2004年全国高中数学联赛试题及参考答案

2004 年全国高中数学联赛试题年全国高中数学联赛试题 第一试第一试 一 选择题 本题满分一 选择题 本题满分 3636 分 每小题分 每小题 6 6 分 分 1 设锐角 q 使关于 x 的方程 0cotcos4 2 xx 有重根 则 q 的弧度数 为 A 6 B 12 5 12 或 C 12 5 6 或 D 12 答 2 已知 M 32 22 yxyx N bmxyyx 若对于所有的 Rm 均有 NM 则b的取值范围是 A 2 6 2 6 B 2 6 2 6 C 3 32 3 32 D 3 32 3 32 答 3 不等式 2log 2 1 1log 3 2 12 xx 0 的解集是 A 2 3 B 2 3 C 2 4 D 2 4 答 4 设 O 点在 ABC 内部 且有 032 OCOBOA 则 ABC 的面积与 AOC 的面积之比为 A 2 B 2 3 C 3 D 3 5 答 5 设三位数 abcn 若以 cba 为三条边的长可以构成一个 等腰 含等边 三角形 则这样的三位数有 A 45 个 B 81 个 C 165 个 D 216 个 答 6 顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形 A 是底面圆周上的点 B 是底面圆内的点 O 为底面圆的圆心 AB OB 垂足为 B OH PB 垂足为 H 且 PA 4 C 是 PA 的中点 则当三棱锥 O HPC 的体积最大时 OB 的长是 A 3 5 B 3 52 C 3 6 D 3 62 答 二 填空题 本题满分二 填空题 本题满分 5454 分 每小题分 每小题 9 9 分 分 7 在平面直角坐标系 xoy中 函数 0 cossin aaxaxaxf 在一个最小 正周期长的区间上的图像与函数 1 2 axg 的图像所围成的封闭图形的面积 是 8 设函数 RRf 满足 1 0 f 且对任意的 Ryx 都有 1 xyf 2 xyfyfxf 则 xf 9 如图 正方体 1111 DCBAABCD 中 二面角 11 ABDA 的度数是 10 设 p 是给定的奇质数 正整数k使得 pkk 2 也 是一个正整数 则k 11 已知数列 210n aaaa 满足关系式 18 6 3 1 nn aa 且 3 0 a 则 n i i a 0 1 的值是 12 在平面直角坐标系 xoy中 给定两点 M 1 2 和 N 1 4 点 P 在 X 轴上移动 当 MPN 取最大值时 点 P 的横坐标是 三 解答题 本题满分三 解答题 本题满分 6060 分 每小题分 每小题 2020 分 分 13 一项 过关游戏 规则规定 在第n关要抛掷一颗骰子n次 如果这 n次抛掷所出现的点数之和大于 n 2 则算过关 问 某人在这项游戏中最多能过几关 他连过前三关的概率是多少 注 骰子是一个在各面上分别有 1 2 3 4 5 6 点数的均匀正方体 抛掷骰子落地静止后 向上一面的点数为出现点数 14 在平面直角坐标系 xoy中 给定三点 A 0 3 4 B 1 0 C 1 0 点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB AC 距离的等比中顶 求点 P 的轨迹方程 若直线 L 经过 ABC 的内心 设为 D 且与 P 点的轨迹恰好有 3 个 公共点 求 L 的斜率k的取值范围 15 已知 是方程 0144 2 txx Rt 的两个不等实根 函数 xf 1 2 2 x tx 的定义域为 求 min max xfxftg 证明 对于 2 0 i u 3 2 1 i 若 1sinsinsin 321 uuu 则 6 4 3 tan 1 tan 1 tan 1 321 ugugug 第二试第二试 一 本题满分 50 分 在锐角 ABC 中 AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相 交于点 H 以 DE 为直径的圆分别交 AB AC 于 F G 两点 FG 与 AH 相交于点 K 已知 BC 25 BD 20 BE 7 求 AK 的长 二 本题满分 50 分 在平面直角坐标系 xoy中 y 轴正半轴上的点列 n A 与曲线 xy2 x 0 上的点列 n B 满足 n OBOA nn 1 直线 nnB A 在 X 轴上的截 距为 n a 点 n B 的横坐标为 n b Nn 证明 n a 1 n a 4 Nn 证明有 Nn0 使得对 0 nn 都有 n n n n b b b b b b b b 1 12 3 1 2 b 必须满足 2bab 此 时 不能构成三角形的数码是 a987654321 b 4 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 21 2 11 共 20 种情况 同时 每个数码组 a b 中的二个数码填上三个数位 有 2 3 C 种情况 故 222 2399 220 6 10 156nCCC 综上 12 165nnn 6 6 解 ABOBABOPABPBOHPB 又 PABPOBOHHC OHPA 面面 C 是 PA 中点 OCPA HOC HOHCS 当时 最大 也即 O HPCP HCO VV 最大 此时 P A B O H C 0 0 2 30 2 6 tan30 3 HOOPHPO OBOP 1 故H O 2 故选 D 二 填空题 本题满分二 填空题 本题满分 5454 分 每小题分 每小题 9 9 分 分 7 7 解 2 1 1sin arctanf xaax a 其中 它的最小正周期为 2 a 振 幅为 2 1a 由 f x 的图像与 g x 的图像围成的封闭图形的对称性 可将这 图形割补成长为 2 a 宽为 2 1a 的长方形 故它的面积是 2 2 1a a 8 8 解 1 2 x yRf xyf x f yf yx 对有 1 2f xyf y f xf xy 有 2f x f yf yx 2f y f xf xy 即 0 1f xyf yxyf xx 令得 9 9 解 连结 1 DC 1 作C EBD 垂足为 E 延长 CE 交 1 AB 于 F 则 1 FEBD 连结 AE 由对称性知 1 AEBDFEA 是二面角 11 ABDA 的平面角 连结 AC 设 AB 1 则 11 2 3 ACADBD 1 Rt ABD 在 中 1 1 2 3 AB AD AE BD 在 22222 2 4 2 21 3 cos 4 222 3 AECEACAEAC AECAEC AE CEAE 中 0 120 AECFEAAEC 而是 的补角 0 60FEA C E D1 C1 A1B1 A B D F 1010 解 设 22 2 22 4 0 2 ppn kpkn nNkpknk 则 从而 22 4pn 是平方数 设为 2 2 2 2 mmNmn mnp 则 2 2 2 1 21 2 3 21 4 p m mn pp mnpp n 是质数 且解得 22 2 1 1 244 pmppp kk 故 负值舍去 1111 解 设 1 111 0 1 2 3 6 18 n nnn bn abb 则 即 111 111 3610 2 2 333 nnnnnn bbbbbb 故数列 1 3 n b 是公比为 2 的等比数列 11 0 0 111111 2 2 2 21 33333 nnnn nn bbb a 1 12 00 111 2 21 1 21 1 23 332 13 n nnn in i i oii i bnn a 1212 解 经过 M N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y 3 x 上 设圆心 为 S a 3 a 则圆 S 的方程为 222 3 2 1 xayaa 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大 所 以 当 MPN 取最大值时 经过 M N P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P 即 圆 S 的方程中的 a 值必须满足 22 2 1 3 aa 解得 a 1 或 a 7 即对应的切点分别为 1 0 7 0 PP 和 而过点 M N p 的圆的半径大于 过点 M N P 的圆的半径 所以 MPNMP N 故点 P 1 0 为所求 所 以点 P 的横坐标为 1 三 解答题 本题满分三 解答题 本题满分 6060 分 每小题分 每小题 2020 分 分 1313 解 由于骰子是均匀的正方体 所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的 因骰子出现的点数最大为 6 而 45 6 42 6 52 因此 当 5n 时 n 次出现的点数之和大于2 n 已不可能 即这是一个不可能事件 过关的概率为 0 所以最多只能连过 4 关 5 分 设事件 n A 为 第 n 关过关失败 则对立事件 n A 为 第 n 关过关成功 第 n 关游戏中 基本事件总数为6 n 个 第 1 关 事件 1 A 所含基本事件数为 2 即出现点数为 1 和 2 这两种情况 过此关的概率为 11 22 1 1 63 P AP A 第 2 关 事件 2 A 所含基本事件数为方程 xya 当 a 分别取 2 3 4 时的正整 数解组数之和 即有 111 123 1236CCC 个 过此关的概率为 22 2 65 1 1 66 P AP A 10 分 第 3 关 事件 3 A 所含基本事件为方程 xyza 当 a 分别取 3 4 5 6 7 8 时的正整数解组数之和 即有 222222 234567 1 36 10 152156CCCCCC 个 过此关的概率为 33 3 5620 1 1 627 P AP A 15 分 故连过前三关的概率为 123 2520100 3627243 P AP AP A 20 分 说明 第 2 3 关的基本事件数也可以列举出来 1414 解 直线 AB AC BC 的方程依次为 44 1 1 0 33 yxyxy 点 P x y 到 AB AC BC 的距离依次为 123 11 434 434 55 dxydxydy 依设 2222 123 16 34 25d ddxyy 得 即 222222 16 34 250 16 34 250 xyyxyy 或 化简得点 P 的轨迹方程 为 圆 S 222 22320171280 xyyyy 2 与双曲线T 8x 5 分 由前知 点 P 的轨迹包含两部分 圆 S 22 22320 xyy 与双曲线 T 2 171280yy 2 8x 因为 B 1 0 和 C 1 0 是适合题设条件的点 所以点 B 和点 C 在点 P 的 轨迹上 且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B C 两点 ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点 由 123 ddd 解得 1 0 2 D 且知它 在圆 S 上 直线 L 经过 D 且与点 P 的轨迹有 3 个公共点 所以 L 的斜率存在 设 L 的方程为 1 2 ykx i 当 k 0 时 L 与圆 S 相切 有唯一的公共点 D 此时 直线 1 2 y 平行于 x 轴 表明 L 与双曲线有不同于 D 的两个公共点 所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点 10 分 ii 当 0k 时 L 与圆 S 有两个不同的交点 这时 L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能有两种情况 情况 1 直线 L 经过点 B 或点 C 此时 L 的斜率 1 2 k 直线 L 的方程为 21 xy 代入方程 得 34 0yy 解得 5 4 3 3 E 5 4 或F 3 3 表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交点 B E 直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C F 故当 1 2 k 时 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点 15 分 情况 2 直线 L 不经过点 B 和 C 即 1 2 k 因为 L 与 S 有两个不同的 交点 所以 L 与双曲线 T 有且只有一个公共点 即方程组 22 8171280 1 2 xyy ykx 有且只有一组实数解 消去 y 并化简得 22 25 8 17 50 4 kxkx 该方程有唯一实数解的充要条件是 2 8 170k 或 22 25 5 4 8 17 0 4 kk 解方程 得 2 34 17 k 解方程 得 2 2 k 综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 12 342 0 2172 20 分 1515 解 设 22 121122 4410 4410 xxxtxxtx 则 22 12121212 1 4 4 20 2 0 2 xxt xxx xt xx 则 211212 21 21 2222 2121 2222 11 1 1 xxt xxx xxtxt f xf x xxxx 又 1212121221 1 22 20 0 2 t xxx xt xxx xf xf x 故 f x 在区间 上是增函数 5 分 1 4 t 2222 22 max min 1 t g tf xf xff 22 22 2 2 5 1 81 25 2 25 1625 16 tt tt t t 10 分 证 2 2 2 8216 3 24cos cosco