2012高考数学 精英备考专题讲座第一讲函数 第二节导数与积分（理）VIP

用心 爱心 专心 1 第二节第二节 导数与积分导数与积分 导数是高考命题的热点 也是难点 纵观近几年的各省高考试题 导数的考题分两个层次 1 知识性试题 以函数为载体 以导数为工具 以考查函数诸多性质和导数极值理论 单调性质 几何意义及其应用为目标 是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向 其中多项式函数一般不超过三次 以 e 为底的对数函数较多 2 综合性试题导数与不等式 导数与数列常是高考压轴题 同时考查函数与方程 数形结合 分类讨论 转化与化归等数学思想 尤其是分类讨论思想 是近三年来高考命题 的热点 难度值一般控制在之间 0 5 0 7 考试要求 了解导数概念的实际背景 理解导数的几何意义 能求简单的复合函 数的导数 能用导数研究单调性 会求函数的单调区间 了解函数在某点取得极值的充 分条件和必要条件 会求极大值 极小值及闭区间上的最值 会利用导数解决某些实际问 题 7 了解定积分的实际思想 基本思想及概念 了解微积分基本定理 题型一题型一 导数的几何意义 极值理论及单调性质等导数的几何意义 极值理论及单调性质等 例题例题 1 1 给定两个函数解决下列问题 32 111 323 m f xxxg xmx I 若在处取得极小值 求函数的单调区间 f x1x f x 若在区间为增函数 求的取值范围 f x 2 m 在 的条件下 若关于的方程有三个不同的根 求的取值x 0f xg x m 范围 点拔点拔 第 I 小题在处取得极小值 即知 能解决函数所含参数 f x1x 1 0 f f x 进而求单调区间 第 小题是运用导数研究函数单调性求参数的逆向问题 即m f x 求导函数的函数值在区间上恒大于 进而转化为不等式的恒成立求函数最值 第 2 0 小题可将问题转化为函数的图象与轴有三个不同的交点 通过导 h xf xg x x 数讨论函数的单调性与极值 利用数形结合求解 解解 I 因为在处取得极小值 所以 故 所以 f x1x 1 0fm 32 11 32 f xxx 易知函数单调增区间是 单调递减区间是 2 fxxx f x 0 1 和 0 1 由题意可知 因为在区间 2 为增函数 所以 2 1 fxxmx f x 在区间上恒成立 即恒成立 由于 所以 2 1 0 xmx 2 1mx 2x 12m 故 1m 设故 32 111 323 m h xf xg xxxmx 令 得 2 1 1 h xxmxmxm x 1 0h xxm x 1xmx 或 由 知 1m 当当时 在上是单调递增 显然不合题意 1m 2 1 0h xx h xR 当时 随的变化情况如下表 1m h x h x x x m m 1 m 1 1 h x 0 0 h x A极大值 32 1 623 mm A极小值 1 2 m A 用心 爱心 专心 2 欲使方程有三个不同的根 即函数与轴有三个不同的 0f xg x h xf xg x x 交点 则有 解得 32 1 0 623 1 0 2 mm m 2 1 22 0 1 mmm m 13m 综上 的取值范围是 m13m 易错点易错点 本题中在不同区间单调时用 和 而不能用 连接 恒成立问题分离 变量易错求是 通过导数讨论函数的单调性与极值 并利用数形结合求m1m 解 学生难以掌握 变式与延申变式与延申 1 1 函数的图象如图所示 32 32 f xaxbxcab xd 若函数在处的切线方程为求函数的解析式 f x2x 3110 xy f x 在 1 条件下 是否存在实数 使得的图象与m yf x 1 5 3 yfxxm 的图象有且只有在三个不同的交点 若存在 求出的取值范围 m 若不存在 请说明理由 题型二题型二 导数与不等式导数与不等式 例题例题 2 2 设函数 2 1 x f xexax 1 若求的单调区间 0 a f x 2 若时 求的取值范围 0 x 0f x a 点拔点拔 本题主要考查导数与不等式的相关知识 主要涉及利用导数判断函数的单调性 由 1 可 得出的不等式 此不等式较隐蔽 有时甚至需要构造函数以便产生这样的不等式 是1 x ex 本小题的突破口 然后讨论参数的取值对导函数值符号的影响 分类讨论思想在此应用甚为a 关键 解解 1 时 当当0a 1 1 xx f xex fxe 0 0 xfx 0 0 xfx 故在单调减少 在单调增加 f x 0 0 2 由 1 知当且仅当时等号成立 故 12 x fxeax 1 x ex 0 x 从而当即时 而 于是当 2 12 fxxaxa x 120 a 1 2 a 0fx 0 x 0 0f 时 又由可得 从而当时 0 x 0f x 1 0 x ex x 1 0 x ex x 1 2 a 12 1 xx fxea e 故当时 而 于是当 1 2 xxx eeea 0 ln2 xa 0fx 0 0f 0 ln2 xa 综合得的取值范围为 0f x a 1 2 易错点易错点 第 2 小题利用导数求的最小值 但方程难以求解 对 f x 120 x fxeax 1 式提供的不等式使用意识较低 需强化分类讨论思想方法在解决含参不等式中1 x ex 的应用 变式与延申变式与延申 2 2 已知函数级的图象在点处的切线方程为 0 b f xaxc a x 1 1 f 图 1 2 1 用心 爱心 专心 3 1yx 1 用表示出 a b c 2 若在上恒成立 求的取值范围 lnf xx 1 a 3 111n 1ln nn 232 nn 证明 1 1 1 题型三题型三 导数与数列导数与数列 例题例题 3 3 数列中 是函数的极值点 n anN 11 n aa a 3222 11 3 3 32 nnn fxxanxn a x 1 当时 求通项 0a n a 2 是否存在 使数列是等比数列 若存在的取值范围 若不存在 请说明理由 a n aa 点拔点拔 本题导数的使用有如用药的 药引 由极值的讨论唤出了的数列系列问题 由题 明确求数列通项的本质是找递推式 而题中的递推式变化较大 应细致讨论 第 2 问中构造 函数 利用导数将不等式的恒成立转化为求函数最值 解解 易知 令 2222 3 3 3 nnnn fxxanxn axaxn 2 0 3 nn fxxaxn 得 2 3 n an 若 3 0 nnn xafxfx 当时 单调递增 2 3 0 nnn axnfxfx 当时 单调递减 2 0 nn xnfxfx 当时 单调递增 故在 n fx 2 xn 时取得极小值 2 3 1 3 nnn anfxxa 若仿 可得 在取得极小值 2 3 0 nnn anfxfx 若 无极值 1 当时 则 由 知 0a 1 0a 2 1 31a 2 2 11a 因 则由 知 因为则由 知 又因为 2 2 332a 2 3 24a 2 3 3123 a 43 33 4aa 则由 知 由此猜想 当时 2 4 3364 a 2 54 334aa 3n 3 4 3n n a 下面用数学归纳法证明 当时 3n 2 3 n an 事实上 当时 由前面的讨论知结论成立 3n 假设当时 成立 则由 知 从而 3 nk k 2 3 k ak 2 1 3 kk aak 所以 所以当时 222 1 3 1 3 1 2 2 210 k akkkk kk 2 1 3 1 k ak 3n 成立 2 3 n an 于是由 知 当 而因此3n 1 3 nn aa 3 4 a 3 4 3 3 n n an 2 存在 使数列是等比数列 事实上 由 知 若对任意的 都有 则a n an 2 3 n an 即数列是首项为 公比为的等比数列 且 而要使 即 1 3 nn aa n aa3 1 3n n aa 2 3 n an 对一切都成立 只需对一切都成立 记 则 2 3nan nN 2 3n n a nN 2 3 n n n b 123 141 393 bbb 令 因此 当时 从而函数 2 22 11 2ln3 2 333 xxx x yxxxx 则y 2x 0y 用心 爱心 专心 4 在上单调递减 故当 数列单调递减 即数列中最大项为 于 2 3x x y 2 2n n b n b 2 b 是当时 必有 这说明 当时 数列是等比数列 4 9 a 2 3n n a 4 9 a n a 当时 可得 由 知 无极值 不合题意 4 9 a 2 122 44 342 93 aaa 而 2 fx 当 可得数列不是等比数列 14 39 a 1234 3 4 12 aa aa aa n a 当时 由 知 无极值 不合题意 1 3 a 2 311 a 1 f x 当可得数列不是等比数列 1 3 a 1234 1 4 12 aa aaa n a 综上 存在 使数列是等比数列 且a n a 4 9 a 易错点易错点 多情况的分类讨论 知识和方法较为综合 变式与延申变式与延申 3 3 当正整数时 比较与的大小 本题可将去8n 1 n n 1 n n 8n 掉 供思考 题型四题型四 导数与积分导数与积分 例题例题 4 4 已知函数 其图象记为曲线 C 3 f xxx i 求函数的单调区间 f x ii 证明 若对于任意非零实数 曲线 C 与其在点处的切线交于另一点 1 x 111 P xf x 曲线 C 与其在点处的切线交于另一点 线段 222 P xf x 222 P xf x 333 P xf x 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 则为定值 1223 PP P P 12 S S 1 2 S S 对于一般的三次函数请给出类似于 ii 的正 32 0 g xaxbxcxd a 确命题 并予以证明 点拔点拔 需把握好两点 一是定积分上下限的确定 二是降维思想的应用 寻求上下限变量之 间的关系 其他变量全用变量表示 另外本题对运算能力要求 计算时需谨慎 力求每步 1 x 精确 解法一解法一 i 由得 3 f xxx 2 31fxx 33 3 33 xx 当和时 3 3 x 3 3 0fx 当时 33 33 x 0fx 因此 x f的单调递增区间为和 单调递减区间为 3 3 3 3 33 33 ii 曲线 C 与其在点处的切线方程为 即 1 P 23 1111 31 yxxxxx 由 得即 23 11 31 2yxxx 23 11 3 31 2yxxx yxx 323 11 31 2 xxxxx 解得或 故 进而有 2 11 2 0 xxxx 1 xx 1 2xx 21 2xx 用心 爱心 专心 5 用替代 重复上述计算过程 可得 1 1 2 3234 1111 27 32 4 x x Sxx xxdxx 2 x 1 x 和 又 所以 因此 32 2xx 4 22 27 4 Sx 21 20 xx 4 21 27 0 4 Sx 1 2 1 16 S S II 记函数的图象为曲线 类似于 ii 的正 32 0 g xaxbxcxd a C 确命题为 若对任意不等于的实数 曲线与其在点处的切线交于另 3 b a 1 x C 111 P x g x 一点 曲线与其在点处的切线交于另一点 线 222 P x g x C 222 P x g x 333 P x g x 段与曲线所围成封闭图形的面积分别记为 则为定值 1223 PP P P C 12 S S 1 2 S S 证明 因为平移变换不改变面积的大小 故可将曲线的对称中心平移至 yg x 33 bb g aa 坐标原点 因而不妨设 类似 ii 计算可得 3 0g xaxhxx 且 因此 44 1121 2727 16 0 44 SaxSax 1 2 1 16 S S 解法二解法二 同解法一 II 记函数的图象为曲线 类似于 ii 的正 32 0 g xaxbxcxd a C 确命题为 若对任意不等于的实数 曲线与其在点处的切线交于另 3 b a 1 x C 111 P x g x 一点 曲线与其在点处的切线交于另一点 线 222 P x g x C 222 P x g x 333 P x g x 段与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 则为定值 1223 PP P P 12 S S 1 2 S S 证明 由得 所以曲线在点 32 0 yaxbxcxd a cbxaxy 23 2 C 处的切线方程方程为 111 P x g x 232 1111 32 2yaxbxc xaxbxd 由 得 232 1111 32 32 2yaxbxc xaxbxd yaxbxcxd 32223 1111 3220axbxaxbxxbxax 化简 得到 即 故0 2 1 2 1 axbaxxx 11 2 b xxxx a 或 21 2 b xx a 用代替 重复上 1 2 32232 11111 32 2 x x Saxbxaxbx xaxbx dx 4 1 3 3 12 axb a 2 x 1 x 述过程 可得和 32 2 b xx a 444 211 2 333 3 62 16 3 0 121212 axbaxbaxb S aaa 所以 1 2 1 16 S S 易错点易错点 本题思维量较小 但由积分公式计算面积 字母计算的整体代换等运算求解能力 要求较高 不容易正确 对曲线的对称中心会有理解障碍 影 yg x 33 bb g aa 响化归与转化思想应用 变式与延申变式与延申 4 4 已知通过点 与有一个交点 且 3 yaxbx 1 2 2 2yxx 1 x 用心 爱心 专心 6 0a 1 0 x 1 求与所围的面积 S 3 yaxbx 2 2yxx 2 为何值时 S 取得最小值 ab 本节主要考查 本节主要考查 1 1 1 求切线方程 讨论单调性 求极值和最值 导数与不等式问题 利用 积分计算图形面积 2 2 2 构造函数 证明不等式 函数含参时 不等式有解或恒成立转化为 求函数最值或对参数进行分类讨论 讨论极值点位置时用到根的分布知识 3 3 3 考查函数与 方程 数形结合 分类讨论 转化与化归等数学思想 尤其是分类讨论思想 是近年来高考 命题的热点 点评点评 导数的思想方法和基本理论能在的许多问题上起到居高临下和化繁为简的作用 备考 应注意以下几个方面 1 导数的意义 变化率和切线的斜率 能够设切点坐标求切线方程 函数的单调区间和函数在 某区间单调的区别 2 导数作为工具使用 如利用单调性求最值 证明不等式 解决数列 解决不