海南省洋浦中学2009年高中数学联赛模拟试题10新人教版

用心 爱心 专心 海南省洋浦中学 2009 年高中数学联赛模拟试题 10 一 填空题 本题满分一 填空题 本题满分 5656 分 每小题分 每小题 7 7 分 分 1 已知复数m满足1 1 m m 则 2009 2008 1 m m 2 设2cossin 2 3 cos 2 1 2 xxxxf 4 6 x 则 xf的值域为 3 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若0 0 1615 SS 则 15 15 2 2 1 1 a S a S a S 中最大 的是 4 已知 O 是锐角 ABC 的外心 10 6 ACAB 若ACyABxAO 且 5102 yx 则 BACcos 5 已知正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 1 O 为底面 ABCD 的中心 M N 分别是 棱 A1D1和 CC1的中点 则四面体 1 MNBO 的体积为 6 设 6 5 4 3 2 1 CBA 且 2 1 BA CB 4 3 2 1 则符合条件 的 CBA共有 组 注 CBA 顺序不同视为不同组 7 设xxxxxxycscseccottancossin 则 y的最小值为 8 设 p 是给定的正偶数 集合 3 22 1 N mmxxxA pp p 的所有元素的 和是 二 解答题 本题满分二 解答题 本题满分 6464 分 第分 第 9 9 题题 1414 分 第分 第 1010 题题 1515 分 第分 第 1111 题题 1515 分 第分 第 1212 题题 2020 分 分 9 设数列 0 nan满足2 1 a 2 1 22nmnmnm aanmaa 其中 nmnm N 1 证明 对一切N n 有22 12 nnn aaa 2 证明 1 111 200921 aaa 10 求不定方程21533 654321 xxxxxx的正整数解的组数 11 已知抛物线 C 2 2 1 xy 与直线 l 1 kxy没有公共点 设点 P 为直线 l 上的动 点 过 P 作抛物线 C 的两条切线 A B 为切点 1 证明 直线 AB 恒过定点 Q 用心 爱心 专心 2 若点 P 与 1 中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M N 两点 证明 QN QM PN PM 12 设dcba 为正实数 且4 dcba 证明 2 2222 4ba a d d c c b b a 海南省洋浦中学 2009 年高中数学联赛模拟试题 10 答案 1 0 2 3 2 2 4 3 8 8 S a 4 1 3 5 7 48 6 1600 7 2 21 8 211 22 pp 9 证明 1 在已知关系式 2 1 22nmnmnm aanmaa 中 令nm 可得 0 0 a 令0 n 可得 maa mm 24 2 令2 nm 可得 2 1 2 242222nnn aaaa 由 得 1 24 122 naa nn 624 12 aa 2 24 242 naa nn naa nn 24 2 用心 爱心 专心 代入 化简得22 12 nnn aaa 7 分 2 由22 12 nnn aaa 得2 112 nnnn aaaa 故数列 1nn aa 是首项为2 01 aa 公差为 2 的等差数列 因此22 1 naa nn 于是 n k n k kkn nnkaaaa 11 01 1 0 2 因为 1 1 11 1 11 n nnnnan 所以 1 2010 1 1 2010 1 2009 1 3 1 2 1 2 1 1 111 200921 aaa 14 分 10 解 令xxxx 321 yxx 54 zx 6 则1 2 3 zyx 先考虑不定方程2153 zyx满足1 2 3 zyx的正整数解 1 2 3 zyx 123215 yxz 21 z 5 分 当1 z时 有163 yx 此方程满足2 3 yx的正整数解为 4 4 3 7 2 10 yx 当2 z时 有113 yx 此方程满足2 3 yx的正整数解为 2 5 yx 所以不定方程2153 zyx满足1 2 3 zyx的正整数解为 2 2 5 1 4 4 1 3 7 1 2 10 zyx 10 分 又方程 3 321 xNxxxxx的正整数解的组数为 2 1x C 方程yxx 54 2 xNy的正整数解的组数为 1 1 C y 故由分步计数原理知 原不定方程的正整数解的 组数为 81693036CCCCCCCC 1 1 2 4 1 3 2 3 1 2 2 6 1 1 2 9 15 分 11 证明 1 设 11 A x y 则 2 11 2 1 xy 由 2 2 1 xy 得xy 所以 1 1 xy xx 于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 111 xxxyy 即 11 yxxy 设 1 00 kxxP 则有 1100 1yxxkx 设 22 B xy 同理有 2200 1yxxkx 所以 AB 的方程为yxxkx 00 1 即0 1 0 ykxx 所以直线 AB 恒过定点 1 kQ 7 分 2 PQ 的方程为 0 0 2 1 kx yxk xk 与抛物线方程 2 2 1 xy 联立 消去 y 得 0 2 22 42 0 0 2 0 02 kx kxk x kx kx x 设 33 yxM 44 yxN 则 用心 爱心 专心 kx kxk xx kx kx xx 0 0 2 43 0 0 43 2 22 42 要证 QN QM PN PM 只需证明 kx xk xx xx 4 3 04 03 即 02 2 043043 kxxxxkxx 由 知 式左边 0 0 0 0 0 0 2 2 42 4 22 2 kx kx kx xk kx kxk 0 2 42 4 22 2 0 00000 2 kx kxkxkxxkkxk 故 式成立 从而结论成立 15 分 12 证明 因为4 dcba 要证原不等式成立 等价于证明 dcba ba dcba a d d c c b b a 22222 4 5 分 事实上 2222 dcba a d d c c b b a 2 2 2 2 2222 da a d cd d c bc c b ab b a 222