广东省广州六中2012届高三10月第二次月考数学理试卷

广州六中 2012 届高三 10 月第二次月考数学理试题 本试卷分选择题和非选择题两部分 共本试卷分选择题和非选择题两部分 共 4 4 页 满分为页 满分为 150150 分 考试用时分 考试用时 120120 分钟 分钟 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 1 0 1 2 3 24 2 x MNxMN 则集合 A 0 1 B 2 3 C 0 1 2 D 0 1 2 3 2 已知向量 a x 1 b 3 6 a b 则实数x的值为 A 1 2 B 2 C 2 D 2 1 3 1 x 是 23 xx 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 4 如右图是某赛季甲 乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图 则甲 乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A 62 B 63 C 64 D 65 5 从抛物线 2 4yx 上一点 P 引抛物线准线的垂线 垂足为M且5PM 设抛物线 的焦点为F 则MPF 的面积为 A 6 B 8 C 15 D 10 6 要想得到 6 2sin xy的图象 只需将函数xy2cos 的图象 A 向右平移 12 个单位 B 向右平移 6 个单位 C 向左平移 3 2 个单位 D 向左平移 6 个单位 7 设数列 n a是等差数列 且 2 8a 15 5a n S是数列 n a的前n项和 则 A 1011 SS B 1011 SS C 910 SS D 910 SS 8 设x y满足 1 0 0 yx y x 则 2 x yx 的取值范围是 A 1 0 B 0 1 C D 2 2 二 填空题 本大题共 7 小题 其中 9 13 为必做题 14 15 为选做题 考生只能从两题中 任选一题 每小题 5 分 共 30 分 9 复数 i i z 1 则z 10 函数 3 log 0 2 0 x x x f x x 则 1 9 f f 11 已知 2 6 cossin 4 0 则 4 5 sin 12 已知某个三棱锥的三视图如右 根据图中标出 的尺寸 单位 cm 则这个三棱锥的体积是 3 cm 13 已知函数1 2 4 x xf的定义域是 ba a b为整数 值域是 1 0 则满足条 件的 整数数对 ba共有 个 14 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 点 A 和点 B 的极坐标分别为 3 2 和 0 3 O 为极点 则三角形 OAB 的面积 15 几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题 如图 AB 是 O 的直径 延长 AB 到点 P 使2ABBP 过点P作 O 的切线 切点为C 连接AC 则 CAP 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知 f x xx xxxx cossin2 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos 求函数 xf的最小正周期 当 2 x 求函数 xf的零点 17 本小题满分 12 分 四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 a 的正方形 PB 面 ABCD 1 若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为 60 求这个四棱锥的体积 2 证明无论四棱锥的高怎样变化 面 PAD 与面 PCD 所成的二面角 恒大于 90 18 本小题满分 14 分 如图 面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M 可按下面方法估计M的 面积 在正方形ABCD中随机投掷n个点 若n个点中有m个点落入M中 则M的面积 的估计值为 m S n 假设正方形ABCD的边长为 2 M的面积为 1 并向正方形ABCD中 随机投掷10000个点 以X表示落入M中的点的数目 I 求X的均值EX M oF2 F1 Q x y y x II 求用以上方法估计M的面积时 M的面积的估计值与实 际值之差在区间 0 03 内的概率 附表 10000 10000 0 0 250 75 k ttt t P kC k2424242525742575 P k0 04030 04230 95700 9590 19 本题满分 14 分 已知椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的长轴长是短轴长的3倍 1 F 2 F是它的左 右焦点 1 若PC 且0 21 PFPF 12 4PFPF 求椭圆C的方程 2 在 1 的条件下 过动点Q作以 2 F为圆心 以 1 为半径的圆的切线QM M是切 点 且使 1 2QFQM 求动点Q的轨迹方程 20 本小题满分 14 分 设数列 n a的前 n 项和为 n S 且满足 n S 2 n a n 1 2 3 1 求数列 n a的通项公式 2 若数列 n b满足 1 b 1 且 1n b n b n a 求数列 n b的通项公式 3 设 n c n 3 n b 求数列 n c的前 n 项和为 n T 21 本小题满分 14 分 已知函数 33 4 2 x x xf xaaxxg 23 3 1 1 求函数 xf在 2 0 的值域 2 设0a 若对任意 1 0 2x 总存在 0 0 2x 使 10 0f xg x 求实数a的取值范围 3 点 2211 yxByxA为函数 xf图像上不同的两点 求证 直线AB的斜率小于 2 广州市第六中学广州市第六中学 2011 20122011 2012 学年度高三第二次月考学年度高三第二次月考 理科数学试题参考答案理科数学试题参考答案 一 选择题答案 1 A 2 B 3 C 4 C 5 D 6 C 7 C 8 B 二 填空题 三 解答题 16 解 解 xxxf2sin2cos 4 2cos 2 x 4 4 分分 故故 T 5 5 分分 令0 xf 2 4 cos 2x 0 又 2 x 7 7 分分 59 2 444 x 3 2 42 x 9 9 分分 故故 5 8 x 函数 xf的零点是 5 8 x 1212 分分 2 不论棱锥的高怎样变化 棱锥侧面 PAD 与 PCD 恒为全等三角形 作 AE DP 垂足为 E 连结 EC 则 ADE CDE CEACEDCEAE 故 90 是面 PAD 与面 PCD 所成的二面角的平面角 9 9 分分 设 AC 与 DB 相交于点 O 连结 EO 则 EO AC 2 2 aADAEOAa 在 0 2 2 2 2 cos 2 222 AE OAAEOAAE ECAE OAECAE AECAEC中 故平面 PAD 与平面 PCD 所成的二面角恒大于 90 12 12 分分 18 每个点落入M中的概率均为 1 4 p 依题意知 1 10000 4 XB 3 3 分分 1 100002500 4 EX 5 5 分分 依题意所求概率为0 034 10 03 10000 X P 7 7 分分 0 034 10 03 24252575 10000 X PPX 9 9 分分 M oF2 F1 Q x y y x 0 95700 04230 9147 14 14 分分 19 解 解 1 依题意知3ab 1 分 0 21 PFPF 12 PFPF 222 222 12 248PFPFc ab b 2 分 又P C 由椭圆定义可知 12 2PFPFa 2 22 12 884PFPFba 5 分 由 得 22 62a b 所以椭圆C的方程为 22 1 62 xy 7 分 2 由 1 得 2c 1 2 0F 2 2 0F 由已知 1 2QFQM 即 22 1 2QFQM QM是圆 2 F 的切线 22 2 1QMQF 9 分 22 12 21QFQF 11 分 设 Q x y 则 22 22 2221xyxy 即 2 2 634xy 或 22 1220 xyx 13 分 综上所述 所求动点Q的轨迹方程为 22 6 34xy 14 分 20 1 因为 n 1 时 1 a 1 S 1 a 1 a 2 所以 1 a 1 1 1 分分 因为 n S 2 n a 即 n a n S 2 所以 1n a 1n S 2 2 2 分分 两式相减 1n a n a 1n S n S 0 即 1n a n a 1n a 0 故有 1 2 n a n a 因为 n a 0 所以 1n n a a 1 2 n N 3 3 分分 所以数列 n a是首项 1 a 1 公比为 1 2 的等比数列 n a 1 1 2 n n N 4 4 分分 2 因为 1n b n b n a n 1 2 3 所以 1n b n b 1 1 2 n 从而有 21 bb 1 32 bb 1 2 43 bb 2 1 2 1nn bb 2 1 2 n n 2 3 3 因为 n c n 3 n b 1 1 2 2 n n 9 9 分分 所以 n T 0221 11111 223 1 22222 nn nn 1 2 n T 1231 11111 223 1 22222 nn nn 得 1 2 n T 021 1111 2 2222 n 1 2 2 n n 12 12 分分 故 n T 1 1 2 4 1 1 2 n 1 4 2 n n 8 8 2n 1 4 2 n n 8 1 84 2n n n 1 2 3 14 14 分分 21 解 1 2 4 0 2 33 x f xx x 0 x 时 0f x 1分 02x 时 x x xf 3 3 4 则 2 0 3 f x f x的值域为 2 0 3 3 分 当 0 2 0 xa 时 0g x 函数 g x在 0 2上单调递减 2 8 0 0 2 20 3 ggaa 所以当 0 2x 时 不满足 2 0 3 A 6 分 当 0 2 0 xa 时 g xa xaxa 令 0g x 得xa 或xa 舍去 i 0 2 02xa 时 x g x g x 的变化如下表 x0 0 a a 2a2 g x 0 g x0 2 2 3 aa 2 8 2 3 aa 0 0 0gga 2 82 2 2 33 gaa 解得 1 1 3 a 8 分 ii 当 0 2 2xa 时 0g x 函数 g x在 0 2上单调递减 2 8 0 0 2 20 3 ggaa 当 0 2x 时 不满足