2012-2017年高考文科数学真题汇编：立体几何高考题老师版

第 1 页 共 18 页 学科教师辅导教案学科教师辅导教案 学员姓名学员姓名 年年 级级高三高三 辅导科目辅导科目数数 学学 授课老师授课老师课时数课时数 2h2h 第第 次课次课 授课日期及时段授课日期及时段 20182018 年年 月月 日日 1 20142014 辽宁辽宁 已知 m n 表示两条不同直线 表示平面 下列说法正确的是 A 若则 B 若 则 mn mnm n mn C 若 则 D 若 则m mn n m mn n 2 2014 新标新标 1 文文 如图 网格纸的各小格都是正方形 粗实线画出的事一个几何体的三视图 则这个几何 体是 A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱锥 D 四棱柱 3 2014 浙江文浙江文 设 是两条不同的直线 是两个不同的平面 则 mn A 若 则 B 若 则nm n m m m C 若 则 D 若 则 m n n mnm n m 4 2013 浙江文浙江文 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 C A 若 m n 则 m n B 若 m m 则 C 若 m n m 则 n D 若 m 则 m 5 2015 年广东文 年广东文 若直线 1 l和 2 l是异面直线 1 l在平面 内 2 l在平面 内 l是平面 与平面 的交 线 则下列命题正确的是 A l至少与 1 l 2 l中的一条相交 B l与 1 l 2 l都相交 C l至多与 1 l 2 l中的一条相交 D l与 1 l 2 l都不相交 历年高考试题集锦 文 历年高考试题集锦 文 立体几何立体几何 第 2 页 共 18 页 6 2015 年新课标年新课标 2 文 文 一个正方体被一个平面截去一部分后 剩余部分的三视图如下图 则截去部分体积 与剩余部分体积的比值为 1 A 8 1 B 7 1 C 6 1 D 5 11 1 2 答案 D 解析 试题分析 截去部分是正方体的一个角 其体积是正方体体积的 1 6 所以截去部分体积与 剩余部分体积的比值为 1 5 故选 D 7 2015 年福建文 年福建文 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积等于 A 82 2 B 112 2 C 142 2 D 15 答案 B 解析 试题分析 由三视图还原几何体 该几何体是底面为直角梯形 高为2的直四棱柱 且底面直角梯形的两底分别为12 直角腰长为1 斜腰为2 底面积为 1 233 2 侧面积为则其表 面积为2 2 4 2 2 8 2 2 所以该几何体的表面积为112 2 故选 B 8 2014 安徽 安徽 一个多面体的三视图如图所示 则该多面体的表面积为 A A B C D 213 183 2118 9 2012 福建 福建 一个几何体的三视图形状都相同 大小均相等 那么这个几何体不可以是 D 第 3 页 共 18 页 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 10 2014 福建理 福建理 某空间几何体的正视图是三角形 则该几何体不可能是 A 圆柱 圆锥 四面体 三棱柱 A B C D 11 2012 广东理 广东理 某几何体的三视图如图所示 它的体积为 C A 12 B 45 C 57 D 81 12 2012 广东文广东文 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 C 72 B A48 C D 1313 20132013 广东文 广东文 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积是 B 侧 2 1 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 2 1 A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 1 1414 20132013 江西文 江西文 一几何体的三视图如右所示 则该几何体的体积为 A A 200 9 B 200 18 C 140 9 D 140 18 15 201215 2012 新标新标 如图 网格上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某几何体的三视图 则几何体的体积为 A 6 B 9 C 12 D 18 第 4 页 共 18 页 答案 B 16 2013 新标新标 1 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A A168 B88 C16 16 D8 16 1717 2017 2017 全国全国 文文 如图 在下列四个正方体中 A B 为正方体的两个顶点 M N Q 为所在棱的中 点 则在这四个正方体中 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 答案 A 18 2016 年天津 年天津 将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥 得到的几何体的正视图与俯视图 如图所示 则该几何体的侧 左 视图为 B 19 2016 年全国年全国 I 卷 卷 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 若 该几何体的体积是 则它的表面积是 A 28 3 第 5 页 共 18 页 A 17 B 18 C 20 D 28 20 2016 年全国年全国 I 卷 卷 如平面过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A 11 CB D 平面 则 m n 所成角的正弦值为 A ABCDm 平面 11 ABB An 平面 A B C D 3 2 2 2 3 3 1 3 21 2016 年全国年全国 II 卷 卷 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 则该几何体的表面积为 C A 20 B 24 C 28 D 32 22 2016 年全国年全国 III 卷 卷 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实现画出的是某多面体的三视图 则该 多面体的表面积为 B A 1836 5 B 54 18 5 C 90 D 81 23 2016 年浙江 年浙江 已知互相垂直的平面 交于直线 l 若直线 m n 满足 m n 则 C A m lB m nC n lD m n 2424 2017 2017 全国全国 文文 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某几何体的三视图 该几何 体由一平面将一圆柱截去一部分后所得 则该几何体的体积为 B A 90 B 63 C 42 D 36 25 20142014 湖北文湖北文 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 12 第 6 页 共 18 页 26 26 2017 2017 全国全国 文文 已知圆柱的高为 1 它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上 则该圆 柱的体积为 B A B C D 3 4 2 4 27 2014 新标新标 2 文文 正三棱柱的底面边长为 侧棱长为 为中点 则三棱锥 111 ABCABC 23DBC 的体积为 C 11 AB DC A B C D 3 3 2 1 3 2 2828 2017 2017 北京文北京文 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 D A 60 B 30 C 20 D 10 2929 2017 2017 全国全国 文文 已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 SC 是球 O 的直径 若平面 SCA 平面 SCB SA AC SB BC 三棱锥 SABC 的体积为 9 则球 O 的表面积为 1 答案 36 解析 如图 连接 OA OB 由 SA AC SB BC SC 为球 O 的直径知 OA SC OB SC 由平面 SCA 平面 SCB 平面 SCA 平面 SCB SC OA SC 知 OA 平面 SCB 设球 O 的半径为 r 则 OA OB r SC 2r 三棱锥 S ABC 的体积 V SC OB OA 1 3 1 2 r3 3 即 9 r 3 S球表 4 r2 36 r3 3 3030 2017 2017 山东文 山东文 13 13 由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图 则该几何体的体积为 1 4 第 7 页 共 18 页 2 2 31 2012 新标文新标文 如图 三棱柱 111 ABCABC 中 侧棱垂直底面 ACB 90 AC BC AA1 D 是棱 1 2 AA1的中点 证明 平面 BDC 平面 1 BDC 平面 1 BDC分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 答案 略 1 1 32 2013 新标新标 2 文文 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 D E 分别是 AB BB1的中点 1 证明 BC1 平面 A1CD 2 设 AA1 AC CB 2 AB 2 求三棱锥 C A1DE 的体积 2 答案 1 略 2 1 33 2017 全国全国 文文 如图 在四棱锥 PABCD 中 AB CD 且 BAP CDP 90 1 证明 平面 PAB 平面 PAD 2 若 PA PD AB DC APD 90 且四棱锥 PABCD 的体积为 求该四棱锥的侧面积 8 3 第 8 页 共 18 页 1 1 证明 由已知 BAP CDP 90 得 AB PA CD PD 由于 AB CD 故 AB PD 从而 AB 平面 PAD 又 AB 平面 PAB 所以平面 PAB 平面 PAD 2 解 如图 在平面 PAD 内作 PE AD 垂足为 E 由 1 知 AB 平面 PAD 故 AB PE AB AD 所以 PE 平面 ABCD 设 AB x 则由已知可得 AD x PE x 2 2 2 故四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD AB AD PE x3 由题设得 x3 故 x 2 1 3 1 3 1 3 8 3 从而结合已知可得 PA PD AB DC 2 AD BC 2 PB PC 2 22 可得四棱锥 PABCD 的侧面积为 PA PD PA AB PD DC BC2sin 60 6 2 1 2 1 2 1 2 1 23 34 2014 山东文 山东文 如图 四棱锥中 分PABCD 1 2 APPCD ADBC ABBCAD E F 平面 别为线段的中点 AD PC 求证 II 求证 答案 略APBEF 平面BEPAC 平面 35 2014 四川文四川文 在如图所示的多面体中 四边形和都为矩形 11 ABB A 11 ACC A D E B1 C1 A C B A1 O M E D A B C C1 A1 B1 第 9 页 共 18 页 若 证明 直线平面 ACBC BC 11 ACC A 设 分别是线段 的中点 在线段上是否存在一点 使直线平面DEBC 1 CCABM DE 请证明你的结论 1 AMC 简解 略 2 取线段 AB 的中点 M 连接 设 O 为的交点 由已知 111 AM MC AC AC 11 AC AC O 为的中点 连接 MD OE 则 MD OE 分别为的中位线 1 AC 1 ABCACC 所以 11 22 MDAC OEACMD OE AAA 连接 OM 从而四边形 MDEO 为平行四边形 则 DEMOA 因为直线平面 平面 所以直线平面 DE 1 AMCMO 1 AMCDEA 1 AMC 即线段 AB 上存在一点 M 线段 AB 的中点 使得直线平面 DEA 1 AMC 36 2013 北京文 北京文 如图 在四棱锥中 平面PABCD ABCDABAD 2CDAB 底面 和分别是和的中点 求证 PAD ABCDPAAD EFCDPC 1 底面 2 平面 3 平面平面PA ABCD BEPADBEF PCD 37 2012 江苏 江苏 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 A1B1 A1C1 D E 分别是棱 BC CC1上的点 点 D 不同于点 C 且 AD DE F 为 B1C1的中点 求证 1 平面 ADE 平面 BCC1B1 2 直线 A1F 平面 ADE 第 10 页 共 18 页 38 2013 江苏 江苏 如图 在三棱锥ABCS 中 平面 SAB平面SBC BCAB ABAS 过 A作SBAF 垂足为F 点GE平分别是棱SCSA平的中点 求证 1 平面 EFG平面ABC 2 SABC 答案 略 39 2014 江苏 江苏 如图 在三棱锥中 分别为棱的中点 已知PABC D E F PCACAB 6PAAC PA 8BC 5DF 1 求证 直线 PA 平面 DEF 2 平面 BDE 平面 ABC 40 2014 北京文 北京文 如图 在三棱柱中 侧棱垂直于底面 111 ABCABC BC 1 分别为 的中点 ABBC 1 2AAAC EF 11 ACBC 1 求证 平面平面 2 求证 平面 3 求三棱锥的体积 ABE 11 B BCC 1 C FABEEABC C1 B1 A1 F E C B A 简解 1 AB 平面 B1BCC1即可 2 取 AB 中点 G C1F EG 即可 3 3 3 第 11 页 共 18 页 41 2015 北京文 北京文 如图 在三棱锥中 平面平面 为等边三角形 VC A VA CA V A 且 分别为 的中点 CCA CC2A A VA 求证 平面 求证 平面平面 求三棱锥的体V C C VA VC A 积 答案 1 证明详见解析 2 证明详见解析 3 3 3 42 2015 年新课标年新课标 1 卷 卷 如图四边形 ABCD 为菱形 G 为 AC 与 BD 交点 BEABCD 平平 I 证明 平面平面 AEC BED II 若 三棱锥的体积为 求该三棱锥的侧面积 120ABC AEEC EACD 6 3 I 因为四边形 ABCD 为菱形 所以 AC BD 因为 BE 平面 ABCD 所以 AC BE 故 AC 平面 BED 又 AC平面 AEC 所以平面 AEC 平面 BED 5 分 II 设 AB 在菱形 ABCD 中 又 ABC 可得 AG GC GB GD x o 120 3 2 x 2 x 因为 AE EC 所以在 Rt AEC 中 可的 EG 3 2 x 由 BE 平面 ABCD 知 EBG 为直角三角形 可得 BE 2 2 x 由已知得 三棱锥 E ACD 的体积 AC GD BE E ACD V 1 3 1 2 3 66 243 x 故 2 9 分 x 从而可得 AE EC ED 所以 EAC 的面积为 3 EAD 的面积与 ECD 的面积均为 65 第 12 页 共 18 页 故三棱锥 E ACD 的侧面积为 3 2 12 分5 43 2017 43 2017 全国全国 文文 如图 四棱锥 PABCD 中 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD AB BC AD BAD ABC 90 1 2 1 证明 直线 BC 平面 PAD 2 若 PCD 的面积为 2 求四棱锥 PABCD 的体积 7 2 1 证明 在平面 ABCD 内 因为 BAD ABC 90 所以 BC AD 又 BC 平面 PAD AD 平面 PAD 故 BC 平面 PAD 2 解 如图 取 AD 的中点 M 连接 PM CM 由 AB BC AD 及 BC AD ABC 90 得四边形 1 2 ABCM 为正方形 则 CM AD 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD 所以 PM AD PM 底 面 ABCD 因为 CM 底面 ABCD 所以 PM CM 设 BC x 则 CM x CD x PM x PC PD 2x 23 取 CD 的中点 N 连接 PN 则 PN CD 所以 PN x 因为 PCD 的面积为 2 14 27 所以 x x 2 解得 x 2 舍去 或 x 2 于是 AB BC 2 AD 4 PM 2 1 22 14 273 所以四棱锥 PABCD 的体积 V 2 4 1 3 2 2 4 233 44 2016 年江苏省高考 年江苏省高考 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 D E 分别为 AB BC 的中点 点 F 在侧棱 B1B 上 且 11 B DAF 1111 ACAB 求证 1 直线 DE 平面 A1C1F 2 平面 B1DE 平面 A1C1F 第 13 页 共 18 页 2 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1111 AA 平面ABC因为 11 AC 平面 111 ABC 所以 111 AA AC 又因为 111111111111111 ACABAAABB A ABABB A ABAAA 平面平面所以 11 AC 平面 11 ABB A 因为 1 B D 平面 11 ABB A 所以 111 ACB D 又因为 1111111111111 C F C F B DAACAAFAACAFA F 平面平面所以 111 C FB DA 平面 因为直线 11 B DB DE 平面 所以 1 B DE平面 11 AC F 平面 45 2016 年全国年全国 I 卷 卷 如图 已知正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形 PA 6 顶点 P 在平面 ABC 内 的正投影为点 D D 在平面 PAB 内的正投影为点 E 连结 PE 并延长交 AB 于点 G I 证明 G 是 AB 的中点 II 在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F 说明作法及理由 并求四面体 PDEF 的体积 P A B D C G E 第 14 页 共 18 页 II 在平面内 过点作的平行线交于点 即为在平面内的正投影 PABEPBPAFFEPAC 理由如下 由已知可得 又 所以 因此PBPA PBPC EFPBEFPAEFPC 平面 即点为在平面内的正投影 EF PACFEPAC 连结 因为在平面内的正投影为 所以 是正三角形的中心 CGPABCDDABC 由 I 知 是的中点 所以在上 故GABDCG 2 3 CDCG 由题设可得平面 平面 所以 因此 PCPAB DEPAB DEPC 21 33 PEPG DEPC 由已知 正三棱锥的侧面是直角三角形且 可得 6 PA2 2 2 DEPE 在等腰直角三角形中 可得EFP2 EFPF 所以四面体的体积PDEF 114 2 2 2 323 V 46 2016 年全国年全国 II 卷高考 卷高考 如图 菱形的对角线与交于点 点 分别在 ABCDACBDOEFAD 上 CDAECF EF 交于点 将沿折到的位置 BDHDEF EF D EF 证明 ACHD 若 求五棱锥体积 5 5 6 2 2 4 ABACAEOD DABCEF 第 15 页 共 18 页 试题解析 I 由已知得 又由得 故 ACBD ADCD AECF AECF ADCD ACEF 由此得 所以 EFHD EFHD ACHD II 由得由得 EFAC 1 4 OHAE DOAD 5 6 ABAC 22 4 DOBOABAO 所以 于是故1 3 OHD HDH 22222 2 2 19 ODOHD H ODOH 由 I 知 又 所以平面于是 ACHD ACBD BDHDH AC BHD ACOD 又由 所以 平面又由得 ODOH ACOHO OD ABC EFDH ACDO 9 2 EF 五边形的面积ABCFE 11969 6 83 2224 S 所以五棱锥 ABCEFD 体积 16923 2 2 2 342 V 47 2016 年全国年全国 III 卷高考 卷高考 如图 四棱锥PABC 中 PA 平面ABCD ADBCA 3ABADAC 4PABC M为线段AD上一点 2AMMD N为PC的中点 I 证明MNA平面PAB II 求四面体NBCM 的体积 因为 PA平面ABCD N为PC的中点 所以N到平面ABCD的距离为PA 2 1 9 分 第 16 页 共 18 页 取BC的中点E 连结AE 由3 ACAB得BCAE 5 22 BEABAE 由BCAM 得M到BC的距离为5 故5254 2 1 BCM S 所以四面体BCMN 的体积 3 54 23 1 PA SV BCMBCMN 12 分 48 2017 北京文北京文 如图 在三棱锥 P ABC 中 PA AB PA BC AB BC PA AB BC 2 D 为线 段 AC 的中点 E 为线段 PC 上一点 1 求证 PA BD 2 求证 平面 BDE 平面 PAC 3 当 PA 平面 BDE 时 求三棱锥 E BCD 的体积 1 证明 因为 PA AB PA BC AB BC B 所以 PA 平面 ABC 又因为 BD 平面 ABC 所以 PA BD 2 证明 因为 AB BC D 是 AC 的中点 所以 BD AC 由 1 知 PA BD 又 PA AC A 所以 BD 平面 PAC 所以平面 BDE 平面 PAC 3 解 因为 PA 平面 BDE 平面 PAC 平面 BDE DE 所以 PA DE 因为 D 为 AC 的中点 所以 DE PA 1 BD DC 1 22 由 1 知 PA 平面 ABC 所以 DE 平面 ABC 所以三棱锥 E BCD 的体积 V BD DC DE 1 6 1 3 49 2017 江苏 江苏 15 如图 在三棱锥 ABCD 中 AB AD BC BD 平面 ABD 平面 BCD 点 E F E 与 A D 不重合 分别在棱 AD BD 上 且 EF AD 求证 1 EF 平面 ABC 2 AD AC 证明 1 在平面 ABD 内 因为 AB AD EF AD 则 AB EF 又因为 EF 平面 ABC AB 平面 ABC 所以 EF 平面 ABC 2 因为平面 ABD 平面 BCD 平面 ABD 平面 BCD BD BC 平面 BCD BC BD 第 17 页 共 18 页 所以 BC 平面 ABD 因为 AD 平面 ABD 所以 BC AD 又 AB AD BC AB