2012高考数学总复习 7函数的奇偶性与周期性练习 新人教版

用心 爱心 专心 1 第七讲第七讲 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 班级 姓名 考号 日期 得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 将正确答案的代号填在题后的 括号内 1 定义在 R R 上的函数f x 满足 f x f x 2 13 f 1 2 则f 99 A 13 B 2 C D 13 2 2 13 解析 由f x f x 2 13 知f x 2 f x 4 13 所以f x 4 f x 即 f x 是周期函数 周期为 4 所以f 99 f 3 4 24 f 3 13 f 1 13 2 答案 C 2 精选考题 郑州 定义在 R R 上的函数f x 满足 对于任意 R R 总有 f f f 精选考题 则下列说法正确的是 A f x 1 是奇函数 B f x 1 是奇函数 C f x 精选考题是奇函数 D f x 精选考题是奇函数 解析 依题意 取 0 得f 0 精选考题 取 x x 得f 0 f x f x 精选考题 f x 精选考题 f x f 0 f x 精选考题 因此函数f x 精选考题是奇函数 选 D 答案 D 3 设f x 是定义在 R R 上以 2 为周期的偶函数 已知x 0 1 时 f x log 1 x 1 2 则函数f x 在 1 2 上 A 是增函数 且f x 0 C 是减函数 且f x 0 解析 由题意得当x 1 2 时 0 2 x 1 0 x 10 则可知当x 1 2 时 f x 是减函数 选 D 1 2 1 2 答案 D 4 设f x 是连续的偶函数 且当x 0 时是单调函数 则满足f x f的所有x之 x 3 x 4 用心 爱心 专心 2 和为 A 3 B 3 C 8 D 8 解析 因为f x 是连续的偶函数 且x 0 时是单调函数 由偶函数的性质可知若f x f 只有两种情况 x x 0 x 3 x 4 x 3 x 4 x 3 x 4 由 知x2 3x 3 0 故两根之和为x1 x2 3 由 知x2 5x 3 0 故其两根之和为x3 x4 5 因此满足条件的所有x之和为 8 答案 C 5 已知奇函数f x 在区间 3 7 上是增函数 且最小值为 5 那么函数f x 在区间 7 3 上 A 是增函数且最小值为 5 B 是增函数且最大值为 5 C 是减函数且最小值为 5 D 是减函数且最大值为 5 解析 f x 为奇函数 f x 的图象关于原点对称 f x 在 3 7 上是增函数 f x 在 7 3 上也是增函数 f x 在 3 7 上的最小值为 5 由图可知函数f x 在 7 3 上有最大值 5 答案 B 评析 本题既涉及到函数的奇偶性 又涉及到函数的单调性 还涉及到函数的最值 是 一道综合性较强的题目 由于所给的函数没有具体的解析式 因此我们画出函数f x 在区间 3 7 上的示意图 由图形易得结论 6 精选考题 新课标全国 设偶函数f x 满足f x x3 8 x 0 则 x f x 2 0 A x x4 B x x4 用心 爱心 专心 3 C x x6 D x x2 解析 当x0 f x x 3 8 x3 8 又f x 是偶函数 f x f x x3 8 f x Error f x 2 Error Error 或Error 解得x 4 或x 0 故选 B 答案 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 把正确答案填在题后的横线 上 7 精选考题 江苏 设函数f x x ex ae x x R R 是偶函数 则实数a的值为 解析 设g x x h x ex ae x 因为函数g x x是奇函数 则由题意知 函数 h x ex ae x为奇函数 又函数f x 的定义域为 R R h 0 0 解得a 1 答案 1 8 已知函数f x 1 是奇函数 f x 1 是偶函数 且f 0 2 则f 4 解析 依题意有f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 所以f 4 f 3 1 f 2 f 1 1 f 0 2 答案 2 9 精选考题 湖北八校 设函数f x 的定义域 值域分别为A B 且A B是单元集 下列命题 若A B a 则f a a 若B不是单元集 则满足f f x f x 的x值可能不存在 若f x 具有奇偶性 则f x 可能为偶函数 若f x 不是常数函数 则f x 不可能为周期函数 其中 正确命题的序号为 解析 如f x x 1 A 1 0 B 0 1 满足A B 0 但f 0 0 且满足 f f x f x 的x可能不存在 错 正确 如 f x 1 A R R B 1 则f x 1 A R R 是偶函数 正确 如f x x 2k 1 A 2k 1 2k B 0 1 k Z Z f x 是 周期函数 但不是常数函数 所以 错误 答案 10 对于定义在 R R 上的函数f x 有下述四个命题 其中正确命题的序号为 用心 爱心 专心 4 若f x 是奇函数 则f x 1 的图象关于点A 1 0 对称 若对x R R 有f x 1 f x 1 则y f x 的图象关于直线x 1 对称 若函数f x 1 的图象关于直线x 1 对称 则f x 为偶函数 函数y f 1 x 与函数y f 1 x 的图象关于直线x 1 对称 解析 f x 1 的图象是由f x 的图象向右平移一个单位而得到 又f x 是奇函数 其 图象关于原点对称 所以f x 1 的图象关于点A 1 0 对称 故 正确 由f x 1 f x 1 可知f x 的周期为 2 无法判断其对称轴 故 错误 f x 1 的图象关于直线x 1 对称 则f x 关于y轴对称 故f x 为偶函数 正确 y f 1 x 的图象是由y f x 的图象向左平移一个单位后得到 y f 1 x 是由 y f x 的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到 两者图象关于y轴对称 故 错误 答案 三 解答题 本大题共 3 小题 11 12 题 13 分 13 题 14 分 写出证明过程或推演步 骤 11 已知定义域为 R R 的函数f x 是奇函数 2x b 2x 1 a 1 求a b的值 2 若对任意的t R R 不等式f t2 2t f 2t2 k 0 恒成立 求k的取值范围 分析 1 由f 0 0 可求得b 再由特殊值或奇函数定义求得a 2 先分析函数f x 的单调性 根据单调性去掉函数符号f 然后用判别式解决恒成立问题 解 1 因为f x 是定义在 R R 上的奇函数 所以f 0 0 即 0 b 1 b 1 a 2 所以f x 1 2x a 2x 1 又由f 1 f 1 知 a 2 1 2 a 4 1 1 2 a 1 2 由 1 知f x 1 2x 2 2x 1 1 2 1 2x 1 易知f x 在 上为减函数 用心 爱心 专心 5 又因f x 是奇函数 从而不等式 f t2 2t f 2t2 k 0 等价于 f t2 2t k 2t2 即对t R R 有 3t2 2t k 0 从而 4 12k 0 k 1 3 12 设函数f x 的定义域为 R R 对于任意的实数x y 都有f x y f x f y 当 x 0 时 f x 0 求证 1 f x 为奇函数 2 f x 在 上是减函数 证明 1 令x y 0 得f 0 f 0 f 0 f 0 0 再令y x 得f 0 f x f x f x f x f x 为奇函数 2 设x1 x2 且x1 x2 则x2 x1 0 当x 0 时 f x 0 f x2 x1 0 又 对于任意的实数x y都有f x y f x f y 且f x 为奇函数 f x2 x1 f x2 x1 f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 0 f x 在 上是减函数 13 设函数f x 的定义域关于原点对称 且满足 f x1 x2 f x1 f x2 1 f x2 f x1 存在正常数a 使f a 1 求证 1 f x 是奇函数 2 f x 是周期函数 并且有一个周期为 4a 证明 1 不妨令x x1 x2 则 f x f x2 x1 f x2 f x1 1 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 1 f x2 f x1 f x f x 是奇函数 2 要证f x 4a f x 可先计算f x a f x 2a f x a f