线与 x 轴 直线 所围成的三角形面积为 则 分析 曲线 在点 处的切线方程为 即 切线与 x 轴交点 又直线 与切线交点纵坐标为 上述三角形面积 由此解得 即 3 3 曲线 与 在交点处的切线夹角是 以弧度数作答 分析 设两切线的夹角为 将两曲线方程联立 解得交点坐标为 又 即两曲线在点 处的切线斜率分别为 2 3 应填 三 解答题 三 解答题 1 1 已知 讨论导数 的极值点的个数 解析 先将 求导 即 当 时 有两根 于是 有两极值点 当 时 为增函数 没极值点 本题考查导数的应用以及二次方程根 等知识 解答 令 得 1 当 即 或 时 方程 有两个不同的实根 不防设 于是 从而有下表 0 0 为极大值 为极小值 即此时 有两个极值点 2 当 即 时 方程 有两个相同的实根 于是 故当 时 当 时 因 此 无极值 3 当 即 时 而 故 为增函数 此时 无极值 当 时 有两个极值点 当 时 无极值点 2 2 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 求函数 的解析式 求函数 的单调区间 解析 1 由 在切线上 求得 再由 在函数图象上和 得两个关于 的方程 2 令 求出极值点 求增区间 求减区间 此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间 解答 由函数 的图象在点 处的切线方程为 知 即 即 解得 所以所求函数解析式 令 解得 当 或 时 当 时 所以 在 内是减函数 在 内是增函数 3 3 已知 是函数 的一个极值点 其中 求 与 的关系表达式 求 的单调区间 当 时 函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m 求 的 取值范围 解析 1 本小题主要考查了导数的概念和计算 应用导数研究函数单调性的基本方法以 及函数与方程的思想 第 2 小题要根据 的符号 分类讨论 的单调区间 第 3 小题 是二次三项式在一个区间上恒成立的问题 用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一 个区间上的符号 体现出将一般性问题特殊化的数学思想 解答 是函数 的一个极值点 令 得 与 的变化如下表 1 0 0 单调递减极小值单调递增极大值单调递减 因此 的单调递减区间是 和 的单调递增区间是 由 即 令 且 即 m 的取值范围是 4 4 已知函数 求 的单调区间和值域 设 函数 若对于任意 总存 在 使得 成立 求 的取值范围 解析 本题考查导数的综合运用 考查综合运用数学知识解决问题能力 考查思维及推理 能力以及运算能力 本题入手点容易 中对分式函数定区间内单调性与值域问题 往往以导数为工具 是三次函数问题 因而导数法也是首选 若 成立 则二次函数值域 必满足 关系 从而达到求解目的 解 由 得 或 舍去 则 变化情况表为 01 0 因而当 时 为减函数 当 时 为增函数 当 时 的值域为 因此 当 时 因此当 时 为减函数 从而当 时有 又 即当 时有 任给 存在 使得 则 由 1 得 或 由 2 得 又 故 的取值范围为 5 5 已知 函数 1 当 为何值时 取得最小值 证明你的结论 2 设 在 上是单调函数 求 的取值范围 解析 本题考查导数的概念和计算 应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力 本 题 常规题型 方法求 解 的根 列表 确定单调性 并判断极值点 对 由 在 上单调 而 因此只要 即满足题设条件 从中解出 的范围 解答 令 则 从而 其中 当 变化时 的变化情况如下表 0 0 极大值 极小值 在 处取得极大值 处取得极小值 当 时 且 在 为减函数 在 为增函数 而当 时 当 时 当 时 取最小值 当 时 在 上为单调函数的充要条件是 解得 综上 在 上为单调函数的充要条件为 即 的取值范围为 6 6 已知 函数 当 时 求使 成立的 成立的 的集合 求函数 在区间 上的最小值 答案 0 1 解答 由题意 当 时 解得 或 当 时 解得 综上 所求解集为 0 1 1 设此最小值为 m 当 时 在区间 1 2 上 因为 则 是区间 1 2 上的增函数 所以 时 在区间 1 2 由 知 当 时 在区间 1 2 上 如果 在区间 1 2 内 从而 在区间 1 2 上为增函数 由此得 如果 则 当 时 从而 为区间 1 上的增函数 当 时 从而 为区间 2 上的减函数 因此 当 时 或 当 时 故 当 时 综上所述 所求函数的最小值 7 7 设函数 求 的最小值 设正数 满足 证明 解析 本题考查数学归纳法及导数应用等知识 考查综合运用数学知识解决问题的能力 已知函数为超越函数 若求其最小值 则采用导数法 求出 解 得 再判断 与 时 的符号 确定 为极小值点 也是函数的最小值 对 直接利用数学归纳法证明 但由 到 过渡是难点 解答 函数 f x 的定义域为 0 1 令 当 时 f x 0 f x 在区间 是增函数 f x 在 时取得最小值且最小值为 用数学归纳法证明 i 当 n 1 时 由 知命题成立 ii 假定当 n k 时命题成立 即若正数 满足 则 当 n k 1 时 若正数 满足 令 则 为正数 且 由归纳假定知 同理 由 可得 1 x k 1 x log2 1 x 综合 两式 x 1 x k xlog2x 1 x log2 1 x k 1 即当 n k 1 时命题也成立 根据 i ii 可知对一切正整数 n 命题成立 8 8 函数 在区间 内可导 导函数 是减函数 且 设 是曲线 在点 处的切线方程 并设函数 用 表示 m 证明 当 时 若关于 x 的不等式 在 上恒成立 其中 a b 为实数 求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系 解答 I 在点 处的切线方程为 即 因而 证明 令 则 因为 递减 所以 递增 因此 当 时 当 时 所以 是 唯一的极值点 且是极小值点 可知 的最小值为 0 因此 0 即 解法一 是不等式成立的必要条件 以下设此条件成立 即 对任意 成立的充要条件是 另一方面 由于 满足前述题设中关于 的条件 利用 的结果可知 的充要条件是 过点 与曲线 相切的 直线的斜率不大于 该切线的方程为 于是 的充要条件是 综上 不等式 对任意 成立的充要条件是 显然 存在 使 式成立的充要条件是 不等式 有解 解不等式 得 因此 式即为 的取值范围 式即为实数 与 所满足的关系 解法二 是不等式成立的必要条件 以下讨论设此条件成立 即 对任意 成立的充要条件是 令 于是 对任意