功与能的两个难点问题的方法研究

功与能的两个难点问题的方法研究 常州市第一中学 213003 刘霁华 功与能的知识一直是高中物理最重要的内容 其中变力做功问题和连接体的机械能守恒问题则 是我们学习中的难点和高考命题的重点 本文系 统讨论这两类问题的分析方法 以飨读者 一 变力做功的几种求法一 变力做功的几种求法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位 功的计算公式只能用于恒 力做功情况 对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用 下面对变力做功问题进行归 纳总结如下 1 等 等值值法法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等 则可以通过计算该恒力的功 求出该变 力的功 而恒力做功又可以用计算 从而使问题变得简单 例 1 如图 1 定滑轮至滑块的高度为 h 已知细绳的拉力为 F 恒定 滑块沿水平 面由 A 点前进 S 至 B 点 滑块在初 末位置时细绳与水平方向夹角分别为 和 求滑 块由 A 点运动到 B 点过程中 绳的拉力对滑块所做的功 分析与解 分析与解 设绳对物体的拉力为 T 显然人对绳的拉力 F 等于 T T 在对物体做功的过 程中大小虽然不变 但其方向时刻在改变 因此该问题是变力做功的问题 但是在滑轮的 质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下 人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功 而拉力 F 的大小和方向都不变 所以 F 做的功可以用公式 W FScosa 直接计算 由图 1 可知 在绳与水平面的夹角由 变到 的过程中 拉力 F 的作用点的位移大小为 2 微元法 微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时 若力的方向与物 体运动的切线方向之间的夹角不变 且力与位移的方向同步变 化 可用微元法将曲线分成无限个小元段 每一小元段可认为 恒力做功 总功即为各个小元段做功的代数和 例 2 如图 2 所示 某力 F 10N 作用于半径 R 1m 的转盘的 边缘上 力 F 的大小保持不变 但方向始终保持与作用点的切 线方向一致 则转动一周这个力 F 做的总功应为 A 0J B 20 J C 10J D 20J 分析与解 分析与解 把圆周分成无限个小元段 每个小元段可认为 与力在同一直线上 故 W F S 则转一周中各个小元段做功的代数和为 W F 2 R 10 2 J 20 J 62 8J 故 B 正确 3 平均力法 平均力法 如果力的方向不变 力的大小对位移按线性规律变化时 可用力的算术平均值 恒力 代替变力 利用功的定义式求功 例 3 一辆汽车质量为 105kg 从静止开始运动 其阻力为车重的 0 05 倍 其牵引力 的大小与车前进的距离变化关系为 F 103x f0 f0是车所受的阻力 当车前进 100m 时 牵 引力做的功是多少 分析与解 分析与解 由于车的牵引力和位移的关系为 F 103x f0 是线性关系 故前进 100m 过程中的 牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功 由题意可知f0 0 05 105 10N 5 104N 所 以前进 100m 过程中的平均牵引力 W S 1 105 100J 1 107J 4 用 用动动能定理求能定理求变变力做功力做功 例 4 如图 3 所示 AB 为 1 4 圆弧轨道 半径为 0 8m BC 是水平轨道 长 L 3m BC 处的摩擦系数为 1 15 今有质量 m 1kg 的物体 自 A 点从静止起下滑到 C 点 刚好停止 求物体在轨道 AB 段所受的阻力对物体做的功 分析与解 分析与解 物体在从 A 滑到 C 的过程中 有重力 AB 段的阻力 AC 段的摩擦力共 三个力做功 重力做功 WG mgR 水平面上摩擦力做功 Wf1 mgL 由于物体在 AB 段受 的阻力是变力 做的功不能直接求 根据动能定理可知 W外 0 所以 mgR mgL WAB 0 即 WAB mgR mgL 6 J 5 用机械能守恒定律求 用机械能守恒定律求变变力做功力做功 如果物体只受重力和弹力作用 或只有重力或弹力做功时 满足机械能守恒定律 如 果求弹力这个变力做的功 可用机械能守恒定律来求解 例 5 如图 4 所示 质量 m 2kg 的物体 从光滑斜 面的顶端 A 点以 V0 5m s 的初速度滑下 在 D 点与弹 簧接触并将弹簧压缩到 B 点 时的速度为零 已知从 A 到 B 的竖直高度 h 5m 求弹簧 的弹力对物体所做的功 分析与解 分析与解 由于斜面光 滑故机械能守恒 但弹簧的 弹力是变力 弹力对物体做负功 弹簧的弹性势能增加 且弹 力做的功的数值与弹性势能的增加量相等 取 B 所在水平面为 零参考面 弹簧原长处 D 点为弹性势能的零参考点 则状态 A EA mgh mV02 2 对状态 B EB W弹簧 0 由机械能守恒定律得 W弹簧 mgh mv02 2 125 J 6 用功能原理求 用功能原理求变变力做功力做功 例 6 两个底面积都是 S 的圆筒 放在同一水平面上 桶内装水 水面高 度分别为 h1和 h2 如图 5 所示 已知水的密度为 现把连接两桶的阀门打开 最后两桶水面高度相等 则这过程中重力所做的功等于 分析与解 分析与解 由于水是不可压缩的 把连接两桶的阀门 打开到两桶水面高度相等的过程中 利用等效法把左管高 以上部分的水等效地移至右管 如图 6 中的斜线所 示 最后用功能关系 重力所做的功等于重力势能的减少 量 选用 AB 所在的平面为零重力势能平面 则画斜线部分从左管移之右管所减 少的重力势能为 所以重力做的功 WG 二 连接体的机械能守恒问题二 连接体的机械能守恒问题 连接体的机械能守恒问题一直是高考的重点 也是我们学习中的难点 下面我们通过实例分析用 机械能守恒定律解连接体问题时要注意的几个问题 1 正确 正确选选取系取系统统 应用机械能守恒定律必须准确的选择系统 系 统选择得当 机械能守恒 系统选择不得当 机械 能不守恒 对机械能不守恒的系统应用机械能守恒 定律必然得出错误的结果 例 7 如图 7 所示 长为 2L的轻杆OB O端装有转轴 B端固定一个质量 为m的小球B OB中点A固定一个质量为m的小球A 若OB杆从水平位置静止 开始释放转到竖直位置的过程中 求 1 A B 球摆到最低点的速度大小各是 多少 2 轻杆对 A B 球各做功多少 3 轻杆对 A B 球所做的总功为多 少 错解分析 错解分析 有学生分别选 A B 球及地球为一系统 有机械能守恒定律得到 由上两式得 上述解法中对系统的选择是错误 事实上 小球 A B 与地球单独组成的 系统机械能并不守恒 这是因为轻杆往下摆的过程中 轻杆分别对 A B 球做了 功 注意轻杆可以产生切向力 不象轻绳 只能产生法向力 对机械能不守 恒的系统应用守恒定律求解 当然出错 应选 A B 球及地球所组成的系统 机 械能是守恒的 正确解答 正确解答 1 选 A B 及地球为一系统 此系统中只有动能和重力势能发生转化 系 统机械能守恒 有 由 式可得 2 由上不难得到 即 A B 间的轻杆对 B 球做正功 对 A 球 做负功 轻杆对 A 球做功为 同理可得 轻杆对 B 球做功为 3 轻杆对 A B 所做总功为 0 2 注意分析 注意分析过过程程 机械能守恒不仅要关注初 末状态 同样也要关注物理过程 选取物理过 程必须遵循两个基本原则 一要符合求解要求 二要尽量使求解过程简化 有 时可选全过程 而有时则必须将全过程分解成几个阶段 然后再分别应用机械 能守恒定律求解 例 8 如图 8 所示 质量均为 m 的小球 A B C 用两条长均为 L 的细线相 连 置于高为 h 的光滑水平桌面上 A 球刚跨过桌面 若 A 球 B 球下 落着地后均不再反弹 则 C 球离开桌边缘时的速度大小是多少 分析与解 分析与解 本题描述的物理过程是 A 球下落带动 B C 球运动 A 球着地 前瞬间 A B C 三球速率相等 且 B C 球均在桌面上 因 A 球着地后不反弹 故 A B 两球间线松弛 B 球继续运动并下落 带动小球 C 在 B 球着地前瞬间 B C 两球速率相等 故本题的物理过程应划分为两个阶段 从 A 球开始下落到 A 球着地瞬间 第二个阶段 从 A 求着地后到 B 球着地瞬间 在第一个阶段 选三个球及地球为系统 机械能守恒 则有 第二个阶段 选 B C 两球及地球为系统 机械能守恒 则有 由 解得 3 合理 合理选选用方程用方程 在运用机械能守恒 定律的状态式时 必须 选取零势能参考面 而且在同一问题中必须选取同一零势能参考 面 但对于连接体的机械能守恒问题 运用 求解不太方便 而运用变化式 则较 为简单 运用变化式的一个最大优点是不必 选取零势能参考面 例 9 如图 9 所示 一固定的斜面 倾角为 30 另一边与地 面垂直 顶上有一定滑轮 一软细线跨过定滑轮 两边分别与 A B 连接 A 的 质量为 4m B 的质量为 m 开始时将 B 按在地面上不动 然后放开手 让 A 沿 斜面下滑而 B 上升 物块 A 与斜面间无摩擦 设当 A 沿斜面下滑 s 距离后 细线 突然断了 求物块 B 上升的最大距离 H 分析与解 分析与解 对 B 由 得 4 研究状 研究状态态关系关系 要注意 几个连接体的速率和在某过程中所发生的位移常常是不同的 所 以要认真研究各个物体的初 末状态物理量的关系 才能正确解题 例 10 如图 10 半径为R的 1 4 圆弧支架竖直放置 支架底AB离地的距 离为 2R 圆弧边缘C处有一小定滑轮 一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的 物体 挂在定滑轮两边 且m1 m2 开始时m1 m2均静止 m1 m2可视为质点 不计一切摩擦 求 m1释放后经过圆弧最低点A时的速度v1 如m1恰能到达A点 m1与m2之比为多少 分析与解 分析与解 此题物理过程一目了然 m1 与 m2 组 成的系统机械能守恒 但学生出错原因是 m1 与 m2 由一 条绳子相连就误认为 m1 到点 A 的速度等于 m2 的速度造 成第 1 问的错误 接着第 2 问要用上一问的结果 这样导致第 2 问也是错误 的 在第 3 问中很显然 m1 恰能到达 A 点的临界状态是 m1 经过圆弧最低点 A 时