福建省各市2012年中考数学分类解析 专题12 押轴题

用心 爱心 专心1 福建福建 9 9 市市 20122012 年中考数学试题分类解析汇编年中考数学试题分类解析汇编 专题专题 1212 押轴题 押轴题 一 选择题 1 2012 福建龙岩 4 分 如图 矩形 ABCD 中 AB 1 BC 2 把矩形ABCD 绕 AB 所在直线旋转一 周所得圆柱的侧面积为 A 10 B 4 C 2 D 2 答案 B 考点 矩形的性质 旋转的性质 分析 把矩形ABCD 绕 AB 所在直线旋转一周所得圆柱是以 BC 2 为底面半径 AB 1 为高 所以 它 的侧面积为 故选 B 22 1 4 2 2012 福建南平 4 分 如图 正方形纸片 ABCD 的边长为 3 点 E F 分别在边 BC CD 上 将 AB AD 分别和 AE AF 折叠 点 B D 恰好都将在点 G 处 已知 BE 1 则 EF 的长为 A B C D 3 3 2 5 2 9 4 答案 B 考点 翻折变换 折叠问题 正方形的性质 折叠的性质 勾股定理 分析 正方形纸片 ABCD 的边长为 3 C 90 BC CD 3 根据折叠的性质得 EG BE 1 GF DF 设 DF x 则 EF EG GF 1 x FC DC DF 3 x EC BC BE 3 1 2 在 Rt EFC 中 EF2 EC2 FC2 即 x 1 2 22 3 x 2 解得 3 x 2 DF EF 1 故选 B 3 2 35 22 3 2012 福建宁德 4 分 如图 在矩形 ABCD 中 AB 2 BC 3 点 E F G H 分别在矩形 ABCD 用心 爱心 专心2 的各边上 EF HG EH FG 则四边形 EFGH 的周长是 A B C 2 D 2 10131013 4 2012 福建莆田 4 分 如图 在平面直角坐标系中 A 1 1 B 1 1 C 1 2 D 1 2 把一条长为 2012 个单位长度且没有弹性的细线 线的粗细忽略不计 的一端固定在点 A 处 并按 A B C D A 一 的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上 则细线另一端所在位置的点的坐标是 用心 爱心 专心3 A 1 1 B 1 1 C 1 2 D 1 2 答案 B 考点 分类归纳 图形的变化类 点的坐标 分析 根据点的坐标求出四边形 ABCD 的周长 然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度 从而 确定答案 A 1 1 B 1 1 C 1 2 D 1 2 AB 1 1 2 BC 1 2 3 CD 1 1 2 DA 1 2 3 绕四边形 ABCD 一周的细线长度为 2 3 2 3 10 2012 10 201 2 细线另一端在绕四边形第 202 圈的第 2 个单位长度的位置 即点 B 的位置 所求点的坐标为 1 1 故选 B 5 2012 福建厦门 3 分 已知两个变量 x 和 y 它们之间的 3 组对应值如下表所示 x 1 01 y 1 13 则 y 与 x 之间的函数关系式可能是 A y x B y 2x 1 C y x2 x 1 D y 3 x 答案 B 考点 函数关系式 曲线上点的坐标与方程的关系 分析 观察这几组数据 根据点在曲线上 点的坐标满足方程的关系 找出符合要求的关系式 A 根据表格对应数据代入不能全得出 y x 故此选项错误 B 根据表格对应数据代入均能得出 y 2x 1 故此选项正确 C 根据表格对应数据代入不能全得出 y x2 x 1 故此选项错误 D 根据表格对应数据代入不能全得出 y 故此选项错误 3 x 故选 B 6 2012 福建漳州 4 分 在公式 I 中 当电压 U 一定时 电流 I 与电阻 R 之间的函数关系可用图 U R 象大致表示为 用心 爱心 专心4 A B C D 答案 D 考点 跨学科问题 反比例函数的图象 分析 在公式 I 中 当电压 U 一定时 电流 I 与电阻 R 之间的函数关系不反比例函数关系 且 R U R 为正数 选项 D 正确 故选 D 7 2012 福建三明 4 分 如图 在平面直角坐标系中 点 A 在第一象限 点 P 在 x 轴上 若以 P O A 为顶点的三角形是等腰三角形 则满足条件的点 P 共有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 答案 C 考点 等腰三角形的判定 分析 如图 分 OP AP 1 点 OA AP 1 点 OA OP 2 点 三种情况讨论 以 P O A 为顶点的三角形是等腰三角形 则满足条件的点 P 共有 4 个 故选 C 8 2012 福建福州 4 分 如图 过点 C 1 2 分别作 x 轴 y 轴的平行线 交直线 y x 6 于 A B 两点 若反比例函数 y x 0 的图像与 ABC 有公共点 则 k 的取值范围是 k x A 2 k 9 B 2 k 8 C 2 k 5 D 5 k 8 答案 A 用心 爱心 专心5 考点 反比例函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 二次函数的性质 分析 点 C 1 2 BC y 轴 AC x 轴 当 x 1 时 y 1 6 5 当 y 2 时 x 6 2 解得 x 4 点 A B 的坐标分别为 A 4 2 B 1 5 根据反比例函数系数的几何意义 当反比例函数与点 C 相交时 k 1 2 2 最小 设与线段 AB 相交于点 x x 6 时 k 值最大 则 k x x 6 x2 6x x 3 2 9 1 x 4 当 x 3 时 k 值最大 此时交点坐标为 3 3 因此 k 的取值范围是 2 k 9 故选 A 9 2012 福建泉州 3 分 如图 点 O 是 ABC 的内心 过点 O 作 EF AB 与 AC BC 分别交于点 E F 则 A EF AE BF B EF0 的图象上 则 1 y x 12 y y 用心 爱心 专心9 答案 2 考点 反比例函数综合题 分析 O1过原点 O O1的半径 O1P1 O1O O1P1 O1的半径 O1P1与 x 轴垂直 点 P1 x1 y1 在反比例函数 x 0 的图象上 1 y x x1 y1 x1y1 1 x1 y1 1 O1与 O2相外切 O2的半径 O2P2与 x 轴垂直 设两圆相切于点 A AO2 O2P2 y2 OO2 2 y2 P2点的坐标为 2 y2 y2 点 P2在反比例函数 x 0 的图象上 1 y x 2 y2 y2 1 解得 y2 1 或 1 不合题意舍去 22 y1 y2 1 1 22 6 2012 福建漳州 4 分 如图 点 A 3 n 在双曲线 y 上 过点 A 作 AC x 轴 垂足为 C 线段 OA 3 x 的垂直平分线交 OC 于点 B 则 ABC 周长的值是 答案 4 考点 反比例函数的图象和性质 曲线上点的坐标与方程的关系 线段垂直平分线的性质 勾股定理 分析 由点 A 3 n 在双曲线 y 上得 n 1 A 3 1 3 x 线段 OA 的垂直平分线交 OC 于点 B OB AB 则在 ABC 中 AC 1 AB BC OB BC OC 3 用心 爱心 专心10 ABC 周长的值是 4 7 2012 福建三明 4 分 填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律 根据此规律 a 的值是 答案 900 考点 分类归纳 数字变化类 分析 寻找规律 上面是 1 2 3 4 左下是 1 4 22 9 32 16 42 右下是 从第二个图形开始 左下数字减上面数字差的平方 4 2 2 9 3 2 16 4 2 a 36 6 2 900 8 2012 福建福州 4 分 如图 已知 ABC AB AC 1 A 36 ABC 的平分线 BD 交 AC 于 点 D 则 AD 的长是 cosA 的值是 结果保留根号 答案 5 1 2 5 1 4 考点 黄金分割 等腰三角形的性质 三角形内角和定理 相似三角形的判定和性质 锐角三角函数 的定义 分析 可以证明 ABC BDC 设 AD x 根据相似三角形的对应边的比相等 即可列出方程 求得 x 的值 过点 D 作 DE AB 于点 E 则 E 为 AB 中点 由余弦定义可求出 cosA 的值 在 ABC 中 AB AC 1 A 36 ABC ACB 72 180 A 2 BD 是 ABC 的平分线 ABD DBC ABC 36 1 2 A DBC 36 又 C C ABC BDC AC BC BC CD 用心 爱心 专心11 设 AD x 则 BD BC x 则 解得 x 舍去 或 1 x x 1 x 5 1 2 5 1 2 x 5 1 2 如图 过点 D 作 DE AB 于点 E AD BD E 为 AB 中点 即 AE AB 1 2 1 2 在 Rt AED 中 cosA AE AD 1 2 5 1 2 5 1 4 9 2012 福建泉州 4 分 在 ABC 中 P 是 AB 上的动点 P 异于 A B 过点 P 的直线截 ABC 使截得 的三角形与 ABC 相似 我们不妨称这种直线为过点 P 的 ABC 的相似线 简记为 P 为自然数 x lx 1 如图 A 90 B C 当 BP 2PA 时 P P 都是过点 P 的 ABC 的相似线 其中 1 l 2 l BC AC 此外还有 条 1 l 2 l 2 如图 C 90 B 30 当 时 P 截得的三角形面积为 ABC 面积的 BP BA x l 4 1 答案 1 1 2 或或 1 2 3 4 3 4 考点 相似三角形的性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析 1 如图 相似线 还有一条 即与 BC 平行的直线 3 l 2 如图 相似线 有三条 1 l 2 l 3 l P 截得的三角形面积为 ABC 面积的 x l 1 4 PBD APE FBP 和 ABC 的相似比是 1 2 对于 PBD 有 BP1 BA2 对于 APE 有 PA1 BA2 BP1 BA2 用心 爱心 专心12 对于 FBP 若点 F 在 BC 上 有 即 BA 2BF BPBF1 BCBA2 又在 Rt BPF 中 B 30 则 BP3 cos B BF2 BPBP133 BA2BF224 若点 F 在 AC 上 有 即 BA 2FA PAFA1 CABA2 又在 Rt APF 中 A 60 则 PA1 cos A FA2 PAPA1 11 BA2FA2 24 BP3 BA4 综上所述 当或或时 P 截得的三角形面积为 ABC 面积的 BP1 BA2 3 4 3 4 x l 1 4 三 解答题 1 2012 福建厦门 10 分 已知ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于点 O 点 P 在边 AD 上 过点 P 分 别作 PE AC PF BD 垂足分别为 E F PE PF 1 如图 若 PE EO 1 求 EPF 的度数 3 2 若点 P 是 AD 的中点 点 F 是 DO 的中点 BF BC 3 4 求 BC 的长 2 答案 解 1 连接 PO PE PF PO PO PE AC PF BD Rt PEO Rt PFO HL EPO FPO 在 Rt PEO 中 tan EPO EO PE EPO 30 EPF 60 2 点 P 是 AD 的中点 AP DP 又 PE PF Rt PEA Rt PFD HL OAD ODA OA OD AC 2OA 2OD BD ABCD 是矩形 点 P 是 AD 的中点 点 F 是 DO 的中点 AO PF PF BD AC BD ABCD 是菱形 ABCD 是正方形 BD BC 2 用心 爱心 专心13 BF BD BC 3 4 BC 解得 BC 4 3 42 考点 平行四边形的性质 角平分线的性质 三角形中位线定理 全等三角形的判定和性质 正方形 的判定和性质 锐角三角函数定义 分析 1 连接 PO 利用解直角三角形求出 EPO 30 再利用 HL 证明 PEO 和 PFO 全等 根 据全等三角形对应角相等可得 FPO EPO 从而得解 2 根据条件证出 ABCD 是正方形 根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解 2 2012 福建厦门 12 分 已知点 A 1 c 和点 B 3 d 是直线 y k1x b 与双曲线 y k2 0 的 k2 x 交 点 1 过点 A 作 AM x 轴 垂足为 M 连结 BM 若 AM BM 求点 B 的坐标 2 设点 P 在线段 AB 上 过点 P 作 PE x 轴 垂足为 E 并交双曲线 y k2 0 于点 N 当 取 k2 x PN NE 最大值时 若 PN 求此时双曲线的解析式 1 2 答案 1 解 点 A 1 c 和点 B 3 d 在双曲线 y k2 0 上 k2 x c k2 3d k2 0 c 0 d 0 A 1 c 和点 B 3 d 都在第一象限 AM 3d 过点 B 作 BT AM 垂足为 T BT 2 TM d AM BM BM 3d 在 Rt BTM 中 TM 2 BT2 BM2 即 d2 4 9d2 d 点 B 3 2 点 A 1 c B 3 d 是直线 y k1x b 与双曲线 y k2 0 的交点 k2 x c k2 3d k2 c k1 b d 3k1 b k1 k2 b k2 1 3 4 3 A 1 c 和点 B 3 d 都在第一象限 点 P 在第一象限 设 P x k1x b 用心 爱心 专心14 x2 x x2 x PE NE k1 k2 b k2 1 3 4 3 2 14 x2 33 当 x 1 3 时 1 又 当 x 2 时 的最大值是 PE NE PE NE 4 3 1 PE NE PE NE 4 3 1 PN NE PE NE 211 x2 33 当 x 2 时 的最大值是 PN NE 1 3 由题意 此时 PN NE 点 N 2 k2 3 1 2 3 2 3 2 此时双曲线的解析式为 y 3 x 考点 反比例函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 勾股定理 二次函数的最值 分析 1 过点 B 作 BT AM 由点 A 1 c 和点 B 3 d 都在双曲线 y k2 0 上 得到 k2 x c 3d 则 A 点坐标为 1 3d 在 Rt BTM 中应用勾股定理即可计算出 d 的值 即可确定 B 点坐标 2 P x k1x b 求出关于 x 的二次函数 应用二次函数的最值即可求得的最大值 此 PN NE PN NE 时根据 PN 求得 NE 从而得到 N 2 代入 y 即可求得 k2 3 因此求得反比例函数的解析式 1 2 3 2 3 2 k2 x 为 y 3 x 3 2012 福建莆田 12 分 1 3 分 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 BD AC 于点 D 求证 AB2 AD AC 2 4 分 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 点 D 为 BC 边上的点 BE AD 于点 E 延长 BE 交 AC 于点 F 求的值 ABB C 1 D BDC AF FC 3 5 分 在 Rt ABC 中 ABC 90 点 D 为直线 BC 上的动点 点 D 不与 B C 重合 直线 BE D 于点 E 交直线 AC 于点 F 若 请探究并直接写出的所有可能的值 用含 n 的式子表 ABBD n BCDC AF FC 示 不必证明 用心 爱心 专心15 答案 解 1 证明 如图 BD AC ABC 90 ADB ABC 又 A A ADB ABC AB2 AD AC ABAD ACAB 2 如图 过点 C 作 CG AD 交 AD 的延长线于点 G BE AD CGD BED 90 CG BF 又 ABBD 1 BCDC AB BC 2BD 2DC BD DC 又 BDE CDG BDE CDG AAS ED GD 1 EG 2 由 1 可得 AB2 AE AD BD2 DE AD AE 4DE 22 22 AEAB 2BD 4 DEBDBD AE4DE 2 EGDE 又 CG BF AFAE 2 FCEG 3 当点 D 在 BC 边上时 的值为 n2 n AF FC 当点 D 在 BC 延长线上时 的值为 n2 n AF FC 当点 D 在 CB 延长线上时 的值为 n n2 AF FC 考点 相似三角形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 三角形中位线定理 平行线分线段成比 例的性质 分析 1 由证 ADB ABC 即可得到结论 2 过点 C 作 CG AD 交 AD 的延长线于点 G 由已知用 AAS 证 BDE CDG 得到 EF 是 ACG 的中位线 应用 1 的结论即可 3 分点 D 在 BC 边上 点 D 在 BC 延长线上和点 D 在 CB 延长线上三种情况讨论 用心 爱心 专心16 当点 D 在 BC 边上时 如图 3 过点 C 作 CG AD 交 AD 的延长线于点 G BE AD CGD BED 90 CG BF BDE CDG EDBD GDDC 又 ABBD n BCDC EDBD n GDDC AB nBC BD nDC ED nGD BC n 1 DC EG ED 1 1 n 由 1 可得 AB2 AE AD BD2 DE AD AE DE 2 222 2 2222 n1DCAEAB nBC BC n1 DEBDDCDC nDC 2 n1 2 2 AEn1DE n n 1 EG 1 DE n 又 CG BF 2 AFAE n n FCEG 当点 D 在 BC 延长线上时 如图 4 过点 C 作 CH AD 交 AD 于点 H BE AD CHD BED 90 CH BF BDE CDH EDBD HDCD 又 ABBD n BCDC EDBD n HDDC AB nBC BD nDC ED nHD BC n 1 DC EH ED 1 1 n 由 1 可得 AB2 AE AD BD2 DE AD AE DE 2 222 2 2222 n1DCAEAB nBC BC n1 DEBDDCDC nDC 2 n1 2 2 AEn1DE nn 1 EH 1DE n 又 CH BF 2 AFAE nn FCEH 当点 D 在 CB 延长线上时 如图 5 过点 C 作 CI AD 交 DA 的延长线于点 I 用心 爱心 专心17 BE AD CID BED 90 CI BF BDE CDI EDBD IDCD 又 ABBD n BCDC EDBD n IDDC AB nBC BD nDC ED nID BC 1 n DC EI ED 1 1 n 由 1 可得 AB2 AE AD BD2 DE AD AE DE 2 222 2 2222 1nDCAEAB nBC BC 1n DEBDDCDC nDC 2 1n 2 2 AE1nDE nn 1 EI 1DE n 又 CI BF 2 AFAE nn FCEI 4 2012 福建莆田 14 分 如图 在平面直角坐标系中 矩形 OABC 四个顶点的坐标分别为 O 0 0 A 0 3 B 6 3 C 6 0 抛物线过点 A 2 yaxbxc a0 1 2 分 求 c 的值 2 6 分 若 a l 且抛物线与矩形有且只有三个交点 A D E 求 ADE 的面积 S 的最大值 3 6 分 若抛物线与矩形有且只有三个交点 A M N 线段 MN 的垂直平分线 l 过点 O 交线段 BC 于点 F 当 BF 1 时 求抛物线的解析式 答案 解 1 抛物线过点 A 0 3 c 3 2 yaxbxc 2 a l 2 yxbx3 如图 当抛物线与矩形的两个交点 D E 分别在 AB OC 边上时 抛物线与直线 x 6 的交点应落在 C 点或 C 点下方 当 x 6 时 y 0 用心 爱心 专心18 即 2 66b30 11 b 2 又 对称轴在 y 轴右侧 b 0 0 11 b 2 由抛物线的对称性可知 bb AD22b 2a21 又 ADE 的高 BC 3 S b 3 1 2 3 b 2 0 S 随 b 的增大而增大 3 2 当 b 时 S 的最大值 11 2 31133 224 如图 当抛物线与矩形的两个交点 D E 分别在 AB BC 边上时 抛物线与直线 x 6 的交点应落在线段 BC 上且不与点 B 重合 即 0 3 E y 当 x 6 则 2 y66b36b33 0 6b 33 3 b 6 11 2 BE 3 6b 33 36 6b S AD BE b 36 6b 3b2 18b 1 2 1 2 对称轴 b 3 随 b 的增大而减小 11 2 当 b 时 S 的最大值 11 2 33 4 综上所述 S 的最大值为 33 4 3 当 a 0 时 符合题意要求的抛物线不存在 当 a 0 时 符合题意要求的抛物线有两种情况 当点 M N 分别在 AB OC 边上时 如图 过 M 点作 MG OC 于点 G 连接 OM MG OA 3 2 MNO 90 OF 垂直平分 MN OM ON 1 MNO 90 1 2 FB 1 FC 3 1 2 用心 爱心 专心19 tan 1 tan 2 tan 1 FC21 OC63 GN GM 1 3 GN GM 1 1 3 设 N n 0 则 G n 1 0 M n 1 3 AM n 1 ON n OM 在 Rt AOM 中 222 OMOAAM 解得 n 5 M 4 3 N 5 0 2 22 n3n1 把 M 4 3 N 5 0 分别代入 得 2 yaxby3 解得 316a4b3 025a5b3 3 a 5 12 b 5 抛物线的解析式为 2 312 yxx3 55 当点 M N 分别在 AB BC 边上时 如图 连接 MF OF 垂直平分 MN 1 NFO 90 MF FN 又 0CB 90 2 CFO 90 1 2 BF 1 FC 2 tan 1 tan 2 FC21 OC63 在 Rt MBN tan 1 BN 3MB MB1 BN3 设 N 6 n 则 FN 2 n BN 3 一 n MF 2 n MB 3n1 1n 33 在 Rt MBF 中 222 MFMBFB 2 2 2 1 2n1n1 3 解得 不合题意舍去 12 3 nn3 4 3 BM 4 AM 6 M 3 N 6 31 5 44 1 5 4 3 4 把 M 3 N 6 分别代人 得 1 5 4 3 4 2 yaxby3 用心 爱心 专心20 解得 2 2121 3ab3 44 3 36a6b3 4 1 a 2 21 b 8 抛物线的解析式为 2 121 yxx3 28 综上所述 抛物线的解析式为或 2 312 yxx3 55 2 121 yxx3 28 考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 二次函数的性质 矩形的性质 锐角三角函 数定义 勾股定理 解二元一次方程组 分析 1 将点 A 的坐标代入即可求得 c 的值 2 yaxbxc 2 分抛物线与矩形的两个交点 D E 分别在 AB OC 边上和抛物线与矩形的两个交点 D E 分 别在 AB BC 边两种情况应用二次函数性质分别求解 3 分抛物线与矩形的两个交点 D E 分别在 AB OC 边上和抛物线与矩形的两个交点 D E 分 别在 AB BC 边两种情况应用待定系数法分别求解 5 2012 福建南平 12 分 在平面直角坐标系中 矩形 OABC 如图所示放置 点 A 在 x 轴上 点 B 的坐标 为 m 1 m 0 将此矩形绕 O 点逆时针旋转 90 得到矩形 OA B C 1 写出点 A A C 的坐标 2 设过点 A A C 的抛物线解析式为 y ax2 bx c 求此抛物线的解析式 a b c 可用含 m 的 式子表示 3 试探究 当 m 的值改变时 点 B 关于点 O 的对称点 D 是否可能落在 2 中的抛物线上 若能 求 出此时 m 的值 答案 解 1 四边形 ABCD 是矩形 点 B 的坐标为 m 1 m 0 A m 0 C 0 1 矩形 OA B C 由矩形 OABC 旋转 90 而成 A 0 m C 1 0 2 设过点 A A C 的抛物线解析式为 y ax2 bx c 用心 爱心 专心21 A m 0 A 0 m C 1 0 解得 2 ambmc0 cm abc0 a1 bm1 cm 此抛物线的解析式为 y x2 m 1 x m 3 点 B 与点 D 关于原点对称 B m 1 点 D 的坐标为 m 1 假设点 D m 1 在 2 中的抛物线上 0 m 2 m 1 m m 1 即 2m2 2m 1 0 2 2 4 2 2 4 0 此方程无解 点 D 不在 2 中的抛物线上 考点 二次函数综合题 矩形的性质 旋转的性质 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 解 方程组 关于原点对称的点的坐标特征 一元二次方程根与系数的关系 分析 1 先根据四边形 ABCD 是矩形 点 B 的坐标为 m 1 m 0 求出点 A C 的坐标 再根据 图形旋转的性质求出 A C 的坐标即可 2 设过点 A A C 的抛物线解析式为 y ax2 bx c 把 A A C 三点的坐标代入即可 得出 abc 的值 进而得出其抛物线的解析式 3 根据关于原点对称的点的坐标特点用 m 表示出 D 点坐标 把 D 点坐标代入抛物线的解析式 看是否符合即可 6 2012 福建南平 14 分 如图 在 ABC 中 点 D E 分别在边 BC AC 上 连接 AD DE 且 1 B C 1 由题设条件 请写出三个正确结论 要求不再添加其他字母和辅助线 找结论过程中添加的字母 和辅助线不能出现在结论中 不必证明 答 结论一 结论二 结论三 2 若 B 45 BC 2 当点 D 在 BC 上运动时 点 D 不与 B C 重合 求 CE 的最大值 若 ADE 是等腰三角形 求此时 BD 的长 注意 在第 2 的求解过程中 若有运用 1 中得出的结论 须加以证明 用心 爱心 专心22 答案 解 1 AB AC AED ADC ADE ACD 2 B C B 45 ACB 为等腰直角三角形 22 ACBC22 22 1 C DAE CAD ADE ACD AD AC AE AD 22 ADAD AE AC 2 2 2 AD 2 当 AD 最小时 AE 最小 此时 AD BC AD BC 1 1 2 AE 的最小值为 CE 的最大值 2 22 1 22 22 2 22 当 AD AE 时 1 AED 45 DAE 90 点 D 与 B 重合 不合题意舍去 当 EA ED 时 如图 1 EAD 1 45 AD 平分 BAC AD 垂直平分 BC BD 1 当 DA DE 时 如图 2 ADE ACD DA AC DE DC DC CA BD BC DC 2 22 综上所述 当 ADE 是等腰三角形时 BD 的长的长为 1 或 2 2 考点 相似三角形的判定和性质 勾股定理 等腰 直角 三角形的判定和性质 分析 1 由 B C 根据等腰三角形的性质可得 AB AC 由 1 C AED EDC C 得到 AED ADC 又由 DAE CAD 根据相似三角形的判定可得到 ADE ACD 2 由 B C B 45 可得 ACB 为等腰直角三角形 则 由 22 ACBC22 22 1 C DAE CAD 根据相似三角形的判定可得 ADE ACD 则有 AD AC AE AD 即 当 AD BC AD 最小 此时 AE 最小 从而由 CE AC AE 得到 CE 的最大值 22 ADAD AE AC 2 2 2 AD 2 用心 爱心 专心23 分当 AD AE EA ED DA DE 三种情况讨论即可 7 2012 福建宁德 10 分 如图 AB 是 O 的直径 过 O 上的点 C 作它的切线交 AB 的延长线于点 D D 30 1 求 A 的度数 2 过点 C 作 CF AB 于点 E 交 O 于点 F CF 4 求弧 BC 的长度 结果保留 3 答案 解 1 连接 OC CD 切 O 于点 C OCD 90 D 30 COD 60 OA OC A ACO 30 2 CF 直径 AB CF 4 CE 2 33 在 Rt OCE 中 CE2 3 OC 4 sinCOD3 2 弧 BC 的长度为 6044 1803 考点 切线的性质 直角三角形两锐角的关系 圆周角定理 垂径定理 锐角三角函数定义 特殊角 的三角函数值 弧长的计算 分析 1 连接 OC 则 OCD 是直角三角形 可求出 COD 的度数 由于 A 与 COD 是同弧所对的圆 周角与圆心角 根据圆周角定理即可求得 A 的度数 2 解 Rt OCE 求出即可求出弧 BC 的长度 8 2012 福建宁德 13 分 如图 矩形 OBCD 的边 OD OB 分别在 x 轴正半轴和 y 轴负半轴上 且 OD 10 OB 8 将矩形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转 使点 C 恰好与 x 轴上的点A 重合 1 直接写出点 A B 的坐标 A B 2 若抛物线y x2 bx c 经过点 A B 则这条抛物线的解析式是 1 3 3 若点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点 作 MN x 轴于点 N 问是否存在点 M 使 AMN 用心 爱心 专心24 与 ACD 相似 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 说明理由 4 当 x 7 在抛物线上存在点 P 使 ABP 的面积最大 求 ABP 面积的最大值 7 2 答案 解 1 6 0 0 8 2 2 110 yx x8 33 到 3 存在 设 M 2 110 mm m8 33 到 则 N m 0 MN NA 6 m 2 110 m m8 33 又 DA 4 CD 8 若点 M 在点 N 上方 则 AMN ACD MNNA CDDA 即 解得 m 6 或 m 10 2 110 m m8 6m 33 84 2 m16m 60 0 与点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点不符 此时不存在点 M 使 AMN 与 ACD 相似 若点 M 在点 N 下方 则 AMN ACD MNNA CDDA 即 解得 m 2 或 m 6 2 110 mm 8 6m 33 84 2 m4m12 0 与点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点不符 用心 爱心 专心25 此时不存在点 M 使 AMN 与 ACD 相似 若点 M 在点 N 上方 则 AMN ACD MNNA DACD 即 方程无解 2 110 m m8 6m 33 48 2 2m23m 66 0 此时不存在点 M 使 AMN 与 ACD 相似 若点 M 在点 N 下方 则 AMN ACD MNNA DACD 即 解得 m 或 m 6 2 110 mm 8 6m 33 48 2 2m17m 30 0 5 2 当 m 时符合条件 5 2 此时存在点 M 使 AMN 与 ACD 相似 5 2 7 4 综上所述 存在点 M 使 AMN 与 ACD 相似 5 2 7 4 4 设 P p 2 110 p p8 33 在中 令 y 0 得 x 4 或 x 6 2 110 yx x8 33 到 x 7 分为 x 4 4 x 6 和 6 x 7 三个区间讨论 7 2 7 2 如图 当 x 4 时 过点 P 作 PH x 轴于点 H 7 2 则 OH p HA 6 p PH 2 110 pp 8 33 ABPOABAPHOBPH SSSS 到到 22 2 2 111101110 6 8pp 8 8p6ppp 8 2233233 p 6p p3 9 当 x 4 时 随 p 的增加而减小 7 2 ABP S 当 x 时 取得最大值 最大值为 7 2 ABP S 35 4 如图 当 4 x 6 时 过点 P 作 PH BC 于点 H 过点 A 作 AG BC 于点 G 用心 爱心 专心26 则 BH p HG 6 p PH 22 110110 p p8 8 p p 3333 ABPBPHABGPHGA SS SS 到到 22 2 2 111011101 p pp p p 86p6 8 2332332 p 6p p3 9 当 4 x 6 时 随 p 的增加而减小 ABP S 当 x 4 时 取得最大值 最大值为 8 ABP S 如图 当 6 x 7 时 过点 P 作 PH x 轴于点 H 则 OH p HA p 6 PH 2 110 pp 8 33 ABPOABAPHOBPH SSSS 梯形 22 2 2 111011110 pp 8 8p6 8p6pp 8 2332233 p6p p39 当 6 x 7 时 随 p 的增加而增加 ABP S 当 x 7 时 取得最大值 最大值为 7 ABP S 综上所述 当 x 时 取得最大值 最大值为 7 2 ABP S 35 4 考点 二次函数综合题 矩形的性质 旋转的性质 勾股定理 曲线上点的坐标与方程的关系 相似 三角形的判定 二次函数的性质 分析 1 由 OD 10 OB 8 矩形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转 使点 C 恰好与 x 轴上的点A 重合 可 得 OA2 AB2 OB2 102 82 36 OA 6 A 6 0 B 0 8 2 抛物线y x2 bx c 经过点 A B 1 3 解得 12 6b c 0 c 8 10 b 3 c 8 这条抛物线的解析式是 2 110 yx x8 33 到 3 分 若点 M 在点 N 上方 若点 M 在点 N 下方 若点 M 在点 MNNA CDDA MNNA CDDA 用心 爱心 专心27 N 上方 若点 M 在点 N 下方 四种情况讨论即可 MNNA DACD MNNA DACD 4 根据二次函数的性质 分 x 4 4 x 6 和 6 x 7 三个区间分别求出最大值 比较即 7 2 可 9 2012 福建龙岩 13 分 矩形 ABCD 中 AD 5 AB 3 将矩形 ABCD 沿某直线折叠 使点 A 的对 应点 A 落在线段 BC 上 再打开得到折痕 EF 1 当 A 与 B 重合时 如图 1 EF 当折痕 EF 过点 D 时 如图 2 求线段 EF 的长 2 观察图 3 和图 4 设 BA x 当 x 的取值范围是 时 四边形 AEA F 是菱形 在 的 条件下 利用图 4 证明四边形 AEA F 是菱形 答案 解 1 5 由折叠 轴对称 性质知 A D AD 5 A EA D 900 在 Rt A DC 中 DC AB 2 22 A C534 A B BC A C 5 4 1 EA B BEA EA B FA C 900 BEA FA C 又 B C 900 Rt EBA Rt A CF 即 A EA B A FFC A E1 53 5 A E 3 在 Rt A EF 中 22 255 10 EFA EA D25 93 2 3x5 证明 由折叠 轴对称 性质知 AEF FEA AE A E AF A F 又 AD BC AFE FEA AEF AFE AE AF AE A E AF A F 四边形 AEA F 是菱形 用心 爱心 专心28 考点 折叠的性质 矩形的性质 勾股定理 相似三角形的判定和性质 平行的性质 等腰三角形的 性质 菱形的判定 分析 1 根据折叠和矩形的性质 当 A 与 B 重合时 如图 1 EF AD 5 根据折叠和矩形的性质 以及勾股定理求出 A B A F 和 FC 的长 由 Rt EBA Rt A CF 求得 在 Rt A EF 中 由勾股定理求得 EF 的长 5 A E 3 2 由图 3 和图 4 可得 当时 四边形 AEA F 是菱形 3x5 由折叠和矩形的性质 可得 AE A E AF A F 由平行和等腰三角形的性质可得 AE AF 从而 AE A E AF A F 根据菱形的判定得四边形 AEA F 是菱形 10 2012 福建龙岩 14 分 在平面直角坐标系 xoy 中 一块含 60 角的三角板作如图摆放 斜边 AB 在 x 轴上 直角顶点 C 在 y 轴正半轴上 已知点 A 1 0 1 请直接写出点 B C 的坐标 B C 并求经过 A B C 三点的抛物 线解析式 2 现有与上述三角板完全一样的三角板 DEF 其中 EDF 90 DEF 60 把顶点 E 放在线段 AB 上 点 E 是不与 A B 两点重合的动点 并使 ED 所在直线经过点 C 此时 EF 所在直线与 1 中的抛物线交于第一象限的点 M 设 AE x 当 x 为何值时 OCE OBC 在 的条件下探究 抛物线的对称轴上是否存在点 P 使 PEM 是等腰三角形 若存在 请求 点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 答案 解 1 B 3 0 C 0 3 A 1 0 B 3 0 用心 爱心 专心29 可设过 A B C 三点的抛物线为 y a x 1x3a0 又 C 0 在抛物线上 解得 3 3 a 0 1 03 3 a 3 经过 A B C 三点的抛物线解析式 即 3 y x 1x3 3 2 32 3 y x x 3 33 2 当 OCE OBC 时 则 OCOE OBOC OC OE AE AO x 1 OB 3 x 2 3 3x1 33 当 x 2 时 OCE OBC 存在点 P 由 可知 x 2 OE 1 E 1 0 此时 CAE 为等边三角形 AEC A 60 又 CEM 60 MEB 60 点 C 与点 M 关于抛物线的对称轴对称 2 3 b 3 x 1 2a 3 2 3 C 0 M 2 33 过 M 作 MN x 轴于点 N 2 0 MN EN 1 3 2 222 EMENMN1 32 若 PEM 为等腰三角形 则 当 EP EM 时 EM 2 且点 P 在直线 x 1 上 P 1 2 或 P 1 2 当 EM PM 时 点 M 在 EP 的垂直平分线上 P 1 2 3 当 PE PM 时 点 P 是线段 EM 的垂直平分线与直线 x 1 的交点 P 1 2 3 3 综上所述 存在 P 点坐标为 1 2 或 1 2 或 1 2 或 1 时 3 2 3 3 EPM 为等腰三角形 用心 爱心 专心30 考点 二次函数综合题 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 待定系数法 曲线上点的坐标与 方程的关系 二次函数的性质 相似三角形的性质 等边三角形的判定和性质 勾股定理 等腰三角形 的判定 分析 1 由已知 根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出 OC 和 AB 的长 从而求得点 B C 的坐标 设定交点式 用待定系数法 求得抛物线解析式 2 根据相似三角形的性质 对应边成比例列式求解 求得 EM 的长 分 EP EM EM PM 和 PE PM 三种情况求解即可 11 2012 福建漳州 12 分 已知抛物线 y x2 1 如图所示 4 1 1 填空 抛物线的顶点坐标是 对称轴是 2 已知 y 轴上一点 A 0 2 点 P 在抛物线上 过点 P 作 PB x 轴 垂足为 B 若 PAB 是等边三角 形 求点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 点 M 在直线 AP 上 在平面内是否存在点 N 使四边形 OAMN 为菱形 若存在 直接写出所有满足条件的点 N 的坐标 若不存在 请说明理由 答案 解 1 顶点坐标是 0 1 对称轴是 y 轴 或 x 0 2 PAB 是等边三角形 ABO 90 60 30 AB 2OA 4 PB 4 把 y 4 代入 y x2 1 得 x 1 4 2 3 点 P 的坐标为 4 或 4 2 32 3 3 存在 所有满足条件的点 N 的坐标为 1 1 1 1 3333 考点 二次函数综合题 二次函数的性质 等边三角形的性质 菱形的判定 分析 1 根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可 用心 爱心 专心31 2 根据等边三角形的性质求得 PB 4 将 PB 4 代入函数的解析式后求得 x 的值即可作为 P 点 的横坐标 代入解析式即可求得 P 点的纵坐标 3 首先求得直线 AP 的解析式 然后设出点 M 的坐标 利用勾股定理表示出有关 AP 的长即 可得到有关 M 点的横坐标的方程 求得 M 的横坐标后即可求得其纵坐标 设存在点 M 使得 OAMN 是菱形 OAP 900 OA 不可能为菱形的对角线 只能为菱形的边 若点 P 的坐标为 4 点 A 的坐标为 0 2 2 3 设线段 AP 所在直线的解析式为 y kx b 则 解得 2 3 kb4 b2 3 k 3 b2 AP 所在直线的解析式为 y x 2 3 3 点 M 在直线 AP 上 设点 M 的坐标为 m m 2 3 3 如图 作 MH y 轴于点 H 则 MH m AN OH OA m 2 2 m 3 3 3 3 OA 为菱形的边 AM AO 2 在 Rt AMH 中 AH2 MH2 AM2 即 m2 m 2 22 3 3 解得 m M 3 或 1 333 当 M 3 时 N 1 当 M 1 时 N 1 3333 若点 P 的坐标为 4 同理可得 N 的坐标为 1 或 1 2 333 综上所述 存在点 N 1 1 1 1 使得3333 四边形 OAMN 是菱形 12 2012 福建漳州 14 分 如图 在OABC 中 点 A 在 x 轴上 AOC 60o OC 4cm OA 8cm 动A 点 P 从点 O 出发 以 1cm s 的速度沿线段 OA AB 运动 动点 Q 同时从点 O 出发 以 acm s 的速度沿线段 OC CB 运动 其中一点先到达终点 B 时 另一点也随之停止运动 设运动时间为 t 秒 1 填空 点 C 的坐标是 对角线 OB 的长度是 cm 2 当 a 1 时 设 OPQ 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 并直接写出当 t 为何值时 S 的值最大 用心 爱心 专心32 3 当点 P 在 OA 边上 点 Q 在 CB 边上时 线段 PQ 与对角线 OB 交于点 M 若以 O M P 为顶点的三角 形与 OAB 相似 求 a 与 t 的函数关系式 并直接写出 t 的取值范围 答案 解 1 C 2 2 OB 4cm 37 2 当 0 t 4 时 过点 Q 作 QD x 轴于点 D 如图 1 则 QD t 3 2 S OP QD t2 1 2 3 4 当 4 t 8 时 作 QE x 轴于点 E 如图 2 则 QE 2 3 S DP QE t 1 2 3 当 8 t 12 时 延长 QP 交 x 轴于点 F 过点 P 作 PH AF 于点 H 如图 3 易证 PBQ 与 PAF 均为等边三角形 OF OA AP t AP t 8 PH t 8 3 2 t 2 t t OQFOPF SSS 1 2 3 1 2 3 2 8 t2 3t 3 4 3 综上所述 2 2 3 t0t4 4 S3t 4t8 3 t3 3t 8t12 4 中 S 随 t 的增加而增加 用心 爱心 专心33 中 S 随 t 的增加而减小 S 2 2 33 t3 3t t69 3 44 当 t 8 时 S 最大 3 当 OPM OAB 时 如图 4 则 PQ AB CQ OP at 4 t 即 a 1 t 的取值范围是 0 t 8 4 t 当 OPM OBA 时 如图 5 则 即 OM OPOM OBOA tOM 84 7 2 7 t 7 又 QB OP BQM OPM 即 QBBM OPOM 2 7 4 7 12at 7 t2 7 7 t 整理得 t at 2 即 a 1