湖北省孝感市云梦一中2012-2013学年高二数学下学期3月月考试卷（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年湖北省孝感市云梦一中高二 下 学年湖北省孝感市云梦一中高二 下 3 3 月月考数学试卷月月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 5 分 2006 四川 曲线 y 4x x3在点 1 3 处的切线方程是 A y 7x 4B y 7x 2C y x 4D y x 2 考点 导数的几何意义 分析 已知点 1 3 在曲线上 若求切线方程 只需求出曲线在此点处的斜率 利 用点斜式求出切线方程 解答 解 y 4x x3 y x 1 4 3x2 x 1 1 曲线在点 1 3 处的切线的斜率为 k 1 即利用点斜式求出切线方程是 y x 2 故选 D 点评 本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题 只要利用导数的几何意义 求出该切 线的斜率即可 2 5 分 2008 重庆 若双曲线的左焦点在抛物线 y2 2px 的准线上 则 p 的值为 A 2B 3C 4D 4 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 分析 先根据双曲线的方程表示出左焦点坐标 再由抛物线的方程表示出准线方程 最后 根据双曲线的左焦点在抛物线 y2 2px 的准线上可得到关系式 求出 p 的值 解答 解 双曲线的左焦点坐标为 2 抛物线 y2 2px 的准线方程为 所以 解得 p 4 故选 C 点评 本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质 3 5 分 一质点运动时位移与时间的关系式为 s t t2 t 6 作直线运动 则此物体 在 t 1 4 时间的加速度为 A 1B 2C 7D 不能确定 考点 导数的几何意义 变化的快慢与变化率 专题 计算题 分析 利用导数的几何意义可求得答案 解答 解 速度 v t s t 2t 1 加速度 a t v t 2 此物体在 t 1 4 时间的加速度为 2 故选 B 点评 本题考查导数的几何意义 考查理解与运算能力 属于中档题 4 5 分 2006 安徽 若曲线 y x4的一条切线 l 与直线 x 4y 8 0 垂直 则 l 的方程为 A 4x y 3 0B x 4y 5 0C 4x y 3 0D x 4y 3 0 考点 导数的几何意义 两条直线垂直的判定 分析 切线 l 与直线 x 4y 8 0 垂直 可求出切线的斜率 这个斜率的值就是函数在切点 处的导数 利用点斜式求出切线方程 解答 解 设切点 P x0 y0 直线 x 4y 8 0 与直线 l 垂直 且直线 x 4y 8 0 的斜率为 直线 l 的斜率为 4 即 y x4在点 P x0 y0 处的导数为 4 令 y 4x03 4 得到 x0 1 进而得到 y0 1 利用点斜式 得到切线方程为 4x y 3 0 故选 A 3 点评 熟练应用导数的几何意义 考查两条直线垂直 直线的斜率的关系 5 5 分 平面内有一长度为 2 的线段 AB 和一动点 P 满足 PA PB 6 则 PA 的取值范 围是 A 1 4 B 1 6 C 2 6 D 2 4 考点 椭圆的简单性质 椭圆的定义 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 依题意 动点 P 的轨迹是以 A B 为焦点 长轴长为 6 的椭圆 利用椭圆的几何性质 即可求得 PA 的取值范围 解答 解 AB 2 动点 P 满足 PA PB 6 动点 P 的轨迹是以 A B 为焦点 长轴长为 6 的椭圆 即 2c 2 2a 8 c 1 a 3 PA max a c 3 1 4 PA min a c 3 1 2 2 PA 4 故选 D 点评 本题考查椭圆的定义域简单性质 明确点 P 的轨迹是以 A B 为焦点 长轴长为 6 的 椭圆是关键 属于中档题 6 5 分 2010 丹东二模 已知命题 p x 0 2x 3x 命题 q x 0 tanx sinx 则下列命题为真命题的是 A p qB p q C p q D p q 考点 复合命题的真假 专题 阅读型 分析 由指数函数的性质 我们易判断命题 p 的真假 根据三角函数的性质 我们易判断 命题 q 的真假 然后根据复合命题真假判断的 真值表 我们易得正确答案 解答 解 因为当 x 0 时 即 2x 3x 所以命题 p 为假 从而 p 为真 因为当时 即 tanx sinx 所以命题 q 为真 所以 p q 为真 故选 C 4 点评 本题考查的知识点是复合命题的真假 其中根据 p q 时 p 与 q 均为真时为真 p 与 q 存在假命题即为假 p q 时 p 与 q 均为假时为假 p 与 q 存在真命题即为真 是判断复合命题真假的关键 7 5 分 函数 f x x3 bx2 cx d 的大致图象如图所示 则等于 A B C D 考点 利用导数研究函数的极值 专题 综合题 分析 由图象知 f x 0 的根为 1 0 2 求出函数解析式 x1和 x2是函数 f x 的极 值点 故有 x1和 x2 是 f x 0 的根 可结合根与系数求解 解答 解 f x x3 bx2 cx d 由图象知 1 b c d 0 0 0 0 d 0 8 4b 2c d 0 d 0 b 1 c 2 f x 3x2 2bx c 3x2 2x 2 由题意有 x1和 x2是函数 f x 的极值点 故有 x1和 x2 是 f x 0 的根 x1 x2 x1 x2 则 x12 x22 x1 x2 2 2x1 x2 故答案为 点评 本题考查一元二次方程根的分布 根与系数的关系 函数在某点取的极值的条件 以及求函数的导数 属中档题 8 5 分 若 2x2 y2 18 则 x y 的取值范围为 A B C D 考点 两角和与差的正弦函数 正弦函数的定义域和值域 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 可利用椭圆的参数方程 求得 x 3cos y 3sin 再结合辅助角公式 将 x y 转化为单角单名函数 利用正弦函数的有界性即可求得答案 5 解答 解 2x2 y2 18 x y 3cos 3sin 3sin 其中 tan x y 的取值范围为 3 3 故选 D 点评 本题考查两角和与差的正弦函数 考查正弦函数的定义域和值域 考查椭圆的参数 方程 着重考查化归思想 属于中档题 9 5 分 设 1 a b c d 100 则的最小值为 A B C D 2 考点 基本不等式 专题 计算题 分析 依题意 a 1 d 100 结合已知 利用基本不等式即可求得答案 解答 解 1 a b c d 100 要使 最小 只需 a 1 d 100 的最小值即为所求 1 b c 100 2 2 当且仅当 b c 10 时取 故选 B 点评 本题考查基本不等式 考查分析与推理 运算能力 属于中档题 10 5 分 已知函数 f x 是偶函数 当 x 0 时 f x x3 2x2 x a 则当 a 0 时 方程 f x 0 的根的个数可能是 A 2 4 个 B 2 6 个 C 2 4 6 个 D 0 2 4 个 考点 根的存在性及根的个数判断 奇偶性与单调性的综合 专题 函数的性质及应用 分析 先考虑当 x 0 a 0 时 方程 f x 0 的根的个数 令 g x x3 2x2 x 则 f x g x a 即把函数 g x 的图象向下平移 a 个单位得到 f x 的图象 画出函数 g x 的 6 简图 数形结合求得 g x 的零点个数 即可求得函数 g x 的零点个数 解答 解 函数 f x 是偶函数 当 x 0 时 f x x3 2x2 x a 先考虑当 x 0 且 a 0 时 方程 f x 0 的根的个数 即函数 f x 的零 点个数 令 g x x3 2x2 x x x 1 2 则 f x g x a 即把函数 g x 的图象向下平移 a 个单位得到 f x 的图象 而函数 g x 在 0 上的零点有 2 个 即 0 和 1 如图所示 故当 x 0 且 a 0 时 方程 f x 0 的根的个数可能为 1 2 3 故当 x 时 由函数 f x 是偶函数 图象关于 y 轴对称 可得方程 f x 0 的根的个数可能为 2 4 6 故选 C 点评 本题主要考查方程根的存在性及个数判断 函数的奇偶性 函数的零点 体现了数 形结合以及等价转化的数学思想 属于中档题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 11 5 分 求函数的最小值 考点 基本不等式在最值问题中的应用 专题 计算题 压轴题 分析 利用分离常数把函数化为 利用基本不等式求出函数的最小值 解答 解 原式变形的 3 分 因为 x 0 所以 x 2 0 所以 6 分 所以 y 7 当且仅当 x 1 时 取等号 9 分 所以 ymin 7 当且仅当 x 1 时 10 分 点评 本题考查分式形函数求最值的方法 本题分子次数高于分母次数 故将其恒等变形 为可以用基本不等式求最值的形式 求最值 这是解此类题求最值优先选用的方法 7 本题有一易错点 那就是忘记验证等号成立的条件是否在定义域内 做题时要考虑 周全噢 12 5 分 已知函数 f x 的导函数为 f x 且满足 f x 3x2 2xf 2 则 f 5 6 考点 导数的运算 专题 计算题 分析 将 f 2 看出常数利用导数的运算法则求出 f x 令 x 2 求出 f 2 代入 f x 令 x 5 求出 f 5 解答 解 f x 6x 2f 2 令 x 2 得 f 2 12 f x 6x 24 f 5 30 24 6 故答案为 6 点评 本题考查导数的运算法则 考查通过赋值求出导函数值 13 5 分 已知 P 为抛物线 y2 4x 上的动点 过 P 分别作 y 轴与直线 x y 4 0 的垂线 垂足分别为 A B 则 PA PB 的最小值为 考点 抛物线的简单性质 专题 计算题 分析 设 P y 则 PA PB 2 2 故 当 y 2 2 时 PA PB 有最小值 8 解答 解 设 P y 则 PB 2 PA PB 2 2 故当 y 2 2 时 PA PB 有最小值等于 故答案为 点评 本题考查抛物线的标准方程 简单性质 以及二次函数的最小值的求法 判断当 y 2 2 时 PA PB 有最小值 是解题的关键 14 5 分 已知圆 C x2 y2 1 点 A 2 0 及点 B 2 a 若从 A 点观察 B 点 要使 视线不被圆 C 挡住 则 a 的取值范围是 a 或 a 考点 圆的切线方程 分析 先求过 A 与圆 C x2 y2 1 相切的直线方程 再求 a 的取值范围 解答 解 过 A 与圆 C x2 y2 1 相切的直线的斜率是 切线方程是 y x 2 若从 A 点观察 B 点 要使视线不被圆 C 挡住 B 在 x 2 的直线上 且 a 或 a 故选 A 或 a 点评 本题考查圆的切线方程 考查数形结合的思想 是中档题 15 5 分 已知关于 x 方程 cos2x sinx a 0 若 0 x 程有解 则 a 取值范围是 1 1 9 考点 复合三角函数的单调性 专题 计算题 转化思想 综合法 分析 本题宜变为求三角函数的值域的问题 可令 a cos2x sinx 求其值域即得参数 a 取值范围 解答 解 由题意 方程可变为 a cos2x sinx 令 t sinx 由 0 x 得 t sinx 0 1 即 a t2 t 1 t 0 1 解得 a 1 1 故答案为 1 1 点评 本题的考点是复合函数的单调性 考查根据复合三角函数的单调性求值域 本题求 参数范围的题转化为求函数的值域是解此类题的常用技巧 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 12 分 已知命题 p 关于 x 的方程有负根 命题 q 不等式 x 1 2x 1 a 的解集为 且 p q 是真命题 p q 是假命题 求实数 a 的取 值范围 考点 复合命题的真假 绝对值不等式的解法 专题 计算题 分类讨论 分析 由命题 p 关于 x 的方程有负根 我们易得的取值范围为 3 a 1 由 命题 q 不等式 x 1 2x 1 a 的解集为 我们易得的取值范围为 根据 p q 是真命题 p q 是假命题 我们易得 p 与 q 一真一假 分类讨论后 即可得到实数 a 的取值范围 解答 解 命题 p 3 a 1 命题 q 且由题意知 p 与 q 一真一假 当 p 为真命题 q 为假命题时 3 a 1 且 a 此时 a 当 p 为假命题 q 为真命题时 a 3 或 x 1 且 10 此时 a 3 或 故满足条件的 a 的取值范围为 a 3 或 点评 本题考查的知识点是分式不等式的解法 对数函数的性质 绝对值不等式的解法 复合命题的真假判断等 其中根据分式不等式的解法 对数函数的性质 绝对值不 等式的解法 求出命题 p 命题 q 对应的 a 的取值范围 是解答的关键 17 12 分 已知椭圆的中心在原点 焦点为 F1 0 F2 0 且离心率 I 求椭圆的方程 II 直线 l 与坐标轴不平行 与椭圆交于不同的两点 A B 且线段 AB 中点的横坐标为 求直线 l 倾斜角的取值范围 考点 直线与圆锥曲线的关系 椭圆的标准方程 专题 综合题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 I 设椭圆方程为 由焦点可得 c 由离心率可得 a 再 由 b2 a2 c2可得 b II 设直线 l 的方程为 y kx m k 0 代入椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程 则 0 设 A x1 y1 B x2 y2 由中点坐标公式可得 2 x1 x2 代入韦达定理可得 m k 的方程 代入 消掉 m 即可 解答 解 I 设椭圆方程为 由题意得 c 2 e 所以 a 3 b2 a2 c2 1 所以椭圆的方程为 II 设直线 l 的方程为 y kx m k 0 由得 k2 9 x2 2kmx m2 9 0 则 4k2m2 4 k2 9 m2 9 0 即 k2 m2 9 0 11 设 A x1 y1 B x2 y2 则 因为线段 AB 中点的横坐标为 所以 2 化简得 k2 9 2km 所以 m 把 代入 整理得 k4 6k2 27 0 解得 k 或 k 所以直线 l 倾斜角的取值范围为 k 或 k 点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系 椭圆方程的求解 考查学生分析解决问题的 能力 中由直线交椭圆于不同两点得不等式 0 由中点横坐标得一方程 两者联立即可求得范围 称为 方程不等式法 解题中注意应用 18 12 分 已知函数 且函数 f x 与 g x 的图象 关于直线 y x 对称 又 g 1 0 求 f x 的值域 是否存在实数 m 使得命题 p f m2 m f 3m 4 和满足 复合命题 p 且 q 为真命题 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 说明理由 考点 反函数 复合命题的真假 函数的值域 专题 计算题 综合题 存在型 分析 I 依题意函数 f x 与 g x 的图象关于直线 y x 对称得 f x 与 g x 互 为反函数 利用反函数图象间的对称性列出关于 a b 方程求出它们的值 最后利用 f x 在 0 上是减函数即可求得 f x 的值域 II 对于存在性问题 可先假设存在 由 知 f x 是 0 上的减函数 g x 是 0 1 上的减函数 欲使得复合命题 p 且 q 为真命题 必须 p 且 q 都为真 命题 据此列出不等关系 解之 如果不出现矛盾则存在 否则不存在 解答 解 依题意 f x 与 g x 互为反函数 由 g 1 0 得 f 0 1 得 3 分 故 f x 在 0 上是减函数 即 f x 的值域为 0 1 6 分 由 知 f x 是 0 上的减函数 g x 是 0 1 上的减函数 又 9 分 12 故解得 因此 存在实数 m 使得命题 p 且 q 为真命题 且 m 的取值范围为 12 分 点评 本题主要考查了反函数 复合命题的真假函数的值域及存在性问题 求反函数 一 般应分以下步骤 1 由已知解析式 y f x 反求出 x y 2 交换 x y 中 x y 的位置 3 求出反函数的定义域 一般可通过求原函数的值域 的方法求反函数的定义域 19 12 分 2006 福建 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y 升 关于行驶速度 x 千米 小时 的函数解析式可以表示为 x 8 0 x 120 已知甲 乙两地相距 100 千米 I 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 II 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 考点 利用导数研究函数的极值 函数模型的选择与应用 专题 计算题 应用题 分析 I 把用的时间求出 在乘以每小时的耗油量 y 即可 II 求出耗油量为 h x 与速度为 x 的关系式 再利用导函数求出 h x 的极小 值判断出就是最小值即可 解答 解 I 当 x 40 时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 要耗油 升 答 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油 17 5 升 II 当速度为 x 千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油量为 h x 升 依题意得 令 h x 0 得 x 80 当 x 0 80 时 h x 0 h x 是减函数 当 x 80 120 时 h x 0 h x 是增函数 当 x 80 时 h x 取到极小值 h 80 11 25 13 因为 h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 答 当汽车以 80 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为 11 25 升 点评 本小题主要考查函数 导数及其应用等基本知识 考查运用数学知识分析和解决实 际问题的能力 20 13 分 2008 东城区二模 已知双曲线 a 0 b 0 的一条渐近线方 程为 两条准线间的距离为 1 F1 F2是双曲线的左 右焦点 求双曲线的方程 直线 l 过坐标原点 O 且和双曲线交于两点 M N 点 P 为双曲线上异于 M N 的一点 且直线 PM PN 的斜率均存在 求 kPM kPN的值 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 双曲线的标准方程 双曲线的简单性质 双曲线的应 用 专题 计算题 综合题 分析 依题意 双曲线焦点在 x 轴上 且其一条渐近线方程为 两条准线间 的距离为 1 可得方程组 解得 a2 1 b2 3 代入可得答案 设 M x0 y0 由双曲线的对称性 可得 N 的坐标 设 P xP yP 结合题 意 又由 M 在双曲线上 可得 将其坐标代入 kPM kPN中 计算可得答 案 解答 解 依题意 双曲线焦点在 x 轴上 有 解得 a2 1 b2 3 双曲线方程为 设 M x0 y0 由双曲线的对称性 可得 N x0 y0 14 设 P xP yP 则 又 y02 3x02 3 同理 yP2 3xP2 3 点评 本题考查双曲线与直线相交的性质 此类题目一般计算量较大 注意计算的准确性 其次要尽可能的简化运