贵州省铜仁市第一中学2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 文（含解析）

1 铜仁一中铜仁一中 2019 20202019 2020 学年高三年级第二次模拟考试学年高三年级第二次模拟考试 数学试卷 文科 数学试卷 文科 注意事项 注意事项 1 1 本试卷分第 本试卷分第 i i 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 iiii 卷 非选择题 两个部分 共卷 非选择题 两个部分 共 150150 分 考试时间分 考试时间 120120 分钟 分钟 2 2 请将答案正确填写在答题卡上 否则无效 请将答案正确填写在答题卡上 否则无效 第第 i i 卷 选择题卷 选择题 共共 6060 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 设集合 集合 则 24axnx 2 20bx xx ab a b c d 24xx 2 1 0 1 2 3 21xx 0 1 答案 d 解析 2 240 1 2 3 2021axnxbx xxxx 0 1ab 选 d 2 复数在复平面上对应的点位于 1 z i i a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 答案 a 解析 分析 先进行复数的除法运算 分子和分母同乘以分母的共轭复数 分母变成一个实数 分子进行 复数的乘法运算 整理成复数的标准形式 写出对应点的坐标 看出所在的象限 详解 复数 复数对应的点的坐标是 1 i i 11 112 iii ii 1 1 2 2 2 复数在复平面内对应的点位于第一象限 故选 a 1 i i 考点 复数的实部和虚部 点评 本题考查复数的实部和虚部的符号 是一个概念题 在解题时用到复数的加减乘除运 算 是一个比较好的选择或填空题 可能出现在高考题的前几个题目中 3 设 则 0 5 34 2 log c log 2ab a b c d bac bca abc acb 答案 a 解析 0 5 34 2 log c log 2ab b a c 0 5 34 111 1 212 222 loglog 故选 a 4 设函数 若 则实数 a 2 0 0 x x f x xx 4f a a 4 或 2b 2 或 4c 4 或 2d 2 或 2 答案 c 解析 分析 由分段函数解析式可得或 进而求解即可 0 4 a a 2 0 4 a a 详解 由 2 0 0 x x f x xx 若 则有 或 4f a 0 4 a a 2 0 4 a a 解得或 2 4a 3 故选 c 点睛 本题主要考查了分段函数求值 属于基础题 5 已知 且 则 2 3 sincos 3 cos2 a b c d 5 3 5 3 2 5 3 2 5 3 答案 a 解析 分析 先通过已知求出 再利用平方关系求的值 sin2 cos2 详解 因为 3 sincos 3 所以 12 1 sin2 sin2 33 因为 且 2 3 sincos 3 所以 33 2 42 2 所以 45 cos2 1 93 故选 a 点睛 本题主要考查二倍角公式和同角的平方关系 意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平和分析推理能力 6 已知 均为单位向量 若 则向量与的夹角为 a b 23ab a b a b c d 6 3 2 3 5 6 答案 b 解析 4 分析 根据向量的模定义与向量数量积化简式子 并可求得向量与夹角的余弦值 进而求得 a b 的值 详解 由 23ab 得 2 2 3ab 即 22 443aba b 设单位向量与的夹角为 a b 则有1 44cos3 解得 1 cos 2 又 0 所以 3 故选 b 点睛 本题考查了向量的模和数量积的简单应用 属于基础题 7 在中 角的对边分别是 则的形状为 abc a b c a b c 2 cos 22 abc c abc a 直角三角形b 等腰三角形或直角三角形 c 等腰直角三角形d 正三角形 答案 a 解析 分析 先根据二倍角公式化简 再根据正弦定理化角 最后根据角的关系判断选择 详解 因为 所以 2 cos 22 abc c 1cosa 22 bc c 5 因此 选 a ccosab sinccosasinbsin ac sinacosc0 cosc0c 2 点睛 本题考查二倍角公式以及正弦定理 考查基本分析转化能力 属基础题 8 已知向量 若则的最小值为 1 2 1 3 0 0 manbab mn 21 ab a 12b c 15d 102 3 84 3 答案 d 解析 分析 因为 所以 3a 2b 1 再利用基本不等式求最小值 m n 详解 因为 m n 所以 3a 2b 1 所以 212143 82 1284 3 ba ababab 3a 2b 8 当且仅当时取到最小值 3331 64 ab 点睛 本题主要考查向量平行的坐标表示和利用基本不等式求最值 意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平 属于基础题 9 已知函数f x 是偶函数且满足f x 2 f x 当x 0 2 时 f x x 1 则不等式 xf x 0 在 1 3 上的解集为 a 1 3 b 1 1 c 1 0 1 3 d 2 1 0 1 答案 c 解析 若 则 此时 是偶函数 2 0 x 0 2x 1fxx f x 即 1fxxf x 1f xx 2 0 x 2f xf x 6 函数是周期为 4 的函数 若 则 2 4 f xf xf x f x 2 4x 42 0 x 4 4 13f xf xxx 1 20 1 02 3 24 xx f xxx xx 作出函数在上的图象 如图所示 f x 2 4 若 则不等式等价于 此时 若 则不 03x 0 xf x 0f x 13x 10 x 等式等价于 此时 若 显然不等式的解集 0 xf x 0f x 10 x 0 x 0 xf x 为 综上 不等式在上的解集为 故选 c 0 xf x 1 3 1 0 1 3 点睛 考查偶函数的定义 应想着求函数的解析式是求解本题的关键 首先通过奇偶 f x 性得到函数在上的解析式 再通过周期性得到函数在上的解析式 将原抽象不 2 0 1 3 等式进行等价转化为具体不等式即可 10 已知函数 且 若 1 sin0 62 f xxxr 11 22 ff 的最小值为 则的图象 4 f x a 关于点对称b 关于点对称 1 2 51 12 2 c 关于直线对称d 关于直线对称 12 x x 答案 b 解析 分析 7 由得取到最小值 为对称中心的横坐标得的值 再 11 22 ff x x 结合三角函数性质逐项判断即可 详解 由题得取到最小值 为对称中心的横坐标 又 11 22 f af x x 的最小值为 故 即 4 2 44 t 1 sin 20 62 f xxxr 令 得 故点是函数对称中心 故 b 正确 a 错 2 6 xk 212 k xkz 51 12 2 令 得 为函数对称轴 c d 均不合题意 2 62 xk 26 k xkz 故选 b 点睛 本题考查三角函数的图象与性质 考查了推理能力与计算能力 准确求得的值是 关键 属于中档题 11 已知 又函数 121 0 1 n n afffffnn nnn 是上的奇函数 则数列的通项公式为 1 1 2 f xf x r n a a b c d n an 2 n an 1 n an 2 23 n ann 答案 c 解析 在上为奇函数 故代入得 1 1 2 f xfx r fxf x 当时 令 则 11 2 22 fxfxxr 0 x 1 1 2 f 1 2 tx 上式即为 当偶数时 1 1 2 xt 12f tft n 8 121 0 1 n n afffffnn nnn 11 11 111 22 01 222 nn n fffffff nn 当奇数时 211 2 n n n 121 0 1 n n afffffnn nnn 11 11 22 01 nn n ffffff nnnn 1 21 2 n n 综上所述 故选 c 1 n an 12 函数的定义域为的奇函数 当时 恒成立 若 f x r 0 x 0f xxfx 则 3 3 af 1 bf 2 2 cf a b acb bac c d cab bca 答案 d 解析 分析 先构造函数g x xf x 依题意得g x 是偶函数 且 0 恒成立 结合偶函数 g x 的对称性得出g x 在 0 上递减 即可比较a b c的大小 详解 设g x xf x 依题意得g x 是偶函数 当x 0 时 0 f xxfx 即 0 恒成立 故g x 在x 0 单调递增 g x 则g x 在 0 上递减 又a 3f 3 g 3 b f 1 g 1 g 1 c 2f 2 g 2 9 故a c b 故选 d 点睛 本题主要考查函数单调性的应用 函数奇偶性的应用 利用导数研究函数的单调性 等基础知识 考查运算求解能力 考查化归与转化思想 属于中档题 第第 iiii 卷 非选择题卷 非选择题 共共 9090 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 已知与的夹角为求 3 2 aba b 60 ab 答案 7 解析 分析 由题意可得 结合向量的运算法则和向量模的计算公式可得的值 3a b ab 详解 由题意可得 3 2 cos603a b 则 2 22 292 347ababaa bb 点睛 本题主要考查向量模的求解 向量的运算法则等知识 意在考查学生的转化能 力和计算求解能力 14 定义运算 若 则 ab adbc cd 1 cos 7 sinsin 3 3 coscos14 0 2 答案 3 解析 分析 根据题干定义得到 利用同角三角函数关系得到 3 3 sin 14 13 cos 14 代入式子 4 3 sin 7 10 得到结果 coscoscoscossinsin 详解 根据题干得到 sinsin 3 3 sincossincossin coscos14 coscoscoscossinsin 0 2 0 2 3 313 cos1 1414 代入上式得到结果为 1 cos 7 4 3 sin 7 1 cos 2 3 故答案为 3 点睛 本题主要考查了两角差的正弦公式的应用 以及同角三角函数关系的应用 特殊角 的三角函数值的应用 难度中等 15 法国数学家拉格朗日于 1778 年在其著作 解析函数论 中给出一个定理 如果函数 满足如下条件 yf x 1 在闭区间上是连续不断的 a b 2 在区间上都有导数 a b 则在区间上至少存在一个实数 使得 其中 称为 拉 a b t f bf aftba t 格朗日中值 函数在区间上的 拉格朗日中值 2 g xx 0 1 t 答案 1 2 解析 分析 结合 拉格朗日中值 定义 先求导数 代入定义可得 t 的值 详解 因为 所以 结合 拉格朗日中值 定义可得 2 g xx 2gxx 11 所以 1 0 1 1 0 gg g t 1 2 t 点睛 本题主要考查信息创新题目 对新定义的准确理解是求解关键 侧重考查数学抽象 的核心素养 16 设直线与函数 的图象分别交于 p q 两点 则 pq xm 2 1f xx lng xxx 的最小值为 答案 1 解析 设函数 函数的定义域 2 1yf xg xxxinx 0 求导数得 2 121121 21 xxxx yx xxx 当时 函数在上为单调减函数 01x 0y 01 当时 函数在上为单调增函数 1x 0y 1 所以当时 所设函数的最小值为 1x 1 所以的最小值为 pq 1 点睛 直线是一条垂直于轴的直线 那么只要求两点纵坐标的差即可 联立函 xm x pq 数方程 利用导数求其单调性解出最小值 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 2117 21 题为必考题 题为必考题 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答 第第 22 2322 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一一 必考题 共必考题 共 6060 分 分 17 在中 角的对边分别为 已知 abc abc abc ababc cb 1 求角的大小 a 2 若 求的面积 cos2abcc abc 答案 1 2 3 a 2 3 12 解析 分析 1 由 已知结合余弦定理 特殊角的三角函数值得角 的大小 2 由 1 及正弦定理得 a 进而推得 利用三角形的面积公式即 sinsinsincosabcbc cos0 2 bb 可计算得解 详解 1 由题 222 222 1 cos 22 acb abcbca bc 又 0 3 aa 2 由正弦定理得 sinsinsincoscossin0abcbcbc 故 又 sin0c cos0 2 bb 2 2 3 2 2 32 3 2 cas 点睛 本题主要考查了正余弦定理 三角形的面积公式在解三角形中的应用 考查了计算 能力和转化思想 属于基础题 18 在中 角的对边分别为 且 abc a b c a b c cos2cosbcacb 1 求角的大小 b 2 若不等式的解集是 求的周长 2 610 xx ac abc 答案 1 2 3 63 解析 试题分析 1 由 根据正弦定理可得 cos2cosbcacb 从而 进而 由 sincossincos2sincosbccbab sin2sincosaab 1 cos 2 b 此能求出 2 依题意是方程的两根 从而 由 b a c 2 610 xx 6 1acac 余弦定理得 从而能求出的周长 3b abc 试题解析 1 由得 即 sin cos2sinsincosbcacb 13 得 即 sin cossin cos2sin cosbccbab 得 又 于是 0b 2 依题意a c是方程的两根 由余弦定理得 的 2 3acac abc 周长为 63 19 已知 且 将表示为的函数 若 2cos2 3sin 1 cos mxxnxy mn y x 记此函数为 f x 1 求的单调递增区间 f x 2 将的图象向右平移个单位 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍 f x 6 纵坐标不变 得到函数的图象 求函数在上的最大值与最小值 g x g x 0 x 答案 1 单调递增区间为 2 最大值为 3 最小值为 0 36 kkkz 解析 试题分析 1 根据向量的垂直关系求出 的解析式 结合三角函数的性质求出函数 f x 的递增区间即可 2 求出 的解析式 根据自变量的范围 以及三角函数的性质求出函数的最大值和 g x 最小值即可 试题解析 1 由得 mn 2 2cos2 3sin cos0m nxxxy 所以 2 2cos2 3sin cos1 cos23sin22sin 21 6 yxxxxxx 由得 222 262 kxkkz 36 kxkkz 14 即函数的单调递增区间为 2sin 21 6 yx 36 kkkz 2 由题意知 2sin1 6 g xx 因为 5 0 666 xx 故当时 有最大值为 3 62 x g x 当时 有最小值为 0 66 x g x 故函数在上的最大值为 3 最小值为 0 g x 0 x 20 已知时 函数有极值 1x 3 f xaxbx 2 1 求实数的值 a b 2 若方程恰有 个实数根 求实数的取值范围 f xk 1k 答案 1 2 1 3 2 2 解析 分析 1 求得函数的导数 根据当时 的极值为 列出方程组 2 3fxaxb 1x f x 2 即可求解 2 由 1 可得 求得 得到函数的单 3 3f xxx 2 33311fxxxx 调性和极值 结合图象 即可求解 详解 1 因为 所以 3 f xaxbx 2 3fxaxb 又因为当时 的极值为 所以 1x f x 2 2 30 ab ab 解得 1 3ab 15 2 由 1 可得 则 3 3f xxx 2 33311fxxxx 令 得 x 1 0fx 当或时 单调递增 1x 1x 0fx f x 当时 单调递减 11x 0fx f x 所以当时取得极大值 1x f x 12f 当时取得极小值 1x f x 12f 大致图象如图所示 要使方程恰有 1 个解 只需或 f xk 2k 2k 故实数的取值范围为 k 22 点睛 本题主要考查导数在函数中的综合应用 着重考查了转化与化归思想 逻辑推理能 力与计算能力 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行 1 考查导数的几何意义 求解曲线在某点处的切线方程 2 利用导数求函数的单调区间 判断单调性与 以及函数 单调性 求解参数 3 利用导数求函数的最值 极值 解决函数的恒成立与有解问题 同 时注意数形结合思想的应用 21 已知函数 2 1 2 2 x f xxxex 1 求曲线在点处的切线方程 yf x 0 0 f 2 证明 2 4f xx 答案 1 所求切线方程为 2 22yx 2 4f xx 解析 16 试题分析 1 先求出导函数 根据对数的几何意义可得切线斜率 利用点斜式可 fx 得切线方程 2 要证 只需证 2 4f xx 利用导数研究两函数的单调性 从而求出 22 1224 x g xxxexxh x 两函数的最值即可证明 进而可得结论 maxmin g xh x 试题解析 1 因为 22 212222 xxx fxx xex xex ex 所以 02 f 因为 所以曲线在点处的切线方程为 02f yf x 0 0f 22yx 2 证明 要证 只需证 2 4f xx 22 1224 x xxexx 设 2 22 2413 12 x g xxxxh xxxe 则 2 2 x h xx ex 令得 令得 所以 0h x 2x 0h x 2x 2 min 18 2h xh e 因为 所以 2 718e 2 18 3 e 又 所以 max3g x maxmin g xh x 从而 即 22 1224 x xxexx 2 4f xx 方法点晴 本题主要考查利用导数求曲线切线 利用导数研究函数的单调性进而求最值以 及利用导数证明不等式 属于难题 求曲线切线方程的一般步骤是 1 求出在 yf x 处的导数 即在点出的切线斜率 当曲线在处的 0 xx yf x p 00 xf x yf x p 切线与轴平行时 在 处导数不存在 切线方程为 2 由点斜式求得切线方程 y 0 xx 00 yyfxxx 二 选考题 共 二 选考题 共 1010 分分 请考生在第请考生在第 22 2322 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一 题计分题计分 作答时请写清题号作答时请写清题号 17 22 在平面直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 在以原点 xoy c 3cos 3sin x y 为极点 轴正半轴为极轴的极坐标系中 直线 的极坐标方程为 xl 2 sin 42 1 求曲线的普通方程和直线 的直角坐标方程 cl 2 设点 直线 和曲线交于两点 求的值 1 0p lc a b