三角函数常见错误分析

三角函数常见错误分析三角函数常见错误分析 摘摘 要要 正确对待学生的解题错误 是每个老师义不容辞的责任 因为它是提高学 生素质的绝好途径 同时也从一定程度上反映出教师的教学素养 我从它的特性 生成因素 以及对应策略三方面 并结合实际体例 进行简单的定性分析 本文 就高中三角函数部分的部分易错题目进行分析介绍 希望可以在今后的教学研 究及数学解题应用中有一定的帮助 对学生数学解题中常出现的错误进行分析 不仅对教育教学具有重大意义 更有助于改变学生的思维观念 提高他们的综 合素质 分析中学数学解题中常见的错误也有利于老师检查教学效果 使教学更 有针对性 也是培养学生自我纠错能力的向导 关键词 数学 三角函数 错误分析 Analysis of common mistakes of trigonometric function Abstract Treating students mistakes correctly is every teacher s bounden responsibility It is not only an excellent way to improve the quality of students but also is a way to reflect teachers teaching quality a certain extent I make a simple qualitative analysis from its characteristics formation factor and the corresponding strategy In this paper I analyze the error prone questions of trigonometric function part in the stage of senior high school I hope there is some help for future teaching research and mathematical problem solving applications Analyzing the errors of the students in mathematical problem solving not only for teaching is of great significance but also is beneficial to change students thoughts improve their comprehensive quality in the middle school mathematics problem solving Analysis of common errors is beneficial to check the teaching effect and make the teaching more targeted is also a wizard for the students self correcting ability Key words mathematics trigonometric function error analysis 目录目录 1 1 引言引言 1 2 2 文献综述文献综述 1 2 1 研究现状 1 2 2 研究现状的评价 2 2 3 提出问题 2 3 3 常见错误常见错误 2 3 1 知识性错误 2 3 2 不能正确理解题意 3 3 3 概念 性质混淆不清 3 3 4 忽视公式 定理成立的条件 4 4 4 逻辑性错误逻辑性错误 5 4 1 循环论证 5 4 2 不等价变化 6 4 3 分类不当 6 4 4 没有注意定义域致错 7 5 5 策略性错误策略性错误 8 5 1 缺乏整体观念 9 5 2 不善于从反面思考 9 5 3 凭主观臆断造成错误 10 5 4 策略性错误 11 6 6 解题错误特性解题错误特性 12 6 1 概括性 13 6 2 可鉴性 13 6 3 多样性 13 6 4 隐蔽性 13 7 7 对应策略对应策略 14 7 1 减少机械性的重复训练 注重培养学生既开放有严谨的思维品质 14 7 2 突出重点 抓住实质的教与学 14 8 8 结束语结束语 14 参考文献 16 1 1 1 引言引言 三角学 Trigonometry 创始于公元前约 150 年 早在公元前 300 年 古 代埃及人已有了一定的三角学知识 主要用于测量 例如建筑金字塔 整理尼罗 河泛滥后的耕地 通商航海和观测天象等 公元前 600 年左右古希腊学者泰勒斯 利用相似三角形的原理测出金字塔的高 成为西方三角测量的肇始 我国古代没 有出现角的函数概念 只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题 据 周髀算经 记载 约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度 其方法后来称为 重差术 现代高考中三角学主要研究角的三角函数的基本性 质及实际应用问题 文章从学生学习和解题过程的视觉 探讨了三角函数这部分 内容以不同的呈现方式对学习活动的影响 从学生在三角函数解题方面易错的地 方入手 总结出易错的原因及应注意的问题 尽量降低学生在这方面的出错率 2 2 文献综述文献综述 2 12 1 研究现状研究现状 尽管三角函数这部分内容是高中数学的传统内容 但在新教材中 教学内 容 教材设计特别是教学要求上都发生了较大的变化 认识这一变化 对于我们 领悟课标的理念 控制教学的深度 难度和广度有着至关重要的作用 其变化主 要有一下几点 1 进一步加强了几何直观 三角函数的概念 公式的推导及其性质研究 都紧密结合单位圆 三角函数线 三角函数的图像 2 加强了数学建模的思想 将三角函数作为刻画现实世界的数学模型 先呈现丰富的背景材料 再分析 概括 抽象 最后建立模型来解决问题 3 强调信息技术的应用 新教材倡导借助计算器 计算机求三角函数值 求解测量问题 画三角函数图像 分析参数变化对函数的影响等等 把学生从烦 琐的计算中解脱出来 并利用信息技术探索数学规律 2 4 强调数学知识之间的内在联系以及数学与其它学科的联系 新教材进一 步发挥向量的工具性作用 注重沟通代数 几何 三角的联系 充分体现了数形 结合思想 此外 还突出了三角与向量的物理背景及其在物理中的应用 体现了 学科间的联系 2 22 2 研究现状的评价研究现状的评价 三角函数 不要求引入难度过高 计算过繁 技巧性过强的题目 重点应 放在对知识理解的准确性 熟练性和灵活性上 在三角函数的教学中 应发挥单 位圆和三角函数的作用 单位圆可以帮助学生直观地认识任意角 任意角的三角 函数 理解三角函数的周期性 诱导公式 同角三角函数关系式以及三角函数 的图像和基本性质 三角函数的基本性质包括值域 周期性 奇偶性 单调性 和最值 其中以单调性 最大和最小值最为突出 这些问题都在参考文献 1 17 中 都有所提及 近几年高考降低了对三角变换的考查要求 加强了对三角函数的图 像和性质的考查 因此三角函数的图像和性质是该部分学习的一个重点 三角 的学习应充分利用数形结合的思想方法 即借助于图像 或三角函数线 的直观 性来获取三角函数的性质 同时利用三角函数的性质来描绘函数的图像 揭示 图形的代数本质 2 32 3 提出问题提出问题 三角函数的重要性不言而喻 如何解决学生在三角函数部分出错率高的问 题 将是一个很重要的事情 那么 学生在三角函数方面出现解题错误的原因主 要有哪些 我们在今后的教学活动中应该怎么做才能有效解决学生出错率这一 问题 3 3 常见错误常见错误 3 13 1 知识性错误知识性错误 知识性错误是指学生对相关知识 内容理解不清 运用不当 因此不能正 3 确陈述解题过程而导致的错误 例 1 求函数 的最小正周期 x x y 2 tan1 tan2 错解 假如是x x x y 2 2 tan tan1 tan2 2 T 2 T 的最小正周期 则有成立 x x y 2 tan1 tan2 0 2 0 ff 而实际上 当时 函数无意义 不是函数 2 0 x x x y 2 tan1 tan2 2 T 的最小正周期 x x y 2 tan1 tan2 正解 其定义域为 由图像可知 x x y 2 tan1 tan2 4 kx 2 kx 函数最小正周期应为 x x y 2 tan1 tan2 3 23 2 不能正确理解题意不能正确理解题意 正确理解题意是正确解题的前提 许多题 学生会做 仅仅由于题意理解 中的一字之差 结果就大相庭径 3 33 3 概念 性质混淆不清概念 性质混淆不清 例 2 函数的最小正周期是 tan1 sec tan1 sin4 2 2 xx xx xf A B C D 2 2 4 错解 由 tan1 sec tan1 sin4 2 2 xx xx xf xxx2coscossin4 x4sin 得函数的最小正周期为 故选 C xf 2 分析 以上错解的原因是没有考虑函数的定义域 因为函数的定义域 xf 为 Zkkx 2 4 正解 画出的草图 如图 1 2 4sin Zkkxxxf 由图可知 应选 B T 3 43 4 忽视公式 定理成立的条件忽视公式 定理成立的条件 例 3 在中 求ABC 5 3 sin A 13 5 cos BCcos 错解 5 3 sin AAcos 5 4 Bcos 13 5 Bsin 13 12 或 Ccos cos BA 65 16 65 56 分析 是三角形的内角 当时应深入讨论的实际CBA BABA 变化范围 正解 由 而 或 5 3 sin A 2 2 5 3 2 1 46 A 6 5 4 3 A 又 而 0 B Bcos 13 5 13 5 2 1 3 2 当 时 不合题意 只有 则 4 3 A 6 5 BA 46 A 即正确结论为 5 4 cos A 65 16 例 4 中 求ABC 6cos4sin3 CACB1cos3sin4 AB C 错解 中 由题意得 ABC ACBsinsin BCAcoscos 5 1cos3sin4 6cos4sin3 AB BA 2 1 又得 故 C 或 C 22 2 1 2 1 sin AB 0 30 0 150 错误分析 条件等式与中隐6 cos 4 sin 3 CACB1cos3sin4 AB 含角的取值范围没有注意到 正解 在中 ABC 0sin B 由 得 则 1cos3sin AB 3 sin41 cos B A 3 1 cos A 由 得 则 2 1 3 1 2 1 60cos 60A120C 由题意得 1cos3sin4 6cos4sin3 AB BA 2 1 由 得 故 22 21 2 1 sin AB 30C 4 4 逻辑性错误逻辑性错误 4 14 1 循环论证循环论证 循环论证是指在证明命题时用了命题的真实性作根据 而证明命题AB 时必须依据命题 那么命题就犯了循环论证的错误 这是学生常犯的错BAA 误 例 5 在中 已知 求 ABC 13 5 sin 5 3 cos BACcos 错解 因为 又为三角形的三个 2 cos sin 13 5 5 3 cosBBA CBA 内角 而在内递减 所以 即 为锐角 xycos 0 BA 2 2 BAB 由得 由得 13 5 sin B 13 12 cos B 5 3 cos A 5 4 sin A 于是有 65 16 cos cos BAC 错误分析 此法答案看似正确 但犯了循环论证的错误 也就是先把 6 看成锐角 即把看成锐角 再来证为锐角 缺忽略了 当为钝角B 2 BBB 时 与不在同一单调区间内 就不能用单调性的性质 0 2 B A 正解 因为 所以为锐角 又 0 5 3 cos AA 5 4 sin A 13 5 sin B 所以可能为锐角 也可能为钝角 若为钝角 则为锐角 BBB 由于 所以故 这与ABBsin 5 3 13 5 sin sin AB BA 三角形内角和为相矛盾 故为锐角 所以 B 65 16 cos cos BAC 4 24 2 不等价变化不等价变化 在解题中 由于对作为解题依据的命题进行了不等价变换 常导致解题结 果不正确 要么扩大 要么缩小 这也是学生常犯的错误 例 6 设 求的最值 3 1 sinsin 2 cossin 错解 由 知 sin 3 1 sin 1sin1 3 4 sin 3 2 1sin 1sin 3 2 2 22 1111 sincossin1 sinsin 3212 当 时 有最小值 2 1 sin 12 11 当 时 有最大值 1sin 3 4 错误分析 最大值不对 原因在于未注意函数的有界性 正解 2 2 11124 sincossin sin 21233 当时 有最小值 2 1 sin 12 11 当时 有最大值 2 sin 3 9 4 4 34 3 分类不当分类不当 分类是揭示概念外延的逻辑方法 解答数学题时经常需要分类讨论 分类 7 不当往往导致解题错误 例 7 函数的单调增区间 xy2 3 sin2 错解 令 则 的单调增区间为xt2 3 tysin 2 2 2 kkZk 由得 2 22 32 2 kxk 12 5 12 kxk 单调增区间为 12 5 12 kkZk 分析 当 x 增大时作为整是单调递减的 因此 所求区间是xt2 3 单调减区间 xy2 3 sin2 正解 将原函数变形为 3 2sin2 xy 因为的单调减区间即为待求函数的增区间 而 3 2sin2 xy 故 所以正确为 222 32 kxk 511 1212 kxkkZ 12 11 12 5 kkzk 4 44 4 没有注意定义域致错没有注意定义域致错 例 8 判断函数的奇偶性 xx xx xf cossin1 cossin1 错解 xx xx xf cossin1 cossin1 2 cos 2 sin 2 cos2 2 cos 2 sin 2 sin2 xxx xxx 2 tan x 8 2 tan 2 tan xf xx xf 所以函数是奇函数 xx xx xf cossin1 cossin1 错误分析 判断函数的奇偶性时 首先要看定义域是否关于原点对称 若 不对称 则此函数为非奇非偶函数 错解中没有注意定义域 正解 当时 2 x2cossin1 xx 当时 函数无意义 2 x0cossin1 xx xx xx xf cossin1 cossin1 的定义域不关于原点对称 故函数为非奇非偶 xf xx xx xf cossin1 cossin1 函数 例 9 求函数的递增区间 sin cos 1cos xx f x sinxx 错解 设 则 于是xxtcossin 2 1 cossin 2 t xx 由 2 1 4 sin 2 2 2 1cossin 2 1 1 2 1 2 x xxt t t xf 2 2 42 2 kxk 解得函数的递增区间为 xf 4 2 4 3 2 Zkkk 错误分析 上述解法忽略了函数的定义域 因为题目中分母不能为零 正解 依题意得 设 则 于是xxtcossin 2 1 cossin 2 t xx 2 1 4 sin 2 2 2 1cossin 2 1 1 2 1 2 x xxt t t xf 又 2 2 42 2 kxk0cossin1 xx 1 4 sin 2 x 且 所以函数的递增区间为及 2 2 kx kx2 xf 2 2 4 3 2 kk 4 2 2 2 Zkkk 9 5 5 策略性错误策略性错误 策略性错误就是解题方法上的错误 由于解题中采取不当的方法 使问题未 能得到解决 或解决出错 这也是学生常遇到的 5 15 1 缺乏整体观念缺乏整体观念 探讨解题策略必须明确目的 也就是如何实现题目的整体要求 例 10 求函数的单调递增区间 3 2sin xy 错解 由 得 的递增区 23 2 2 x 12 5 12 x 3 2sin xy 间为 12 5 2 12 2 Zkkk 错误分析 先求出函数的一个单调递增区间 然 3 2sin xy 12 5 12 后再加上 就认为这是所求的所有单调递增区间 其实不对 因为该函数的 k2 周期是 正解 依题意 函数的周期为 又因为 所以 23 2 2 x 12 5 12 x 故的递增区间为 3 2sin xy 12 5 12 Zkkk 5 25 2 不善于从反面思考不善于从反面思考 一些数学题从正面思考不易 甚至是无法解决 从反向思考便得到合理的 解题方法 例 11 函数的最小值是 3 求的值 2 1 sin22cos 2 1 2 aaxaxya 错解 将原函数变形为 令 则aaxaxy 22 sin2sintx sin 当时 aaty 2 at 3 min aay 分析 三角函数中通过换元便隐去了三角函数的特性 三角函数的定义域 和值域的有界性常常被忽略 例子中 即 当时 1sin1 x11 t3 a 10 即显然不符合题意 事实上 换元后 问题转化为二次函数3 t3sin x 在闭区间上的最小值问题 aattfy 2 1 1 正解 1 当时 由 得 1 a3 1 min fy 2 173 a 2 当时 由 得不符合题意 舍去 11 a3 min afy3 a 3 当时 由 得 1 a3 1 min fy2 a 综合 1 2 3 得 或 2 173 a2 a 5 35 3 凭主观臆断造成错误凭主观臆断造成错误 审题使看似简单 进而不加推理计算就凭主观臆断推测结论 这种错误的 造成 其主要原因还是对问题的实质没有一个正确的理解 所以没有一个较好 的解决方法 于是就从题意所表现出来的可能性凭空推断 主要表现在一下两个 方面 1 心理性的错误 数学习题的解答 除了依靠学生的只是技能外 还和本 身的心理能力和智力分不开 即使只是技能掌握的不错 也可能因为心理障碍 而产生错误 甚至是一筹莫展 2 能力的缺乏 这里我们说的心理能力包括识别能力 记忆能力 信息加 工能力 想象能力 对于感知能力较差的学生会产生消极影响 而人的记忆就像 一个能改变容量的库 随着年龄而发生变化 我们发现当一道习题的数据较多 的时候 学生往往表现得 顾此失彼 3 没有正确的心理姿态 一方面和谐漂亮的量的关系 学生容易接近 反之 学生会产生心理抗拒 4 还停留在就知识结构中 大家知道 随着每天的学习 旧的知识结构 应不断打破 但由于思维的惰性必然出现不同程度的停留 也会导致错误 5 缺乏 整体观念 例 12 已知函数的一段图像如图 2 所示 则 0 sin AxAy 函数的解析式为 11 图 2 4 2sin 2 xA 4 3 2sin 2 4 2sin 2 xxB或 4 3 2sin 2 xC 4 3 2sin 2 xD 错解 由图像知 当时 2 A2 4884 T T 8 x 即 或 选 B 0 y0 4 sin 2 4 4 3 错误分析 对于函数 取时 得 所以经过 4 2sin 2 xy0 x2 y 显然该答案不正确 函数图像中的特点为最高点和最低点 具有唯一 2 0 性 而零点没有这样的性质 为防止这类错误的发生只须在确定值时避免取零 点 而取特征点 当时 故选 C 8 x2 2 8 sin 2 4 3 1 4 sin 5 45 4 策略性错误策略性错误 策略性错误是指解题思路阻塞或一种策略产生错误导向 或指一种策略明 显增加了过程的难度和复杂性 由于时间的限制 问题最终得不到解决 主要有 第一是方法不当 第二是不能正确转化问题或运用模式 例 13 已知 且 求的 2 0 27 1 cos 14 35 sin B 值 错解 由 得 由 2 0 2 0 12 得 14 35 sin 7 1 cos 4 11 cos 7 34 sin 故或 2 3 sincoscossin sin 3 3 2 错误分析 本题的错因在于忽视了对角的范围的考查 在本题中 和 的值都是唯一的 所以只能有一个值 用的正弦值无法区分出它 是锐角还是钝角 因此可改求 这样就避免了对 及的范 cos 围的进一步分析 正解 1 由 得 由 2 2 0 0 得 14 35 sin 7 1 cos 14 11 cos 7 34 sin 故 2 1 sinsincoscos cos 3 正解 2 由 2 2 0 2 1 14 35 sin 2 1 7 1 cos 则 由 得 6 5 2 23 2 0 14 35 sin 7 1 cos 故 14 11 cos 7 34 sin 2 3 sincoscossin sin 3 6 6 解题错误特性解题错误特性 一般而言解题错误就是教学活动中的一种表现 它既受到教学环境与习题 本身的制约 又和不同水平的学生有关 它有自己的特性 这些特性是由数学的 特点以及数学活动中的方法所决定的 13 6 16 1 概括性概括性 大量的数学习题客观世界的数量关系和理想化了的空间形式 具有概括性 这使其中的错误包括了从要领到通法到知识的迁移 比如立体几何中的垂直性 分为线线垂直 线面垂直 面面垂直延伸到所成的角等 学生往往在要领的概括 上 通法的归纳上 知识的迁移应用上 都会表现出一些错误 6 26 2 可鉴性可鉴性 承认学生解题错误的存在是符合实际的 所谓 吃一堑长一智 所以适当 的错误会给人 顿悟 从而使学习能健康的得以继续 主要有以下几点 1 它可以有效地检查教师教学方案的执行情况 可以让教师及时调整并 重新控制目标 让教学更有针对性 2 它是学生提高自我纠正能力的向导 当学生从解题错误中意识到自己 的知识和思维缺陷时 学生会自觉地实行控制 灵活运用各种方法技能进行重 操作 3 它也是教学研究者的主要数据来源 据 90 年的一份高考调查 浙江 考生在立体几何上的错误率高达 28 经过教学上的调整 这一薄弱环节近几 年得到不少改变 6 36 3 多样性多样性 由于数学解题错误其终端表现往往反映在知识上 因此不少人都把他们看 成是知识性的 用知识去囊括一切 我们认为学生的认知结构可分为知识结构 认知结构 除了知识性错误 还有逻辑性错误 心理性错误 策略性错误 6 46 4 隐蔽性隐蔽性 数学习题除了形式化的 外表语言 文字 图像 符号 还包含着一 些本质的东西 思维 即使有了正确的方法 有时还会犯一些思维上的错误 这常让学生有时会 自以为是 14 7 7 对应策略对应策略 7 17 1 减少机械性的重复训练 注重培养学生既开放有严谨的思维品减少机械性的重复训练 注重培养学生既开放有严谨的思维品 质质 对知识的掌握程度的检测 唯一的途径是训练 针对 讲得多练得少 的 现象 我们应反其道而行之 要讲精练多 通过练习暴露学生的各种错误 方 便在纠正中衍生一些知识点 减少负担 又能激发他们的求知欲 7 27 2 突出重点 抓住实质的教与学突出重点 抓住实质的教与学 有些学生在解题 只停留在形式的肤浅认识 而不推究实质和条件 搬用 旧有的解题模式 我们认为课堂中的教学应体现两个字 精 祥 精出重点 祥 在实质 一节课下来 让学生明白这节课的学习目标是什么 久而远之 他们解 题是才能做到 胸有成竹 8 8 结束语结束语 通过对三角函数浅显的研究 发现现代的高考在三角函数这一方面 注意 了知识的连贯性 整体性 统一性 层次性 符合学生的认识特点 对公式的记 忆要求降低 但对推导能力和应用公式的要求却有所提高 不再过多的强调死 记硬背 而是注重学生思维能力 解决问题能力以及创新意识的培养 对三角函 数图像的要求从了解提升为理解 只是出于对近年考试现状的一种认可的再表 述 并无再度提高要求之意 考生在复习中 应做到能熟练地画出三角函数图 像 解决诸如对称中心 对称轴 周期 单调区间 最大值最小值 极值 等问 题 在解答题中 要注意先利用三角恒等式进行化简 再研究函数的图像和性 质的题型 三角函数在传统内容中主要有三个方面的要求 三角恒等变形 三角 函数的性质 三角函数的工具作用 由于删去了众多的