常微分课后答案第五章

第五章第五章 线性微分方程组线性微分方程组 5 1 存在唯一性定理存在唯一性定理 习题习题 5 1 1 给定方程组 xx 01 10 2 1 x x x 试验证 分别是方程组 的满足初始条件 a t t tu sin cos t t tv cos sin 的解 0 1 0 u 1 0 0 v 试验证是方程组 的满足初始条件的解 其 b 21 tvctuctw 2 1 c c tw 中是任意常数 21 c c 证明证明 显然 a 0 1 0 u 1 0 0 v 01 10 sin cos 01 10 cos sin tu t t t t tu 01 10 cos sin 01 10 sin cos tv t t t t tv 所以 分别是方程组 的满足初始条件 t t tu sin cos t t tv cos sin 0 1 0 u 的解 1 0 0 v 又 b 2 1 2121 1 0 0 1 0 0 0 c c ccvcucw 01 10 01 10 2121 tvctuctvctuctw 01 10 01 10 21 twtvctuc 所以是方程组 的满足初始条件的解 其中 21 tvctuctw 2 1 c c tw 是任意常数 21 c c 2 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题 a t etxxx 727 1 x2 1 x b t texx 4 1 0 x1 0 x 2 0 x 0 0 x c txyyy eyxyx t cos15132 675 1 0 x0 0 x 0 0 y1 0 y 提示 令 ywywxwxw 4321 解解 设 则 即与该 axxxx 21 21 xxx t etxxxx 122 72 初值问题等价的一阶方程组的初值问题为 2 1 7 1 27 21 212 21 xx extxx xx t 设 bxxxxxxxx 4321 则 则得等价的一阶方 21 xxx 32 xxx 43 xxx t texx 14 程组的初值问题为 t texx xx xx xx 14 43 32 21 0 2 1 1 0 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x x 令 有 cywywxwxw 4321 twwww ww ewwww ww t cos13215 567 4314 43 4312 21 1 0 0 1 0 0 0 0 0 4 3 2 1 w w w w w 为与原初值问题等价的一阶方程组的初值问题 3 试用逐步逼近法求方程组 xx 01 10 2 1 x x x 满足初始条件的第三次近似解 1 0 0 x 解解 1 0 0 t 11 0 01 10 1 0 0 1 t dst t 2 2 1 0 2 1101 10 1 0 t t ds s t t 第三次近似解为 2 2 1 3 6 1 0 2 2 1 3 1101 10 1 0 t tt ds s s t t 5 2 线性微分方程组的一般理论线性微分方程组的一般理论 习题习题 5 2 1 试验证 12 2 t tt t 是方程组 x tt x 22 10 2 2 1 x x x 在任何不包含原点的区间上的基解矩阵 bta 证明证明 设 则由于 t t t 2 2 1 1 2 t t 22 10 2 22 10 2 2 1 2 2 2 1 t tt t t tt t t 22 10 1 22 10 0 1 2 22 2 t tt t tt t 所以都是方程组的解 因而是所给方程组的解矩阵 又 21 tt 21 ttt 由于在任何不包含原点的区间上 故是所 ba0 det 2 tt bat t 给方程组的基解矩阵 2 考虑方程组 5 15 xtAx 其中是区间上的连续矩阵 它的元素为 tAbta nn taijnji 2 1 如果是 5 15 的任意个解 那么它们的 Wronsky 行列式 a 21 txtxtx n n 满足下面的一阶线性微分方程 21 txtxtxW n WtatataW nn 2211 提示 利用行列式的微分公式 求出的表达式 W 解上面的一阶线性微分方程 证明下面的公式 b t t nn dssasasa etWtW 0 2211 0 0 batt 证明证明 a 21 22221 11211 21 22221 11211 txtxtx txtxtx txtxtx txtxtx txtxtx txtxtx tW nnnn n n nnnn n n 21 22221 1 1 1 21 1 11 txtxtx txtxtx txtatxtatxta nnnn n n k knk n k kk n k kk n k knnk n k knk n k knk n n txtatxtatxta txtxtx txtxtx 11 2 1 1 22221 11211 21 22221 11211 21 22221 11211 11 txtxtx txtxtx txtxtx ta txtxtx txtxtx txtxtx ta nnnn n n nn nnnn n n 11 tWtata nn 所以是一阶线性微分方程的解 tWWtatataW nn 2211 由知 分离变量后两边积分求解得 b aWtatataW nn 2211 t t nn dssasasa cetW 0 2211 时就得到 所以 0 tt 0 tWc t t nn dssasasa etWtW 0 2211 0 0 batt 3 设为区间上的连续实矩阵 为方程的基解矩阵 tA bann t xtAx 而为其一解 试证 tx 对于方程的任一解必有常数 aytAy T t tt T 为方程的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵 b t ytAy T C 使 Ctt T 证明证明 由于是方程的解 故有 为方程 a t xtAx ttAt t 的解 故 所以ytAy T ttAt T tttttttttt TTTTT ttAttttA TTT 0 ttAtttAt TT 所以常数 tt T 是方程的基解矩阵 因此 是方 b t xtAx ttAt t 程的基解矩阵 故 且ytAy T ttAt T 和 所以0 det t0 det t tttttttttt TTTTT ttAttttA TTT 0 ttAtttAt TT 故是常数矩阵 设 则 tt T Ctt T 0 det det det det det det ttttttC TT 因此存在非奇异常数矩阵 使 CCtt T 若存在非奇异常数矩阵 使 则有 CCtt T det det det det det det0ttttttC TT 所以 即是非奇异矩阵或说的各列是线性无关的 又0 det t t t 0ttAttttttttt TTTtT 并注意到 有 即 0 det t tAtt TT ttAt T 从而是方程的基解矩阵 t ytAy T 4 设为方程 为常数矩阵 的标准基解矩阵 即 t Axx Ann E 0 证明 其中为某一值 00 1 tttt 0 t 证明证明 由于为常数矩阵 故在有定义 连续 从而它的解也在Ann A 连续可导 由为方程的基解矩阵 故 有 并且有 t Axx t0 det t 从而对某个 有 且 tAt 0 t0 det 0 tt 00000 ttAtttttttt 即亦为方程的基解矩阵 由推论推论 2 存在一个非奇异常数矩阵 使 0 tt Axx G 得在区间上 又因为 Gttt 0 GtttE 0 000 所以 0 1 tG 因此 其中为某一值 00 1 tttt 0 t 5 设分别为在区间上连续的矩阵和维列向量 证明方程组 tftA bann n 存在且最多存在个线性无关解 tfxtAx 1 n 证明证明 设方程组的基解矩阵为 而xtAx 21 tttt n 是方程组的一个特解 则其通解为 其中是任 t tfxtAx tctx c 意的常数列向量 若不恒为 0 则必与线性无关 从而 tf t 21 ttt n 线性无关 即方程组 t 1 tt 2 tt 2 tt 存在个线性无关解 tfxtAx 1 n 又假若是方程组的任意一个解 则一定有确定的常数列向量 tx tfxtAx c 使得 将其加入 tcttx t 1 tt 2 tt 这一组向量就线性相关 故方程组的任何个解必 2 tt tfxtAx 2 n 线性相关 从而方程组存在且最多存在个线性无关解 tfxtAx 1 n 6 试证非齐线性微分方程组的叠加原理 设分别是方程组 21 txtx 1 tfxtAx 2 tfxtAx 的解 则是方程组的解 21 txtx 21 tftfxtAx 证明证明 因为分别是方程组 21 txtx 1 tfxtAx 2 tfxtAx 的解 故 所以有 111 tftxtAtx 222 tftxtAtx 22112121 tftxtAtftxtAtxtxtxtx 2121 tftftxtxtA 所以是方程组的解 21 txtx 21 tftfxtAx 7 考虑方程组 其中 tfAxx 20 12 A 2 1 x x x t t tf cos sin 试验证是的基解矩阵 a t tt e tee t 2 22 0 Axx 试求的满足初始条件的解 b tfAxx 1 1 0 t 证明证明 成立 而 a0 0 det 4 2 22 t t tt e e tee t t 020 12 20 12 2 2 22 2 22 tA e tee e ete t t tt t tt 所以是的基解矩阵 t Axx 这样 由定理定理 8 方程组满足初始 b 10 1 0 1 2 2 22 4 1 s e e see e s s s ss s 条件的解就是 0 0 0 t s t tt t ds s ss e e tee dssfstt 0 2 2 22 0 1 cos sin 10 1 0 t s t tt ds s sss e e tee 0 2 2 22 cos cossin 0 5 2 cos2 sin 5 1 25 2 cos2sin14sin5cos10 25 1 02 2 2 22 tte tttttte e tee t t t tt cos2sin2 5 1 cossin75 25 2 2 22 tte ttete t tt 对应的齐线性方程组满足初始条件的解就是 1 1 0 h t t t tt hh e te E e tee tt 2 2 1 2 22 1 1 1 1 0 0 0 所以 所求方程组的满足初始条件的解为 tfAxx 1 1 0 cos2 sin 5 1 5 3 cossin7 25 2 1527 25 1 2 2 tte ttte ttt t t h 8 试求 其中 tfAxx 20 12 A 2 1 x x x t t tf cos sin 满足初始条件的解 1 1 0 t 解解 由上题知 且这里 t t h e te t 2 2 1 t s s t tt t ds e s e e tee dssfstt 0 2 2 2 22 0 1 0 10 1 0 t t t tt t t tt te et t t e tee ds s e tee 2 22 2 2 22 0 2 22 2 1 2 1 010 所以 所求方程组的满足初始条件的解为 tfAxx 1 1 0 t t h et ett ttt 2 22 1 2 1 1 9 试求下列方程的通解 atxxsec 22 t b t exx 2 8 c t exxx 96 解解 易知对应的齐线性方程的基本解组为 a0 xxttxcos 1 用公式 5 31 来求方程的一个解 这时ttxsin 2 取 有1 cossin sincos 21 tt tt txtxW0 0 t tt t sdsststdssf sxsxW sxtxsxtx t 0 21 2112 sec sincoscos sin 0 ttttsdstdst tt coslncossintancossin 00 所以方程的通解为 tttttctcxcoslncossinsincos 21 由于特征方程的根是 故对应的齐线性方程 b08 3 2 1 i31 3 2 的基本解组为 t etx 2 1 tetx t 3cos 2 tetx t 3sin 3 原方程的一个特解由公式 5 29 有 取 0 0 t 3 1 321 321 0 k t t k k dssf sxsxsxW sxsxsxW txt 其中 321 txtxtxWtW 3sin3cos3 2 3sin33 cos24 3sin3cos3 3sin33 cos2 3sin3cos 2 2 2 ttettee ttettee tetee ttt ttt ttt 312 3211 txtxtxWtW 3sin3cos3 2 3sin33 cos21 3sin3cos3 3sin33 cos0 3sin3cos0 ttette ttette tete tt tt tt t e 2 3 3212 txtxtxWtW 3cos33sin3 3sin3cos3 214 3sin3cos3 02 3sin0 2 2 2 tte ttee ttee tee t tt tt tt 3213 txtxtxWtW 3sin33cos3 1 3sin33 cos24 0 3sin33 cos2 03cos 2 2 2 tte ttee ttee tee t tt tt tt 所以 t s s t t sst dse sse tedseeet 0 2 0 222 312 3cos33sin3 3cos 312 3 t s s t dse sse te 0 2 312 3sin33cos3 3sin 3cos33 sin 324 1 24 1 12 1 22 tteete ttt 故通解 ttt tetctceectx 2 32 2 1 12 1 3sin3cos 特征方程 得到特征根 故对应的齐线性方程的基本解组 c096 2 3 2 1 为 取 由 5 31 得 t etx 3 1 t tetx 3 2 t tt tt e ete tee tW 6 33 33 31 3 0 0 t 特解 t s s stst t t dse e seeete dssf sW sxtxsxtx t 0 6 3333 2112 0 ttt t st eteedseste 33 0 23 4 1 2 1 4 1 所以得到通解 tt eetcctx 4 1 3 21 10 给定方程 其中在上连续 试利用常数变 78tfxxx tf t0 易公式 证明 若在上有界 则上面方程的每一个解在上有界 a tf t0 t0 若当时 则上面方程的每一个解 满足 当 b t0 tf t 0 t 时 t 证明证明 对应的特征方程有特征根 故对应的齐线性方程的基078 2 7 1 本解组 由公式 5 31 得 t etx 1 t etx 7 2 t tt tt e ee ee tW 8 7 7 6 7 原方程的一个特解 为0 0 t t s stst t t dssf e eeee dssf sW sxtxsxtx t 0 8 77 2112 6 0 t st t st dssfeedssfee 0 77 0 6 1 6 1 所以方程的任一解可写为 t st t sttt dssfeedssfeeecect 0 77 0 7 21 6 1 6 1 由于在上有界 故 有 又 a tf t00 M 0 tMtf 由于 从而当时 10 t e10 7 t e 0 t t st t st dseMedseMecct 0 77 0 21 6 1 6 1 1 42 1 6 77 21 tttt ee M ee M cc 1 42 1 6 7 21 tt e M e M cc Mcc 21 4 21 即方程的每一个解在上有界 t0 当时 故由 b t0 tf t st t sttt dssfeedssfeeecect 0 77 0 7 21 6 1 6 1 知 若有界 则 若无界 由于 t s dssfe 0 0 6 1 0 tdssfee t st t s dssfe 0 在连续 故为无穷大量 因此 sf 0 t s dssfe 0 0 lim 6 1 6 lim 6 lim 6 1 lim 0 0 tf e tfe e dssfe dssfee t t t t t t s t t st t 即总有 同理 从而对方 0 6 1 0 tdssfee t st 0 6 1 0 77 tdssfee t st 程的每一个解 有 t 0 tt 11 给定方程组 这里是区间上的连续矩阵 设是xtAx tA bann t 它的一个基解矩阵 维向量函数在上连续 试n xtF xbta 0 bat 证明初值问题 0 t xtFxtAx 的唯一解是积分方程组 t t t dssxsFsttttx 0 1 0 1 的连续解 反之 的连续解也是初值问题 的解 证明证明 是初值问题 的解 故 这说明 t ttFttAt 是 的向量函数 于是由公式 5 27 得 xtFt t t dsssFstttt 0 1 0 1 即是积分方程组 的连续解 t 反之 设是积分方程组 的连续解 则有 t t t dsssFstttt 0 1 0 1 两端对 求导 就有t 11 0 1 0 ttFttdsssFstttt t t 0 1 0 1 ttFdsssFstt t t 0 1 0 1 ttFdsssFstttA t t 0 1 0 1 ttFdsssFsttttA t t ttFttA 即也是初值问题 的解 t 5 3 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组 习题习题 5 3 1 假设是矩阵 试证 Ann 对任意的常数都有 a 21 c cAcAcAcAc 2121 expexp exp 对任意整数 都有 bkkAA k exp exp 当是负整数时 规定 k kk AA exp exp 1 证明证明 因为 所以矩阵与可交换 a 12 2 2121 AcAcAccAcAc Ac1Ac2 故 AcAcAcAc 2121 expexp exp 先证明 有 这只须对施以数学归纳法 bNk kAA k exp exp k 当时 成立 设当时 则1 k 1exp exp exp 1 AAA kkAA k exp exp 当时 有1 k AkAkAAAA kk 1exp expexpexp exp exp 1 故对一切自然数 kkAA k exp exp 0exp 0exp exp 0 AEA 若是负整数 则 注意到 并由以上证明应用于kNk exp exp 1 AA 矩阵 就有A kAAkAAA kkk exp exp exp exp exp 1 由 对一切整数 均有 kkAA k exp exp 2 试证 如果是满足初始条件的解 那么 t Axx 0 t exp 0 ttAt 证明证明 由于 AttAttAt exp exp 00 exp 0 tAttAA 又 故是方程组满足初始 EAt 0 exp 0 exp 0 ttAt Axx 条件的解 由解的唯一性 命题得证 0 t 3 试计算下列矩阵的特征值及对应的特征向量 a 34 21 b 244 354 332 c 102 111 121 d 6116 100 010 解解 特征方程 特征值 a054 34 21 det 2 AE1 1 对应于特征值的特征向量必须满足方程组 5 2 1 1 2 1 u u u0 1 uEA 得到 是对应于特征值的特征向量 0 1 1 u1 1 类似地可求得对应于特征值的特征向量为 其中的任意常5 2 2 1 v0 数 特征方程 b 0 2 1 2 244 354 332 det AE 特征值 对应于特征值的特征向量必须满足2 1 1 2 2 3 2 1 u 方程组 得到 是对应于特征值的特征向0 1 uEA 0 1 1 0 u2 1 量 类似地 可以求出对应于特征值以及的特征向量分别为1 2 2 3 的任意常数 和 的任意常数 0 1 1 v0 1 1 1 w0 特征方程 c 0 1 3 102 111 121 det 2 AE 特征值 对应于特征值的特征向量必须满足1 2 1 3 3 1 2 1 3 2 1 u u u u 方程组 得 是对应于特征值的特征向0 1 uEA 0 2 1 2 u1 2 1 量 类似地 可以求出对应于特征值的特征向量为 的任意常数 3 3 2 1 2 v0 特征方程 d 0 3 2 1 6116 10 01 det AE 特征值 由 推出 1 1 2 2 3 3 0 1 uEA 0 是对应于特征值的特征向量 同样可求得对应于特征值和 1 1 1 u1 1 2 2 的特征向量分别为 的任意常数 和 的任3 3 4 2 1 v0 9 3 1 w0 意常数 4 试求方程组的一个基解矩阵 并计算 其中为 Axx AtexpA a 21 12 b 34 21 c 244 354 332 d 115 118 301 解解 特征方程 得是特征 a03 21 12 det 2 AE3 2 1 值 对应的特征向量分别为 为任意常 32 1 1 u 32 1 2 u0 0 数 所以方程组的一个基解矩阵为 Axx tt tt ee ee t 33 33 32 32 1 33 33 1 3232 11 32 32 0 exp tt tt ee ee tAt tttt tttt eeee eeee 3333 3333 32 32 32 32 6 3 由第 3 题立即得到方程组的一个基解矩阵为 b aAxx tt tt ee ee t 5 5 2 1 5 5 1 21 11 2 0 exp tt tt ee ee tAt tttt tttt eeee eeee 55 55 2 2 2 3 1 由第 3 题立即得到方程组的一个基解矩阵为 c bAxx tt ttt tt ee eee ee t 22 22 2 0 0 1 22 22 2 1 101 111 110 0 0 0 exp tt ttt tt ee eee ee tAt ttttt ttttttt ttttt eeeee eeeeeee eeeee 22222 22222 222 特征方程 特征值 d0 34 3 115 118 301 det 2 AE 为 对应的特征向量分别为 3 1 72 3 2 4 7 3 1 u 均为不等于零的任意常数 故方程组 71 745 3 2 u 71 745 3 3 u 的一个基解矩阵为Axx ttt ttt ttt eee eee eee t 72 72 3 72 72 3 72 72 3 17 17 4 574 574 7 333 由立即可得 其中列向量函数 0 exp 1 tAt exp 321 tttAt ttt ttt ttt eee eee eee t 72 72 3 72 72 3 72 72 3 1 7514 2 7514 256 71349 49713 98 737 3 737 342 84 1 ttt ttt ttt eee eee eee t 72 72 3 72 72 3 72 72 3 1 714 2 714 256 753175 753175 98 757 3 757 342 252 1 ttt ttt ttt eee eee eee t 72 72 3 72 72 3 72 72 3 1 7137 7137 112 98761 98761 196 714 3 714 384 126 1 该题计算量太大 作为该法的习题不是太好 5 试求方程组的一个基解矩阵 并求满足初始条件的解 Axx 0 t a 34 21 A 3 3 b 115 118 301 A 7 2 0 c 102 111 121 A 0 0 1 解解 由上题知 所以所求解为 a b 11 12 23 1 exp 5 5 tt tt ee ee At tt tt ee ee Att 5 5 4 2 exp 由上题知 其中 b d 0 exp 1 tAt ttt ttt ttt eee eee eee t 72 72 3 72 72 3 72 72 3 17 17 4 574 574 7 333 所以所求解为 7 2 0 714 2775 773 3 714 2775 773 3 321442 252 1 exp tAtt ttt ttt ttt eee eee eee 72 72 3 72 72 3 72 72 3 7317 3 78977 728 7160289 3 7374511 1274 7435 9 9172 3546 126 1 由第 3 题知 矩阵的特征值为 对应于特征值的 c cA1 2 1 3 3 3 3 特征向量 的任意常数 又由 得 2 1 2 v0 0 648 324 648 3 2 1 2 1 u u u uAE 到 是任意常数 由解 24 3 3 3 1 u 24 3 3 3 1 2 1 2 0 0 1 出 依公式 5 52 得满足初始条件的解为 4 1 2 1 4 1 0 2 1 2 1202 1 212 4 1 2 1 2 4 1 33 tt tt ttt eeuEAtEeEvet tttt 2 2 4 1 3 3 3 tt tt tt ee ee ee 6 试求方程组的解 tfAxx t a 1 1 0 34 21 A 1 t e tf b 0 0 0 0 6116 100 010 A t e tf0 0 c 2 1 0 12 34 A t t tf cos2 sin 解解 由第 4 题知 由公式 5 61 得 a b 11 12 23 1 exp 5 5 tt tt ee ee At t dssfAstAtt 0 exp exp t s stst stst tt tt ds e ee ee ee ee 0 5 5 5 5 111 12 23 1 1 1 11 12 23 1 5 3 10 9 2 3 5 4 20 9 3 4 3 5 5 ttt ttt eee eee 由第 3 题知的特征值 对应的特征向量分别为 b dA1 1 2 2 3 3 其中均是不为零的任意常数 1 1 1 u 4 2 1 v 9 3 1 w 的一个基解矩阵为 Axx ttt ttt ttt ttt eee eee eee weveuet 32 32 32 94 32 321 而 132 286 156 2 1 941 321 111 0 1 1 0 exp 1 tAt 由公式 5 61 得 t dssfAstAtt 0 exp exp 0 0 0 132 286 156 94 32 2 1 32 32 32 ttt ttt ttt eee eee eee t sststst ststst ststst ds eeee eee eee 0 3 2 3 2 3 2 0 0 132 286 156 94 32 2 1 ttt ttt ttt t tstst tstst tstst eeet eeet eeet ds eee eee eee 32 32 32 0 322 322 322 916 72 38 25 4 32 4 1 98 34 2 2 1 的特征方程 求解得特征值 cA0 2 1 12 34 det AE 对应的特征向量分别是 其中是不为零的1 1 2 2 1 1 u 2 3 v 任意常数 所以方程组的一个基解矩阵为 Axx tt tt t t ee ee veuet 2 2 2 3 2 1 从而 由公式 5 61 得 11 32 0 exp 1 ttAt t dssfAstAtt 0 exp exp t stst stst tt tt ds s s ee ee ee ee 0 2 2 2 1 2 2 cos2 sin 11 32 2 3 11 32 2 3 ttee ttee ee ee tt tt tt tt cos2sin224 cossin234 2 23 3 23 2 2 2 2112 2 2112 ttee ttee tt tt cos2sin2 2 423 cossin2 3 423 2 2112 2 2112 7 假设不是矩阵的特征值 试证非齐线性方程组有一解形如mA mt ceAxx 其中是常数向量 mt et c 证明证明 设方程组有形如的解 代入方程得 由此 mt et mtmtmt ceeAem 得 即 因为不是矩阵的特征值 故 cAm cAmE mA0 det AmE 即矩阵可逆 得到唯一确定 AmE cAmE 1 所以方程组有一解 mtmt eceAmEt 1 8 给定方程组 02 023 2211 22111 xxxx xxxxx 试证上面方程组等价于方程组 其中 aAuu 2 1 1 3 2 1 x x x u u u u 112 244 010 A 试求中的方程组的基解矩阵 b a 试求原方程组满足初始条件 的解 c0 0 1 x1 0 1 x 0 0 2 x 解解 设 则原方程组化为 a 11 xu 12 xu 23 xu 2 23 32123 331212 211 uuuxu uuuuxu uxu 或 即或 3213 3212 21 2 244 uuuu uuuu uu uu 112 244 010 Auu 反之 设 则方程组化为 11 ux 21 ux 32 ux Auu 2112 2111 2 244 xxxx xxxx 即 02 023 2211 22111 xxxx xxxxx 由 得矩阵的特征值 b0 2 1 112 244 01 det AEA 对应的特征向量分别为 0 1 1 2 2 3 2 0 1 u 1 2 2 v 0 2 1 w 其中均为不等于零的任意常数 由此得的一个基解矩阵 Auu 02 220 21 2 2 321 t tt tt ttt e ee ee weveuet 求与之等价的方程组 满足初始条件的解 cAuu 0 1 0 0 u 0 exp 1 tAttu t tt tt t tt tt e ee ee e ee ee 22 64 341 2 1 0 1 0 012 220 121 02 220 21 2 2 1 2 2 所以 原方程组满足初始条件 的解为0 0 1 x1 0 1 x 0 0 2 x t tt e ee t 22 341 2 1 2 9 试用 Laplace 变换法解第 5 题和第 6 题 解解 5 方程组两边取 Laplace 变换 有 即 a sAXssX 由具体数值代入得方程组 根据 sXAsE 3 3 34 21 2 1 sX sX s s Gramer 法则得 5 2 1 1 1 ss sX 5 4 1 1 2 ss sX 所以 故初值问题 5 的解为 tt eet 5 1 2 tt eet 5 2 4 a tt tt ee ee t t t 5 5 2 1 4 2 5 对方程组两边施行 Laplace 变换 并化简有 用具体数值代 b sXAsE 入得方程组 根据 Gramer 法则得 7 2 0 115 118 301 3 2 1 sX sX sX s s s 72 42 7291 72 42 7291 3 3 13 34 3 1521 2 1 ssssss s sX 72 126 7376511 72 126 7376511 3 9 91 34 3 14372 2 2 2 ssssss ss sX 72 126 78977 72 126 78977 3 9 52 34 3 5127 2 2 3 ssssss ss sX 所以 ttt eeet 72 72 3 1 42 7291 42 7291 3 13 ttt eeet 72 72 3 2 126 7376511 126 7376511 9 91 ttt eeet 72 72 3 3 126 78977 126 78977 9 52 故初值问题 5 的解为 b ttt ttt ttt eee eee eee t t t t 72 72 3 72 72 3 72 72 3 3 2 1 126 78977 126 78977 9 52 126 7376511 126 7376511 9 91 42 7291 42 7291 3 13 5 对方程组两边施行 Laplace 变换 并化简有 用具体数值代 c sXAsE 入得方程组 根据 Gramer 法则得 0 0 1 102 111 121 3 2 1 sX sX sX s s s 3 1 2 1 1 1 2 1 1 ss sX 3 1 4 1 1 1 4 1 2 ss sX 3 1 2 1 1 1 2 1 1 ss sX 所以 故初值问题 2 1 3 1 tt eet 4 1 3 2 tt eet 2 1 3 3 tt eet 5 的解为 a 2 2 4 1 3 3 3 3 2 1 tt tt tt ee ee ee t t t t 6 对方程组两边施行 Laplace 变换 得 即 a tfLsAXssX tfLsXAsE 具体数据代入得 s s sX sX s s 1 1 1 1 1 34 21 2 1 所以 5 1 20 3 1 1 1 1 4 11 5 2 1 ssss sX 5 1 10 3 1 1 1 1 2 11 5 1 1 ssss sX 故有 ttt eeet 5 1 20 3 4 1 5 2 ttt eeet 5 2 10 3 2 1 5 1 因而初值问题 6 的解为 a ttt ttt eee eee t t t 5 5 2 1 10 3 2 1 5 1 20 3 4 1 5 2 6 对方程组两边施行 Laplace 变换 并化简有 代入 b tfLsXAsE 具体数值有 1 1 0 0 0 0 0 6116 10 01 3 2 1 s sX sX sX s s s 解得 3 1 4 1 2 1 1 1 2 1 1 1 4 3 2 1 ssss sX 3 1 4 3 2 2 1 1 2 1 1 1 4 5 2 2 ssss sX 3 1 4 9 2 4 1 1 2 1 1 1 4 7 2 3 ssss sX 所以得 tttt eeteet 32 1 4 1 2 1 4 3 tttt eeteet 32 1 4 3 2 2 1 4 5 tttt eeteet 32 3 4 9 4 2 1 4 7 因而初值问题 6 的解为 b tttt tttt tttt eetee eetee eetee t t t t 32 32 32 3 2 1 91627 3825 423 4 1 6 对方程组两边施行 Laplace 变换 并化简有 代入 c tfLsXAsE 具体数值有 1 2 1 1 12 34 2 2 2 1 2 1 s s s sX sX s s 解得 2 1 3 1 324 1 2 1 2121 22 1 ssss s sX 2 1 2 1 324 1 2 1 2 2121 22 2 ssss s sX 所以 tt eettt 2 21211 1 3 324 sin2cos tt eettt 2 21212 1 2 324 sin2cos2 故初值问