2012高考数学二轮复习 第13讲 点 直线 平面之间的位置关系专题限时集训 理

用心 爱心 专心1 专题限时集训专题限时集训 十三十三 第第 1313 讲讲 点 直线 平面之间的位置关点 直线 平面之间的位置关 系系 时间 10 分钟 35 分钟 1 下列命题中错误的是 A 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 B 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 D 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 2 已知直线l m 平面 且l m 给出下列四个命题 若 则l m 若l m 则 若 则l m 若l m 则 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 3 正方体ABCD A1B1C1D1中 M为棱AB的中点 则异面直线DM与D1B所成角的余弦 值为 A B C D 15 6 15 5 15 3 15 10 4 对于四面体ABCD 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 1 相对棱AB与CD所在的直线异面 2 由顶点A作四面体的高 其垂足是 BCD的三条高线的交点 3 若分别作 ABC和 ABD的边AB上的高 则这两条高所在直线异面 4 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 5 最长棱必有某个端点 由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 1 设l m n表示三条直线 表示三个平面 给出下列四个命题 若l m 则l m 若m n是l在 内的射影 m l 则m n 若m m n 则n 若 则 其中真命题为 A B C D 2 已知三个互不重合的平面 且 a b c 给 出下列命题 若a b a c 则b c 若a b P 则a c P 若a b a c 则 若a b 则a c 其中正确命题个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 已知E F G H是空间四点 命题甲 E F G H四点不共面 命题乙 直线EF 和GH不相交 则命题甲是命题乙成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 用心 爱心 专心2 图 13 1 4 图 13 1 是一几何体的三视图 正视图是一等腰直角三角形 且斜边BD长为 2 侧视图为一直角三角形 俯视图为一直角梯形 且AB BC 1 则异面直线PB与CD所成 角的正切值是 A 1 B C D 2 2 2 1 2 5 在空间中 有如下命题 互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线 若平面 平面 则平面 内任意一条直线m 平面 若平面 与平面 的交线为m 平面 内的直线n 直线m 则直线n 平面 若平面 内的三点A B C到平面 的距离相等 则 其中正确命题的个数为 6 如图 13 2 四面体OABC的三条棱OA OB OC两两垂直 OA OB 2 OC 3 D 为四面体OABC外一点 给出下列命题 图 13 2 不存在点D 使四面体ABCD有三个面是直角三角形 不存在点D 使四面体ABCD是正三棱锥 存在点D 使CD与AB垂直并且相等 存在无数个点D 使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是 7 如图 13 3 已知三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面 ABC AC BC 2 AA1 4 AB 2 M N分别是棱CC1 AB的中点 2 1 求证 CN 平面ABB1A1 2 求证 CN 平面AMB1 3 求三棱锥B1 AMN的体积 图 13 3 用心 爱心 专心3 8 如图 13 4 在等腰直角 ABC中 ACB 90 AC BC CD AB D为垂 2 足 沿CD将 ABC对折 连接AB 使得AB 3 1 对折后 在线段AB上是否存在点E 使CE AD 若存在 求出AE的长 若不存在 说明理由 2 对折后 求二面角B AC D的平面角的正切值 图 13 4 用心 爱心 专心4 专题限时集训 十三 基础演练 1 D 解析 若面 面 在面 内与面 的交线不相交的直线平行平面 故 A 正确 B 中若 内存在直线垂直平面 则 与题设矛盾 所以 B 正确 由面面垂直的性质知选项 C 正确 由选项 A 正确可以推出 D 错误 2 C 解析 命题 正确 命题 不正确 命题 不正确 命题 正确 3 B 解析 如图 取CD的中点N 连接BN D1N 则BN DM D1BN就是异面 直线DM与D1B所成角 设正方体棱长为 1 在 D1BN中 BD1 BN D1N 由余弦 3 5 2 定理得 cos D1BN 3 2 5 2 2 5 2 2 2 3 5 2 15 5 4 1 4 5 解析 命题 1 中 如果AB CD共面 那么四点A B C D共面 所以ABCD为平面图形 这与ABCD是四面体矛盾 命题 1 正确 命题 2 中 如果命题成立 即顶点A在底面BCD上的射影为底面三角形的垂心 如图 1 则CD AH CD BE 根据线面垂直的判定定理CD 平面ABH 故CD AB 同理可以 证明AD BC AC BD 但这些条件在题目的已知中是不具备的 故命题 2 不一定成立 即命题不正确 命题 3 中 如图 2 当 ABC ABD的AB边上的高的垂足为同一个点时 命题不 成立 这种情况是完全可能的 如当CA CB DA DB时 故命题 3 不正确 命题 4 中 如图 3 所示 E F G H I J分别为BC AD AB CD AC BD的中 点 连接各中点 容易证明四边形EHFG为平行四边形 故HG EF相交于一点 且在这点 互相平分 即交点为线段HG的中点 设为O 同理可以证明HG IJ也相交于一点 且在 该点互相平分 即线段IJ也过线段HG的中点O 故三组对棱中点的连线交于一点 故命 题 4 正确 命题 5 如在命题 2 的图中 我们设最长棱为AC 若结论不成立 即不存在端点 由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 即从两个端点A C引出的两条棱的长度之和 均不大于AC 即AB AD AC CB CD AC 两个不等式相加得AB AD CB CD 2AC 即 AB CB AD CD 2AC 由在 ABC和 ADC中AB CB AC AD CD AC 两式相加得 AB CB AD CD 2AC 得出矛盾结论 说明我们假设不成立 故命题 5 正确 用心 爱心 专心5 提升训练 1 A 解析 命题 是真命题 命题 是真命题 中可能是n在平面 内 显然是假命题 2 C 解析 三个平面两两相交有三条交线 这三条直线交于一点或者互相平行 只有命题 不正确 3 A 解析 E F G H四点不共面时 EF GH一定不相交 否则 由于两条相 交直线共面 则E F G H四点共面 与已知矛盾 故甲可以推出乙 反之 EF GH不 相交 含有EF GH平行和异面两种情况 当EF GH平行时 E F G H四点共面 故乙 不能推出甲 故甲是乙的充分不必要条件 4 C 解析 该空间几何体是一个底面为俯视图中的直角梯形 顶点在底面上的射 影为俯视图中的点P的四棱锥 其直观图如图 连接BO 有BO CD PBO即为异面直线 PB与CD所成角 PO 1 BO 故 tan PBO 2 1 2 2 2 5 1 解析 可能重合 根据两个平面平行的性质 正确 根据线面垂直的判 定定理 不正确 可能在平面两侧 不正确 6 解析 根据对称性 只要取O关于平面ABC的对称点即可 只要选取点 D使得CA CB CD 并且CD AC CB两两夹角相等即可 正确 以OA OB OC为棱补 长方体 只要点D在这个球面上即可 7 解答 1 证明 因为三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面ABC 又因为CN 平面 ABC 所以AA1 CN 因为AC BC 2 N是AB中点 所以CN AB 又因为AA1 AB A 所以CN 平面ABB1A1 2 取AB1的中点G 连接MG NG 因为N G分别是棱AB AB1中点 所以NG BB1 NG BB1 1 2 又因为CM BB1 CM BB1 所以CM NG CM NG 1 2 所以四边形CNGM是平行四边形 所以CN MG 因为CN 平面AMB1 GM 平面AMB1 所以CN 平面AMB1 3 由 2 知GM 平面AB1N 用心 爱心 专心6 所以VB1 AMN VM AB1N 4 1 3 1 222 4 3 8 解答 1 在线段AB上存在点E 使CE AD 由等腰直角 ABC可知对折后 CD AD CD BD AD BD 1 在 ABD中 cos ADB AD2 BD2 AB2 2 AD BD 12 12 3 2 1 1 1 2 ADB 120 BAD ABD 30 如图 过D作AD的垂线 与AB交于点E 点E就是满足条件的唯一点 理由如下 连接CE AD DE AD CD DE CD D AD 平面CDE AD CE 即在线段AB上存在点E 使CE AD 在 Rt ADE中 DAE 30 AD 1 得AE AD cos DAE 1 3 2 2 3 3 2 对折后 如图 作DF AC于F 连接EF CD AD CD BD AD BD D CD 平面ADB 平面ACD 平面ADB DE AD 且平面ACD 平面ADB AD ED 平面A