湖南长沙市一中高中数学 2.3等差数列的前n项和（一） 教案 新人教版必修5

用心 爱心 专心 1 2 32 3 等差数列的前等差数列的前 n n 项和 一 项和 一 教学目标 1 等差数列前 n 项和公式 2 等差数列前 n 项和公式及其获取思路 3 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题 二 教学重点 等差数列前 n 项和公式的理解 推导及应用 教学难点 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 三 教学过程 一 复习引入 1 等差数列的定义 n a 1 n a d n 2 n N 2 等差数列的通项公式 1 dnaan 1 1 2 n admnam 3 n a pn q p q 是常数 3 几种计算公差 d 的方法 n ad 1 n a 1 1 n aa d n mn aa d mn 4 等差中项 2 ba ba A 成等差数列 5 等差数列的性质 m n p q qpnm aaaa m n p q N 6 数列的前 n 项和 数列 n a中 n aaaa 321 称为数列 n a的前 n 项和 记为 n S 小故事 1 2 3 高斯是伟大的数学家 天文学家 高斯十岁时 有一次老师出了一道题目 老师说 现在给 大家出道题目 1 2 100 过了两分钟 正当大家在 1 2 3 3 3 6 4 6 10 算得不亦乐乎时 高斯站起来回答说 1 2 3 100 5050 教师问 你是如何算出答案的 高斯回答说 因为 1 100 101 2 99 101 50 51 101 所以 101 50 5050 这个故事告诉我们 1 作为数学王子的高斯从小就善于观察 敢于思考 所以他能从一些简单的事物中发现 和寻找出某些规律性的东西 2 该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法 这就是下面我们要 介绍的 倒序相加 法 二 讲解新课 1 等差数列的前n项和公式 1 2 1n n aan S 用心 爱心 专心 2 证明 nnn aaaaaS 1321 1221 aaaaaS nnnn 2 23121nnnnnn aaaaaaaaS 23121nnn aaaaaa 2 1nn aanS 由此得 2 1n n aan S 2 等差数列的前n项和公式 2 2 1 1 dnn naSn 用上述公式要求 n S必须具备三个条件 n aan 1 但dnaan 1 1 代入公式 1 即得 2 1 1 dnn naSn 此公式要求 n S必须已知三个条件 dan 1 总之 两个公式都表明要求 n S必须已知 n adan 1 中三个 公式二又可化成式子 n d an d Sn 2 2 1 2 当 d 0 是一个常数项为零的二次式 三 例题讲解 例例 1 1 1 已知等差数列 an 中 a1 4 S8 172 求 a8和 d 2 等差数列 10 6 2 2 前多少项的和是 54 解 1 39 2 4 8 172 8 8 a a 5 18 439 dd 2 设题中的等差数列为 n a 前 n 项为 n S 则 54 4 10 6 10 1 n Sda 由公式可得544 2 1 10 nn n 解之得 3 9 21 nn 舍去 等差数列 10 6 2 2 前 9 项的和是 54 例 2 教材 P43 面的例 1 解 例 3 求集合 100 7 mNnnmmM且的元素个数 并求这些元素的和 解 由1007 n得 7 2 14 7 100 n 正整数n共有 14 个即M中共有 14 个元素 即 7 14 21 98 是为首项7 1 a98 14 a等差数列 用心 爱心 专心 3 735 2 987 14 n S 答 略 例 4 等差数列 n a的前n项和为 n S 若 1220 84 460SS 求 28 S 学生练 学生练 学生板书学生板书 教师点评及规范 教师点评及规范 练习 练习 在等差数列 n a中 已知 399 200aa 求 101 S 在等差数列 n a中 已知 151296 20aaaa 求 20 S 例 4 已知等差数列 an 前四项和为 21 最后四项的和为 67 所有项的和为 286 求项数 n 解 依题意 得 67 21 321 4321 nnnn aaaa aaaa 两式相加得 88 3423121 nnnn aaaaaaaa 又 3423121 nnnn aaaaaaaa所以22 1 n aa 又286 2 1 n n aan S 所以 n 26 例 5 已知一个等差数列 an 前 10 项和为 310 前 20 项的和为 1220 由这些条件能确定这个 等差数 列的前 n 项的和吗 思考 1 1 等差数列中 1020103020 SSSSS 成等差数列吗 2 等差数列前 m 项和为 m S 则 m S mm SS 2 mm SS 23 是等差数列吗 练习 教材第 118 页练习第 1 3