八年级上数学_全等三角形典型例题

典型例题 典型例题 例 1 2008 威海 把两个含有 45 角的直角三角板如图 1 放置 点 D 在 BC 上 连结 BE AD AD 的延长线交 BE 于点 F 求证 AF BE 练习 1 如图 在 ABC 中 BAC 90 AB AC AE 是过点 A 的直线 BD AE CE AE 如果 CE 3 BD 7 请你求出 DE 的长度 例例 2 DAC EBC 均是等边三角形 AE BD 分别与 CD CE 交于点 M N 求证 1 AE BD 2 CM CN 3 CMN 为等边三角形 4 MN BC D A CB NM 例例 3 10 分 已知 ABC 中 BAC 90 AB AC 过 A 任作一直线 l 作 BD l 于 D CE l 于 E 观察 三条线段 BD CE DE 之间的数量关系 如图 1 当 l 经过 BC 中点时 DE 1 分 此时 BD CE 1 分 如图 2 当 l 不与线段 BC 相交时 BD CE DE 三者的数量关系为 并证明你的结论 3 分 如图 3 当 l 与线段 BC 相交 交点靠近 B 点时 BD CE DE 三者的数量关系为 证明你的结论 4 分 并画图直接写出交点靠近 C 点时 BD CE DE 三者的数量关系为 1 分 A F B CE D E D A C B E E O y A B C x O y A B C D E x 图 1 图 2 图 3 例例 4 已知 在平面直角坐标系中 放入一块等腰直角三角板 ABC BAC 90 AB AC A 点的坐标为 0 2 B 点的坐标为 4 0 求 C 点的坐标 D 为 ABC 内一点 AD 2 连 AD 并以 AD 为边作等腰直角三角形 ADE DAE 90 AD AE 连 CD BE 试判断线段 CD BE 的位置及数量关系 并给出你的证明 A l B C A BC D E l A BC l E D O y A B C D E M x 旋转 ADE 使 D 点刚好落在 x 轴的负半轴 连 CE 交 y 轴于 M 求证 EM CM BD 2AM 练习 2 以直角三角形 ABC 的两直角边 AB BC 为一边 分别向外作等边三角形 ABE 和等边 BCF 连结 EF EC 试说明 1 EF EC 2 EB CF C B A F E 练习 3 如图 1 A E F C 在同一直线上 AE CF 过 E F 分别作 DE AC BF AC 若 AB CD G 是 EF 的中点吗 请证明 你的结论 若将 ABC 的边 EC 经 AC 方向移动变为图 2 时 其余条件不变 上述结论还成立吗 为什么 例二 如图如图 1 已知 已知 AC CE AC CE ABC CDE 90 问问 BD AB ED 吗吗 分析 1 凡是题中的垂直往往意味着会有一组 90 角 得到一组等量关系 2 出现 3 个垂直 往往意味着要运用同 等 角的余角相等 得到另一组等量关系 3 由全等得到边相等之后 还要继续往下面想 这几组相等的边能否组合在一起 如如图 6 除了得到三组对应边相等之外 还可以得到 AC BD 解答过程 得到 ABC CDE 之后 可得到 BC DE AB CD BC CD DE AB 等式性质 即 BD AB DE 变形 1 如图如图 7 如果如果 ABC CDE 请说明 请说明 AC 与与 CE 的关系 的关系 注意 两条线段的关系包括 大小关系 相等 一半 两倍之类 图 6 O A B C D B D E C A 图 5 B D E C A 图 7 位置关系 垂直 平行之类 变形 2 2008 泸州 如图 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上的一点 过点 A 作 FA AE 交 CB 的延长线于点 F 求证 DE BF 分析 注意图形中有多个直角 利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等 变形 3 如图如图 8 在 在 ABC 中 中 BAC 90 AB AC AE 是过点是过点 A 的直线 的直线 BD AE CE AE 如果如果 CE 3 BD 7 请你求出 请你求出 DE 的长度 的长度 分析 说明相等的边所在的三角形全等说明相等的边所在的三角形全等 题中 AB AC 发现 AB 在 Rt ABD 中 AC 在 Rt CAE 中 所以尝试着去找条件 去说明它们所在的两个 Rt 全等 如图 9 于是 已经存在了两组等量关系 AB AC 直角 直角 再由多个垂直利用同角的余角相等 得到第三组等量关系 解 由题意可得 在 Rt ABD 中 1 ABD 90 直角三角形的两个锐角互余 又 BAC 90 已知 即 1 CAE 90 ABD CAE 等角的余角相等 故在 ABD 与 CAE 中 BDA AEC 90 垂直定义 ABD CAE 已求 E D A C B 图 8 1 E D A C B 图 9 F A B D C E AB AC 已知 ABD CAE AAS AE BD 7 AD EC 3 全等三角形的对应边相等 DE AEAD 73 4 变形 4 在在 ABC 中 中 ACB 900 AC BC 直线 直线 MN 经过点经过点 C 且 且 AD MN 于于 D BE MN 于于 E 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 9 的位置时 ADC CEB 且 DE AD BE 你能说出其中的道理吗 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 10 的位置时 DE AD BE 说说你的理由 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 11 的位置时 试问 DE AD BE 具有怎样的等量关系 请写出这个等量关系 等腰三角形 等边三角形的全等问题 必备知识 如右图 由由 1 2 可得 可得 CBE DBA 反之 也成立 反之 也成立 例三 已知在已知在 ABC 中 中 AB AC 在 在 ADE 中 中 AD AE 且 且 1 2 请问 请问 BD CE 吗 吗 分析 这类题目的难点在于 需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边 分别放入两个三角形中 看成是一组三角形的对应边 题目中所给的 ABC 与 ADE 是用来干扰你的思路的 应该去想如何把两组相等的边联系到一起 加上所求的 BD CE 你会发现 你会发现 BD 在在 ABD 中 中 CE 在在 ACE 中 中 这样一来 AB AC 可以理解为 AB 在 ABD 中 AC 在 ACE 中 它们是一组对应边 AD AE 可以理解为 AD 在 ABD 中 AE 在 ACE 中 它们是一组对应边 图 11 E D C B A N M 图 12 E D C B A N M E D C B A N M 图 10 1 2 B CA E D 所以只需要说明它们的夹角相等即可 关键还是在于 说明说明 相等的边 角 相等的边 角 所在所在的三角形全等的三角形全等 解 1 2 已知 1 CAD 2 CAD 等式性质 即 BAD CAE 在 ABD 与 ACE 中 AB AC 已知 BAD CAE 已求 AD AE ABD ACE SAS BD CE 全等三角形的对应边相等 变形变形 1 如图 如图 13 已知 已知 BAC DAE 1 2 BD CE 请说明请说明 ABD ACE 吗 为什么 吗 为什么 分析 例三是两组边相等 放入一组三角形中 利用 SAS 说明全等 此题是两组角相等 那么该如何做呢 变形变形 2 过点 过点 A 分别作两个大小不一样的等边三角形 连接分别作两个大小不一样的等边三角形 连接 BD CE 请说明它们相等 请说明它们相等 分析 此题实际上是例三的变形 只不过将等腰三角形换成了等边三角形 只要你根据所求问题 把 BD 看成在看成在 ABD 的一边 的一边 CE 看成看成 ACE 的一边的一边 自然就得到了证明的方向 解 ABC 与 ADE 是等边三角形 AB AC AD AE BAC DAE 60 BAC CAD DAE CAD 等式性质 即 BAD CAE 变形变形 3 如图 16 18 还是刚才的条件 把右侧小等边三角形的位置稍加变化 连接 BD CE 请说明它们相等 2 1 A D C B E 图 14 2 A C B E D 1 图 13 D C B A E 图 15 接下来的过程与例三完全一致 不予描述 D C B A E D C B A E 图 16 这里仅以图 17 进行说明 解 ABC 与 ADE 是等边三角形 AB AC AD AE BAC DAE 60 BAC CAD DAE CAD 仅这步有差别 即 BAD BAD CAE 在 ABD 与 ACE 中 AB AC 已知 BAD CAE 已求 AD AE ABD ACE SAS BD CE 全等三角形的对应边相等 图 16 图 18 的类型 请同学们自己去完成 变形变形 4 2008 怀化 如图 四边形 ABCD DEFG 都是正方形 连接 AE CG AE 与 CG 相交于点 M CG 与 AD 相交于点 N 求证 CGAE 分析 和上面相比 只不过等边三角形换成正方形 60 换成直角了 思路一样 D C B A E 图 18 D C B A E D C B A E D C B A E 图 17 A B G D F E C 例四 如图 ABC 中 C 90 AB 2AC M 是 AB 的中点 点