湖北省武汉市吴家山中学高中数学 1.2函数及其表示同步辅导 新人教A版必修1

1 1 21 2 函数及其表示函数及其表示 学点 探究与梳理学点 探究与梳理 自主探究自主探究 探究问题 函数的概念 函数符号的内涵及函数的三要素是什么 xfy 探究问题 函数有哪三种表示方法 各自的优缺点是什么 如何正确恰当的选择方 法表示函数 探究问题 如何理解分段函数 怎样研究分段函数的性质 重点把握重点把握 根据函数的定义可知函数有三要素 定义域 值域和对应关系 由于函数的值域 被定义域和对应关系确定 因此 只要两个函数的定义域和对应关系分别相同这两个函数 就是相等函数 2 常见求值域的几种类型 用表格形式给出的函数 其值域是表格中实数的值构成的集合 用图象形式给出的函数 其值域是图象在轴上的投影所覆盖的实数的集合 用解析式给出的函数 用相应方法 如观察法 配方法 换元法等 由解析式 定义域去确定 实际问题给出的函数 由实际问题的意义确定 正确认识分段函数 分段函数是一个函数而并非几个函数 只不过在定义域的函 数不同子集内解析式不一样 它的定义域是各段 定义域 的并集 其值域是各段 值域 的并集 研究分段函数性质时 应遵循 先分后合 的原则 函数与映射 在映射中 集合 A 与 B 的地位是不对等的 一般地 我们并不要求 B 中的每一 个元素都与 A 中的唯一元素对应 因此 从集合 A 到集合 B 的映射与从集合 B 到集合 A 的 映射是具有不同要求的 即映射具有方向性 集合 A B 也可以是同一个集合 可以是数集 点集或其他 特别地 当 A B 是非空数集时 映射 f A B 又称为 A 到 B 的函数 即函数是特殊的映射 题例 解析与点拨题例 解析与点拨 2 例例 1 1 求下列函数的定义域 1 2 3 3 5 x x yxxy 11 21 2 20 x xxx y 解析解析 1 要使函数有意义 则 505 303 xx xx 即 从而 函数的定义域为 5 3 3 3 3 2 要使函数有意义 则 101 1 101 xx x xx 即 从而 函数的定义域为 1 3 要使函数有意义 则 2 00 2002 13120 xx xxxx xxx 即或 且 从而 函数的定义域为 1 1 0 2 3 3 点拨点拨 求函数的定义域要注意 1 分母不为零 2 开偶次方被开方数非负 3 零的零次幂无意义等 例例 2 2 下列各组函数 1 2 2 1 xx f xg xx x xx f xg x xx 3 2 11 1f xxx g xx 4 2 3 3f xxg xx 其中 表示相等函数的是 点拨点拨 判断两个函数是否相等 主要看定义域和对应关系 它们都相同 则是相等函 数 否则 就不是相等函数 3 例例 3 3 1 已知的定义域是 求的定义域 f x 1 4 2 f x 2 已知的定义域是 求的定义域 1 f x 2 3 f x 解析解析 1 的定义域是 f x 1 4 使有意义的条件是 2 f x 124x 即 则的定义域为 12x 2 f x 1 2 2 的定义域是 1 f x 2 3 23 114xx 的定义域是 f x 1 4 点拨点拨 此题是已知的定义域 求复合函数定义域的问题 此题的一般 f x f g x 解法是 若的定义域是 则的定义域是使有意义的的集合 f x D f g x g xD x 已知的定义域 求的定义域的方法是 若的定义域是 则 f g x f x f g x D 在上的取值范围 即的定义域 g x D f x 例例 4 4 求下列函数的值域 1 2 1 x y x 2 65yxx 3 1 2yxx 解析解析 1 1 1 11 x y xx 函数的值域是 1 0 1x 1yR y 2 由 2 650 xx 51 5 1x 解得即定义域为 22 5 1065 3 44xxxx 当时 2 0652xx 4 故函数的值域为 0 2 3 由 得函数的定义域为 021 x 2 1 令 则 xt21 0 t 2 1 2 t x 2 2 11 1 2 1 1 0 22 t yxxttt 2 1 1 1 0 2 ytt 结合二次函数的图象知 y1 值域为 1 点拨点拨 一般地 求形如 且 的值域 可把 dcx bax y 0 cbcad 变形为 得值域 此法可称为 分离常数法 dcx bax y dcxc adbc c a y c a yRy 有关一元二次函数的值域问题 一般用配方法 要注意自变量的取值范围 形如的函数 可用换元法 令 0 yaxbcxd a b c dac 均为常数且 将无理函数化为有理函数 但要注意变量的取值范围 tcxd 例例 5 5 作出下列函数的图象 1 2 3 1 yx xZ 1 01 1 x yx x x 213yxx 解析解析 1 这个函数的图象由一些点组成 这些点都在直线上 1yx 2 这个函数的图象由两部分组成 当时 为双曲线的一段 当 01x 1 y x 时 为直线的一段 1x yx 3 0 2 1 32xyxxx 当时 1 2 1 352xyxxx 当0时 5 1 2 1 32xyxxx 当时 2 0 52 01 2 1 xx yxx xx 4 y y 2 1 2 O 1 2 3 x o 1 x 1 y 2 2 O 1 2 x 3 4 点拨点拨 函数的图象不一定是一条或几条无限长平滑的曲线 也可以是一些点 一些线 段 一段曲线等 例例 6 6 求下列函数的解析式 1 已知 求一次函数的解析式 43f f xx f x 2 已知 求 1 2fxxx f x 3 已知函数满足 求 f x 1 2 f xfx x f x 解析解析 1 设 0 f xaxb a 则 f f xf axba axbb 2 43a xabbx 6 2 224 133 aaa bbabb 解得或 23 23f xxf xx 或 2 法一 22 2 21 1 1 1xxxxx 2 2 1 1 1 1 f xxxx 2 1 1 f xxx 法二 11txxt 2 令 t1 则x t 1 即 22 1 2 1 1 1 f ttttt 2 1 1 f xxx 3 1 2 f xfx x 将其中 x 换成得 1 x 11 2 ff x xx 由 得 2 2 3 x f x x 点拨点拨 求函数解析式常用方法 待定系数法 配凑法 或换元法 解方程法等 例例 7 7 如图 已知底角为 45 的等腰梯形 ABCD 底边 BC 长为 7 腰长为 当一条 2 2 垂直于底边 BC 垂足为 F 的直线 从左至右移动 与梯形 ABCD 的边有两个交点 时 直 l 线 把梯形分成两部分 令 BF x 试写出左边部分的面积 y 与 x 之间的函数关系 l 解析解析 过点 A D 分别 作 AG BC DH BC 垂足分别是 G H 因为四边形 ABCD 是等腰梯 形 底角为 45 AB 所以 BG AG DH HC 2 又 BC 7 所以 AD GH 3 2 2 当点 F 在线段 BG 上 即时 0 2 x 2 1 2 yx 当点 F 在线段 GH 上 即时 2 5 x 2 2 222yxx A 7 当点 F 在线段 HC 上 即时 5 7 x 2 1 7 10 2 yx 所以 所求的函数解析式为 2 2 1 0 2 2 22 2 5 1 7 10 5 7 2 xx yxx xx A D l B G H C 点拨点拨 解此题时要注意分类讨论 可画出三个图形分析 分段写出函数解析式 学业水平测试学业水平测试 巩固基础巩固基础 1 下列各组函数表示相等函数的是 0 0 x x A f xg xx x x 与 2 2 21 xx B f xxg x x 222 1 1 C f xxg tt 323 D f xxg xx 2 函数的定义域是 0 1 32 x y x 3 函数的定义域是 则其值域是 2 2yx 1 0 1 2 4 点在映射下的对应元素为 则点在作用下的对应元 yxf yxyx 2 1 f 素是 5 3 11 1 ff x xx 若则 6 已知函数的图象如图所示 f x 则函数的解析式为 f x f x y x 8 能力提升能力提升 7 函数的定义域是 则的定义域是 f x 0 3 21 fx A B C D 1 2 2 0 3 1 4 1 2 2 8 满足条件的所有集合 A 的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 9 2 1 1 2 1 f xg xxf x 则 2 f g 10 若 2 2 2 2 f xaxaf fa 为一个正的常数且则 11 已知函数 2 1 2 0 1 f xxpxqfff 满足则的值为 12 求下列函数的定义域 1 2 2131f xxx 2 4 1 x f x x 3 0 1 x f x xx 13 求下列函数的值域 1 2 3 2 4yx 21 1 x y x 1 4 2 x yx x 4 5 2 2 4 1 x y x 21 3yxx 14 若函数的定义域是 A 的定 3 2 1 x f x x 1 2 1 g xxaaxa 义域是 B 求实数的取值范围 BA 当时a 15 已知函数 4 6 3 2 6 xx f xf f xx 则 9 A 1 B 2 C 3 D 4 16 函数的图象是 x yx x A y B y C y D y o x o x o x o x 17 已知函数则不等式的解集为 2 0 2 0 xx f x xx 2 f xx A 1 1 B 2 2 C 2 1 D 1 2 18 已知是一次函数 若 则 f x 87ff f xx f x 19 若函数的定义域是 0 1 则函数的定义域是 f x 2 2 3 g xfxf x 20 求下列函数的解析式 1 已知 求 2 2f xxx 21 fx 2 已知 求 1 2fxxx f x 3 已知 求 1 2 32f xfx x f x 21 如图 在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点 P 沿着折线 BCDA 由点 B 起点 向 点 A 终点 运动 设点 P D C 运动的路程为 x APB 的面积为 y 求 1 y 与 x 之间的函数解析式 P 2 画出函数的图象 A B yf x 22 作出下列函数的图象 1 2 122yxx 2 43yxx 拓展创新拓展创新 10 23 设 2 2 111 2 3 123 x f xffff x 则 A B C 1 D 0 35 12 35 12 24 设的定义域是 则的定义域是 f x 0 1 2 0 g xfxf xm m 25 设是定义在 R 上的函数 f 0 1 且对任意实数 x y 都有 f x 求函数的解析式 21 f xyf xyxy f x 26 某市出租车的计价标准是 4 千米以内 10 元 含 4 千米 超出 4 千米且不超过 18 千米的部分 1 2 元 千米 超出 18 千米的部分 1 8 元 千米 1 如果不计等待时间的费用 建立车费与行车里程的函数解析式 2 如果某人乘车行驶了 20 千米 他要付多少车费 自主发展自主发展 1 若已知函数的解析式 那么求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取 值范围 常见的有以下几种情况 1 如果是整式 那么函数的定义域为实数集 R xf 2 如果是二次根式 那么函数的定义域是使被开方数大于或等于零的实数的集合 xf 3 如果是分式 那么函数的定义域是使分母不等于零的实数 的集合 xf 4 若是由几个部分的数学式子构成的 那么函数的定义域是使每个部分有意义的 xf 实数的集合的交集 2 函数解析式的求法 1 配凑法和换元法 如果已知复合函数的表达式 要求的解析式时 若表达式右 xgf xf xgf 边易配成的运算形式 则可用配凑法 也叫直接变换法 当然 亦可用换元法求 xg 的解析式 但要注意 无论是配凑法还是换元法 所求函数的定义域必须满足两个 xf 条件 是函数的值域 且使的解析式有意义 xgt xf 2 待定系数法 已知函数的模型 如一次函数 二次函数等 一般的方法是设出函数的解析式 然后 根据题设条件求待定系数 3 消去法 利用方程的思想 采用解方程组的方法消去不需要的函数式子 而得到的表达 xf 式 此法也称解方程法 11 4 赋值法 可以是取特殊值 也可是变量换变量 然后通过解方程组求出参数 3 用图象法表示一个函数是数形结合的基础 判断一个图形是不是函数图象的依据仍旧是 函数的定义 函数图象的形状与定义域 对应法则有关 定义域确定变量的分布范围 对 应法则确定形状 如何从图象中提取有用的信息 把 形 转化成 数 是解决问题的关 键 4 作函数图象 首先明确函数定义域 其次明确函数图象是点 线段或直线等 体会定义 域对图象的控制作用 处理好端点处的情况 作图时 先不受定义域限制作出完整图象 然后再截取 12 1 2 函数及其表示参考答案 学业水平测试学业水平测试 1 C 2 3 2 1 2 4 3 1 5 6 3 1 1 2 1 x x 2 01 2 12 3 2 xx x x 7 A 8 D 9 10 11 6 12 1 2 1 3 1 4 2 2 1 3 2 2 1