中学教育数学辅导中考数学

中学教育数学辅导中考数学 透析直角坐标系为载体的中考数学压轴题 典型例题分析 透析 2008 年中考数学题 坐标几何题是近几年发展起来的一种新的题型 它以直角坐标系为载体 融函数 方程 不等式 几何 三角知识为一体 综合性强 涉及知识面广 笔者以题目的知识背景为主线 直角坐标系为载体 筛选几例进行分析 供同学们参考 例例 1 已知直线1x 3 3 y 与 x 轴 y 轴分别交于点 A B 以线段 AB 为直角边在第 一象限内作等腰ABCRt BAC 90 且点 P 1 a 为坐标系中的一个动点 求三角形 ABC 的面积 ABC S 证明不论 a 取任何实数 三角形 BOP 的面积是一个常数 要使得ABC 和ABP 的面积相等 求实数 a 的值 解析 1 令1x 3 3 y 中 x 0 得点 B 的坐标为 0 1 令 y 0 得点 A 的坐标为 0 3 由勾股定理可得 AB 2 所以2S ABC 2 不论a 取任何实数 三角形BOP 都可以以 BO 1 为底 点P 到 y 轴的距离 1 为高 所以 2 1 S BOP 为常数 3 当点 P 在第四象限时 2SSSSS a 2 3 S 2 3 S ABCBOPAPOABOABP APOABO 即2 2 1 a 2 3 2 3 解得 3 353 3 5 1a 或 当点 P 在第一象限时 用类似的方法可解得31a 评析 数形结合类试题是今年的热点考题 尤其以直角坐标系为背景的试题更为层出不 穷 本题设计层层深入 给学生的思考提供了恰当的阶梯 体现了新课标中提出的 学生 的学习内容应当是现实的 有意义的 富有挑战性的 试题的设计有利于培养学生主动地 进行观察 猜测 验证 推理等数学活动 体验问题的提出 结论的探索与应用 例例 2 如图 在平面直角坐标系中 四边形OABC 为矩形 点 A B 的坐标分别为 4 0 4 3 动点 M N 分别从点 O B 同时出发 以每秒1 个单位的速度运动 其中点M 沿 OA 向终点 A 运动 点 N 沿 BC 向终点 C 运动 过点 N 作 NP BC 交 AC 于点 P 连 结 MP 当两动点运动了 t 秒时 1 P 点坐标为 用含 t 的代数式表示 2 记MPA 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 0 t 4 3 当 t 秒时 S 有最大值 最大值是 4 若点Q 在 y 轴上 当S 有最大值且QAN 为等腰三角形时 求直线AQ 的解析式 解析 1 P 的坐标为 t 4 3 t4 2 在MPA 中 MA 4 t MA 边上的高为t 4 3 4t0 t 2 3 t 8 3 S t 4 3 t 4 2 1 SS 2 MPA 即 3 当 t 2 秒时 2 3 S 最大值 4 由 3 知 当 S 有最大值时 t 2 此时 N 在 BC 的中点处 如图 2 2 设 Q O y 则 22222 22222 22222 23BNABAN y3 2CQCNQN y4OQOAAQ 因为AQN 为等腰三角形 若 AQ AN 即 2222 23y4 此时方程无解 若 AQ QN 即 2222 y3 2y4 解得 2 1 y 若 QN AN 即 2222 23 y3 2 解得6y 0y 21 6 0 Q 0 0 Q 2 1 0 Q 321 当 Q 为 2 1 0 时 直线 AQ 的解析式为 2 1 x 8 1 y 当 Q 为 0 0 时 A 4 0 Q 0 0 均在 x 轴上 直线 AQ 的解析式为 y 0 或直线为 x 轴 当 Q 为 0 6 时 Q N A 在同一直线上 ANQ 不存在 舍去 故直线 AQ 的解析式0y 2 1 x 8 1 y 或 评析 本题着重体现了对点的坐标与几何线段之间的转化思想 关注运动变化中的特殊 位置 利用 动 与 静 相互结合 相互转化的规律 通过直线方程的有关知识 结合 几 何中等腰直角三角形 运用勾股定理 点运动等全方位知识解决问题 有效地考查了学生观 察 实验 操作 猜想 验证 推断等各种能力解决问题 例例 3 2006 年 宁夏 如图 在平面直角坐标系中 点A 在 x 轴上 ABO 是直角三角形 ABO 90 点 B 的坐标为 1 2 将ABO 绕原点 O 顺时针旋转 90 得到 111 OBA 在旋转过程中 点 B 所经过的路径长是多少 分别求出点 11 B A的坐标 连结 1 BB交OA1于点 M 求 MO MA1 的值 解析 1 过点B 作 BC OA 于 C 则OC 1 BC 2 在RtBCO 中 5OCBCBO 22 又ABO 绕点O 旋转 90 所以点B 所经过的路径长 2 5 180 590 180 Rn L 2 由BCO ABO 或利用三角函数求得 AO 5 又OAOA1 点 1 A在 y 轴的正 半轴上 所以点 1 A的坐标为 0 5 通过旋转或三角形全等求得点 1 B的坐标为 2 1 3 由旋转可知52OBOAABBA 22 11 证得 11MA B BMO 2 5 52 OB BA OM MA 111 例例 4 2006 年 黑龙江 如图 在平面直角坐标系中 点 A B 分别在 x 轴 y 轴上 线段 OA OB 的长 OA OB 是关于 x 的方程0m2x 6m2 x 22 的两个实数根 C 是线段 AB 的中点 53OC 点 D 在线段 OC 上 OD 2CD 求 OA OB 的长 求直线 AD 的解析式 P 是直线 AD 上的点 在平面内是否存在点 Q 使 O A P Q 为顶点的四边形是菱 形 若存在 请直接写出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 解析 由题意知6m2OBOA 562OCAB m2OBOA 2 又 OBOA2 OBOA OBOAAB 2222 可求12OB 6OA 6m 作 CE x 轴于点 E DF x 轴于点 F 6OB 2 1 CE 3OA 2 1 OE 又 DF CE 3 2 OC OD 于是可求得 OF 2 DF 4 点 D 的坐标为 2 4 设直线 AD 的解析式为 y kx b 把 A 6 0 D 2 4 代入得 4bk2 0bk6 解得 6b 1k 直线 AD 的解析式为 y x 6 存在 6 6 Q 3 3 Q 23 23 Q 23 23 Q 4321 评析 本题是一道操