第1章阶段复习课第1课任意角的三角函数及诱导公式

1 第一课第一课 任意角的三角函数及诱导公式任意角的三角函数及诱导公式 核心速填 1 与角 终边相同的角的集合为 S k 360 k Z 2 角度制与弧度制的换算 3 弧度制下扇形的弧长和面积公式 1 弧长公式 l r 2 面积公式 S lr r2 1 2 1 2 4 任意角的三角函数 1 定义 1 设任意角 的终边与单位圆交于点 P x y 则 sin y cos x tan x 0 y x 2 定义 2 设任意角 的终边上任意一点 P 的坐标为 x y r OP 则 sin cos tan x 0 x2 y2 y r x r y x 5 同角三角函数基本关系式 sin2 cos2 1 tan sin cos 6 诱导公式记忆口诀 奇变偶不变 符号看象限 2 体系构建 题型探究 象限角及终边相同的角 已知 800 1 把 改写成 2k k Z 0 2 的形式 并指出 是第几象限角 2 求 使 与 的终边相同 且 2 2 解 1 800 3 360 280 280 14 9 800 3 2 14 9 与角终边相同 是第四象限角 14 9 2 与 终边相同的角可写为 2k k Z 的形式 而 与 的终边相同 14 9 2k k Z 14 9 又 2k k Z 2 2 2 14 9 2 3 解得 k 1 2 14 9 4 9 规律方法 1 灵活应用角度制或弧度制表示角 1 注意同一表达式中角度与弧度不能混用 2 角度制与弧度制的换算 设一个角的弧度数为 角度数为 n 则 rad n rad 180 n 180 2 象限角的判定方法 1 根据图象判定 利用图象实际操作时 依据是终边相同的角的概念 因为 0 360 之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系 2 将角转化到 0 360 范围内 在直角坐标平面内 0 360 范围内没有两 个角终边是相同的 跟踪训练 1 若 角与角终边相同 则在 0 2 内终边与 角终边相同的角是 8 5 4 导学号 由题意 得 2k k Z k Z 2 5 9 10 7 5 19 10 8 5 4 2 5 k 2 又 0 2 所以 k 0 1 2 3 4 4 2 5 9 10 7 5 19 10 弧度制下扇形弧长及面 积公式的计算 1 如图 1 1 ABC 是正三角形 曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开 线 其中弧 弧 弧的圆心依次是 A B C 如果 AB 1 那么曲 线 CDEF 的长是 4 图 1 1 2 一扇形的圆心角为 2 弧度 记此扇形的周长为 c 面积为 S 则的最 c 1 S 大值为 1 4 2 4 1 弧的长是 120 1 180 2 3 弧的长是 120 2 180 4 3 弧的长是 2 120 3 180 则曲线 CDEF 的长是 2 4 2 3 4 3 2 设扇形的弧长为 l 半径为 r 圆心角大小为 2 弧度 则 l 2r 可求 c l 2r 2r 2r 4r 扇形的面积为 S lr r2 2 r2 1 2 1 2 所以 2 c 1 S 4r 1 r2 1 r 4 r 2 4 4 1 r 2 r 时等号成立 所以的最大值为 4 1 2 c 1 S 规律方法 弧度制下有关弧长 扇形面积问题的解题策略 1 明确弧度制下弧长公式 l r 扇形的面积公式是 S lr r2 其中 l 1 2 1 2 是扇形的弧长 是扇形的圆心角 2 涉及扇形的周长 弧长 圆心角 面积等的计算 关键是先分析题目已知 哪些量 求哪些量 然后灵活运用弧长公式 扇形面积公式直接求解或列方程 组 求解 跟踪训练 2 如图 1 2 已知扇形 AOB 的圆心角为 120 半径长为 6 求弓形 ACB 5 的面积 导学号 图 1 2 解 120 120 180 2 3 l 6 4 的长为 4 2 3 S扇形 OAB lr 4 6 12 1 2 1 2 如图所示 作 OD AB 有 S OAB AB OD 2 6cos 30 3 9 1 2 1 23 S弓形 ACB S扇形 OAB S OAB 12 9 3 弓形 ACB 的面积为 12 9 3 任意角三角函数的定义 1 若一个 角的终边上有一点 P 4 a 且 sin cos 则 3 4 a 的值为 A 4 B 4 33 C 4或 D 3 4 3 33 2 已知角 的终边经过点 P 12m 5m m 0 求 sin cos tan 的 值 导学号 1 C 1 因为 角的终边上有一点 P 4 a 所以 tan a 4 6 所以 sin cos sin cos sin2 cos2 tan tan2 1 a 4 a 4 2 1 3 4 整理得a2 16a 16 0 a 4 a 4 0 所以 a 4或 33333 4 3 3 2 r 13 m 12m 2 5m 2 若 m 0 则 r 13m 为第四象限角 sin y r 5m 13m 5 13 cos x r 12m 13m 12 13 tan y x 5m 12m 5 12 若 m 0 则 r 13m 为第二象限角 sin y r 5m 13m 5 13 cos x r 12m 13m 12 13 tan y x 5m 12m 5 12 规律方法 利用定义求三角函数值的两种方法 1 先由直线与单位圆相交求出交点坐标 再利用正弦 余弦 正切函数的定 义 求出相应的三角函数值 2 取角 的终边上任意一点 P a b 原点除外 则对应的角 的正弦值 sin 余弦值 cos 正切值 tan 当角 的终边上点的 b a2 b2 a a2 b2 b a 坐标以参数形式给出时 要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 跟踪训练 3 如果点 P sin cos 2cos 位于第三象限 试判断角 所在的象限 7 导学号 解 因为点 P sin cos 2cos 位于第三象限 所以 sin cos 0 2cos 0 即Error 所以角 在第二象限 同角三角函数基本关系和 诱导公式的应用 1 已知 sin 2cos 3 0 则 sin cos sin cos 2 已知 f sin2 cos 2 tan sin tan 3 化简 f 若 f 且 求 cos sin 的值 1 8 4 2 若 求 f 的值 导学号 47 4 思路探究 先用诱导公式化简 再用同角三角函数基本关系求值 1 1 由已知得 sin 2cos 0 故 tan 2 1 3 则 sin cos sin cos tan 1 tan 1 2 1 2 1 1 3 2 f sin cos sin2 cos tan sin tan 由 f sin cos 可知 1 8 cos sin 2 cos2 2sin cos sin2 1 2sin cos 1 2 1 8 3 4 又 cos sin 4 2 即 cos sin 0 8 cos sin 3 2 6 2 47 4 4 f cos sin 47 4 47 4 47 4 cos sin 6 2 4 6 2 4 cos sin 4 4 2 2 2 2 1 2 母题探究 1 将本例 2 中 改为 8 改为 0 1 8 4 2 4 求 cos sin 解 因为 0 所以 cos 0 sin 0 且 cos sin 4 所以 cos sin 0 又 cos sin 2 1 2sin cos 1 2 1 8 3 4 所以 cos sin 3 2 2 将本例 2 中的用 tan 表示 1 f cos2 解 1 f cos2 1 sin cos cos2 sin2 cos2 sin cos cos2 tan2 1 tan 1 规律方法 1 牢记两个基本关系式 sin2 co