湖南新化一中2009年下学期高二数学（理）数学竞赛试题新人教版

用心 爱心 专心 湖南新化一中湖南新化一中 20092009 年下学期高二 理 数学竞赛试题年下学期高二 理 数学竞赛试题 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 8 分 满分 48 分 1 等差数列 n a的前n项和为 n S 若 2415 aaa 的值为常数 则下列各数中也是常数的 是 C A 7 S B 8 S C 13 S D 15 S 2 已知函数 3 2f xxx 若 1 x 2 x 3 xR 且 1 x 2 x 0 2 x 3 x 0 3 x 1 x 0 则 1 f x 2 f x 3 f x B A 大于 0 B 小于 0 C 等于 0 D 不等于 0 3 设由正整数有序数对 x y 组成如下数列 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 按 x y 的值由小到大的顺 序排列 当 x y 的值相等时 按 x 的值由小到大的顺序排列 则有序数对 m n m n 均为正整数 在该数列中的位置是 D A 21mn 第位 B 22mn 第位 C 1 2 mnmn 第 m 位 D 12 2 mnmn 第 m 位 4 已知点P是抛物线 2 2yx 上的一个动点 则点P到点 0 2 的距离与P到该抛物线准 线的距离之和的最小值 A A 17 2 B 3 C 5 D 9 2 w w w k s 5 u c o m 5 已知点 baP 0 ab是圆O 222 ryx 内一点 直线m是以P为中点的弦所在 的直线 若直线n的方程为 2 rbyax 则 B A m n且n与圆O相交 B m n且n与圆O相离 C m与n重合且n与圆O相离 D m n且n与圆O相离 6 已知 OA 1 OB 3 OBOA 0 点C在 AOB内 且 AOC 30 设OC m OA nOB m n R 则 n m 等于 B 用心 爱心 专心 A 3 1 B 3 C 3 3 D 3 7 已知等差数列 an 中 a3 a9 公差 d0 由于点 A 在椭圆上 有 1 2 2 2 2 b y a c 即 22222 22 1 abybb yA c abaa 解得从而得 2 分 直线 AF1的方程为 0 2 22 2 cbacyxbcx a b y整理得 由题设 原点 O 到直线 AF1的距离为 4 3 3 1 224 2 1 cab cbc OF 即 4 分 将 22222 2 cacab 得代入到上式并化简 进而求得 2 2 e 6 分 解法 2 设 O 到直线 AF1的垂足为 E 则 Rt OEF1 Rt AF2F1 3 1 1 2 1 AF AF OF OE 2 分 由已知条件可求得 2 2 a b AF 3 分 用心 爱心 专心 又 2 2 2 121 a b aAFaAFAF 故 4 分 代入 式得 3 2 3 1 2 22 2 2 a b a b a a b a a b 即 将 222 cab 代入并化简 得 2 22 ca 进而求得 2 2 e 6 分 2 左焦点 F1 1 0 椭圆的方程为 1 2 2 2 y x 7 分 设直线 BC 的方程为 0 1 kxky代入椭圆方程并整理得 0 224 21 2222 kxkxk 记 B 002211 yxNBCyxCyx中点 则 12 2 2 1 12 4 2 2 210 2 2 21 k k xxx k k xx 12 1 2 00 k k xky 10 分 BC 的垂直平分线 NG 的方程为 1 00 xx k yy 11 分 令 y 0 得 121212 2 2 2 2 2 2 2 00 k k k k k k kyxxG 24 1 2 1 2 k 12 分 0 k 0 2 1 G x 14 分 即点 G 横坐标的取值范围为 0 2 1 15 分 用心 爱心 专心 18 本小题满分 15 分 设数列 n a的前n项和为 n S 且满足2 1 2 3 nn Sa n 1 求数列 n a的通项公式 2 若数列 n b满足 1 1b 且 1nnn bba 求数列 n b的通项公式 3 设 3 nn cnb 求数列 n c的前n项和 n T 18 解 1 1n 时 11111 2 1 aSaaa 2 nn Sa 即 11 2 2 nnnn aSaS 两式相减 11 0 nnnn aaSS 即 11 0 nnn aaa 故有 1 2 nn aa 1 1 0 2 n n n a anN a 数列 n a为首项 1 1 a 公比 1 2 的等比数列 1 1 2 n n anN 5 分 2 1 1 2 3 nnn bban 1 1 1 2 n nn bb 则 12132431nnn bbbbbbbbbb 1 2321 1 1 111112 122 1 22222 1 2 n nn 又 1 1 1 1 321 2 3 2 n n bbn 10 分 3 1 1 32 2 n nn cnbn 01221 11111 2231 22222 nn n Tnn 用心 爱心 专心 而 1231 111111 2231 222222 nn n Tnn 得 0121 111111 22 222222 nn n Tn 1 1 18112 4484884 1 2222 1 2 n nn n nn Tnnn 15 分 19 本小题满分 15 分 已知函数 1 2 1 1 1 fxf上有意义在且任意的x 1 1 y都有 1 xy yx fyfxf 1 若数列 1 2 2 1 2 11n n n nn xfNn x x xxx求满足 2 求 2 1 13 1 11 1 5 1 1 2 n f nn fff 的值 19 1 2 1 1 1 2 21 1 2 2 x x x xx n n nn 又 1 1 2 2 n n x x 3 分 1 2 1 1 fxf 而 2 1 1 2 2 1nnn nn nn n n n xfxfxf xx xx f x x fxf 6 分 2 1 n n xf xf 1 2 2 1 n nn xfxf故为公比的等比数列以为首项是以 7 分 2 由题设 有0 0 0 01 00 0 0 fffff故 9 分 又 0 0 1 1 1 2 f x xx fxfxfx有 得 1 1 在故知xfxfxf上为奇函数 11 分 用心 爱心 专心 由 1 2 1 1 13 1 2 kkkk 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 kk