2012高考数学最后冲刺 集合与简易逻辑

用心 爱心 专心 1 最后冲刺最后冲刺 高考预测高考预测 1 集合的概念与性质 2 集合与不等式 3 集合的应用 4 简易逻辑 5 充要条件 6 集合的运算 7 逻辑在集合中的运用 8 集合的工具性 9 真假命题的判断 10 充要条件的应用 易错点 1 集合的概念与性质集合的概念与性质 1 2012 模拟题精选 设全集 U R 集合 M x x 1 P x x2 1 则下列关系中 正确的是 A M P B P M C M P D CU M P 错误答案错误答案 D 错解分析错解分析 忽视集合 P 中 x 1 部分 正确解答正确解答 C x2 1 x 1 或 x 1 故 M P 2 2012 模拟题精选 设 P Q 为两个非空实数集合 定义集合 P Q a b a P b Q 若 P 0 2 5 Q 1 2 6 则 P Q 中元素的个数是 A 9 B 8 C 7 D 6 错误答案错误答案 A P 中元素与 Q 中元素之和共有 9 个 错解分析错解分析 忽视元素的互异性 即和相等的只能算一个 正确解答正确解答 B P 中元素分别与 Q 中元素相加和分别为 1 2 3 4 6 7 8 11 共 8 个 3 2012 模拟题精选 设 f n 2n 1 n N P l 2 3 4 5 Q 3 4 5 6 7 用心 爱心 专心 2 记P n N f n P Q n N f n 则 P CNQ Q CNP 等于 A 0 3 B 1 7 C 3 4 5 D 1 2 6 7 错误答案错误答案 D P CNQ 6 7 Q CNP 1 2 故选 D 错解分析错解分析 未理解集合P 的意义 正确解答正确解答 B P 1 3 5 Q 3 5 7 P CNQ 1 P CNQ 7 故选 B 4 设 A B I 均为非空集合 且满足 A B I 则下列各 式中错误的是 A CIA B I B CIA CIB I C A CIB D CIA CIB CIB 错误答案错误答案 因为集合 A 与 B 的补集的交集为 A B 的交集的补集 故选 D 要重视发挥图示法的作用 充分运用数形结合 数轴 坐标系 文氏图 或特例法解集合与集 合的包含关系以及集合的运算问题 直观地解决问题 2 注意空集 的特殊性 在解题中 若未能指明集合非空时 要考虑到空集的可能性 如 A B 则有 A 或 A 两种可能 此时应分类讨论 变式探究变式探究 用心 爱心 专心 3 1 全集 U R 集合 M 1 2 3 4 集合 N 12 1 xx 则 M CUN 等于 A 4 B 3 4 C 2 3 4 D 1 2 3 4 答案 B 3 设 M x x4a a R N y y 3x x R 则 A M N B M N C M N D M N 答案 B 解析 M BNyyxxMRaxx a 选 0 0 4 4 已知集合 A 0 2 3 B x x ab a b A 且 a b 则 B 的子集的个数是 A 4 B 8 C 16 D 15 答案 解析 6 0 B 它的子集的个数为 22 4 5 设集合 M x y x y 3 y 1 y 3 2 5 y 3 若 a b M 且对 M 中的 其他元素 c d 总有 c a 则 a 答案 解析 依题可知 本题等价于求函数不胜数 x f y y 3 y 1 y 3 在 3 2 5 时的最小值 y 当 4 9 2 5 4 25 2 1 6 3 1 3 1 2 5 min 22 xyyyyyyyxy时所以时 1 y 3 时 x y 3 y 1 y 3 y2 3y y 2 3 2 4 9 4 9 2 5 4 9 4 4 1 4 9 min axyxy即有最小值时因此当而时所以当 用心 爱心 专心 4 易错点易错点 2 2 集合与不等式集合与不等式 1 2012 模拟题精选 集合 A 0 1 1 x x x B x x b a 若 a 1 是 A B 的充分条件 则 b 的取值范围是 A 2 b 2 B 2 b 2 C 3 b 1 D 2 b 2 错误答案错误答案 A 当 a l 时 A x 1 x 1 且 B x b 1 x b 1 A B b 1 1 且 b 1 1 故 2 b 2 只有 A 符合 错解分析错解分析 A B 时 在点 1 和 1 处是空心点 故不含等于 说明理由 错误答案错误答案 1 因为 f x 2 2 2 x ax x R 所以 f x 22 2 2 422 x axx 依题意 f x 0 在 1 1 上恒成立 即 2x2 2ax 4 0 在 1 1 上恒成立 当 x 0 时 a R 当 0 x 1 时 a x x 2 恒成立 又 y x x 2 在 0 1 上单调递增 所以 y x x 2 的最大值为 1 得 a 1 当 1 x0 时 t m m22 恒成立 所以 1 m m22 解得 m 2 当 m 0 时 t m m22 恒成立 所以 1 m m22 解得 m 2 综上 故不存在实数 m 使得不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成 立 错解分析错解分析 1 讨论 x 求参数的范围 最后应求参数的交集而不是并集 因为 x 1 1 时 f x 0 恒成立 2 注意对求出的 m 的值范围求并集而不是交集 当 m 0 时 t m m22 恒成立 所以 1 m m22 解得 m 2 综上 存在实数 m 使得不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 m 的取值范围是 m m 2 或 m 2 注意对求出的 m 的取值范围求并集 方法 2 方程 f x x 1 变形为 x2 ax 2 0 x1 x2 8 2 a 又 1 a 1 所以 x1 x2 8 2 a 的最大值为 3 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立等价于 m2 tm 1 3 在 t 1 1 恒成立 令 g t tm m2 2 有 g 1 m2 m 2 0 g 1 m2 m 2 0 解得 m m 2 或 m 2 注意对求出的 m 的取值范围求交集 特别提醒特别提醒 讨论参数 a 的范围时 对各种情况得出的参数 a 的范围 要分清是 或 还是 且 的 用心 爱心 专心 6 关系 是 或 只能求并集 是 且 则求交集 变式探究变式探究 1 设 x 表示不超过 x 的最大整数 则不等式 x 2 5 x 6 0 的解集为 A 2 3 B 2 3 C 2 4 D 2 4 答案 C 解析 由 x 2 5 x 6 0 解得 2 x 3 由 x 的定义知 2 x 4 所选 C 2 已知不等式 x m 1 成立的充分非必要条件是 2 1 3 1 x 则实数 m 的取值范围是 A 2 1 3 4 B 3 4 2 1 C 2 1 D 3 4 答案 B 2 B 2a a2 1 当 a 1 时 则超过 2 个元素 注意 区间端点 2 2012 模拟题精选 设函数 f x 1x x x R 区间 M a b a0 f x 1 1 1 x f x 在 0 上 为减函数 即 y f x 在 a b 上为减函数 y f x 的值域为 1 1a a b b N 1 1a a b b M N M N a 1b b 且 b 1a a 故有无数 组解 错解分析错解分析 错误地理解了 M N 只是 M N 忽视了 M N 包含 M N 和 N M 两层含义 对症下药对症下药 f x 0 1 1 1 0 1 1 1 x x x x y f x 在 a b 上为减函数 y f x 的值域为 1 1a a b b N y y f x N 表示 f x 的值域 b 用心 爱心 专心 8 M N ba a a b b b a 1 1 而已知 a b 满足题意的 a b 不存在 故选 A 3 2012 模拟题精选 记函数 f x 1 3 2 x x 的定义域为 A g x 1g x a 1 2a x a 1 的定义域为 B 1 求 A 2 若 B A 求实数 a 的取值范围 错误答案错误答案 1 由 2 1 3 x x 0 得 x 1 或 x 1 A x x0 得 x a 1 x 2a 0 a2a B 2a a 1 B A 2a 1 或 a 1 1 a 2 1 或 a 2 又 a 1 a 2 或2 1 a0 且 1 4 1 a 2 设集合 P 3 4 5 Q 4 5 6 7 定义 P Q a b a p b Q 则 P Q 中元 素的个数为 A 3 B 4 C 7 D 12 答案 D 用心 爱心 专心 9 3 已知关于 x 的不等式 ax ax 2 5 0 的解集为 M 1 a 4 时 求集合 M 答案 1 当 a 4 时 原不等式可化为 0 4 54 2 x x 即 2 4 5 2 2 4 5 2 0 2 4 5 4 为故Mxxx 2 若 3 M 且 5 M 求实数 a 的取值范围 答案 由 3 3 5 9 0 3 53 2 aa a a M或得 由 251 0 5 55 5 2 a a a M得 由 得 25 9 3 5 1 259 3 5 1 的取值范围是因此或aaa 易错点易错点 4 4 简易逻辑简易逻辑 1 2012 模拟题精选 对任意实数 a b c 给出下列命题 a b 是 ac bc 的充要条件 a 5 是无理数 是 a 是无理数 的充要条件 a b 是 a2 b2 的充分条件 a 5 是 a 3 的必要条件 其中真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 错误答案错误答案 D 错解分析错解分析 忽视 中 c 0 的情况 中 a b 小于 0 的情况 用心 爱心 专心 10 正确解答正确解答 B 3 2012 模拟题精选 设原命题是 已知 a b c d 是实数 若 a b c d 则 a c b d 则它的逆否命题是 A 已知 a b c d 是实数 若 a c b d 则 a b 且 c d B 已知 a b c d 是实数 若 a c b d 则 a b 或 c d C 若 a c b d 则 a b c d 不是实数 且 a b c d D 以上全不对 错误答案错误答案 A 错解分析错解分析 没有分清 且 的否定是 或 或 的否定是 且 正确解答正确解答 由函数 y cx在 R 上单调递减 得 0 c1 的解集为 R 所以 2c 1 得 c 2 1 如果 P 真 Q 假 则 0 c 2 1 如果 Q 真 P 假 则 c 1 所以 c 的取值范围是 0 2 1 1 特别提醒特别提醒 1 在判断一个结论是否正确时 若正面不好判断 可以先假设它不成立 再推出矛盾 这就是正难则反 用心 爱心 专心 11 2 求解范围的题目 要正确使用逻辑连结词 且 对应的是集合的交集 或 对应 的是集合的并集 变式探究变式探究 1 已知条件 P x 1 2 条件 q 5x 6 x2 则 p 是 q 的 A 充要条件 B 充分但不必要条件 C 必要但不充分条件 D 既非充分也非必要条件 答案 解析 p x1 q 2 x 3 则 q 是 p 的充分但不必要条件 故 p 是 q 的充 分但不必要条件 2 已知命题 p 函数 log0 5 x2 2x a 的值域为 R 命题 q 函数 y 5 2a x是减函 数 若 p 或 q 为真命题 p 且 q 为假命题 则实数 a 的取值范围是 A a 1 B a 2 C 1 a1 a 2 若 p 为真 q 为假时 无解 若 p 为假 q 为真时 结果为 1 a 2 故选 3 如果命题 P 命题 Q 那么下列结论不正确的是 A P 或 Q 为真 B P 且 Q 为假 C 非 P 为假 D 非 Q 为假 答案 B 4 已知在 x 的不等式 0 x2 4 6x 13a 的解集中 有且只有两个整数 求实数 a 的取值范 围 用心 爱心 专心 12 假命题 a 的取值范围为 1001 aaa或 易错点易错点 5 5 充要条件充要条件 1 2012 模拟题精选 m 2 1 是 直线 m 2 x 3my 1 0 与直线 m 2 x m 2 y 3 0 相 互垂直 的 A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 错误答案错误答案 A 错解分析错解分析 当两直线垂直时 A1A2 B1B2 0 m2 4 3m m 2 0 即 m 2 1 或 m 2 故不 是充分必要条件 正确解答正确解答 B 当 m 2 1 时两直线垂直 两直线垂直时 m 2 1 或 m 2 故选 B 2 2012 模拟题精选 设定义域为 R 的函数 f x 1 0 1 1 lg x xx 则关于 x 的方程 f2 x bf x c 0 有 7 个不同实数解的充要条件是 A b0 B b 0 且 c 0 C b 0 且 c 0 D b 0 且 c 0 错误答案错误答案 B b2 4ac 当 c0 故 f x 有两个不同实根 x 有 7 个 既不充分也不必要条件 所以选 D 错解分析错解分析 或 与 且 理解错误 逻辑中的 或 与生活中的 或 有区别 用心 爱心 专心 13 a M 或 a N 包括三种 a M 但 a N a N 但 a M a M 且 a N 所以 a M N 可以推 得 a M 或 a N 正确解答正确解答 a M N 的意思是 a M 且 a N 而 a M 或 a N 包括三种 a M 但 a N a N 但 a M a M 且 a N 所以 a M 或 a N 不能推出 a M N a M N 可以推 得 a M 或 a N 所以选 B 4 2012 模拟题精选 设命题 p 关于 x 的不等式 a1x2 b1x c1 0 与 a2x2 b2x c2 0 的解 集相同 命题 q 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 则命题 p 是命题 g 的 A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 错误答案错误答案 因为 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 所以不等式 a1x2 b1x c1 0 与 a2x2 b2x c2 0 是等价 的不等式 解集相同 所以 q 能推出 p 而不等式 a1x2 b1x c1 0 与 a2x2 b2x c2 0 的解集相同 不能得出 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 所以选 B 题的真假 2 要理解 充要条件 的概念 对于符号 要熟悉它的各种同义词语 等价于 当且仅当 必须并且只需 反之也真 等 3 数学概念的定义具有相称性 即数学概念的定义都可以看成是充要条件 既是概念的判 用心 爱心 专心 14 断依据 又是概念所具有的性质 4 从集合观点看 若 A B 则 A 是 B 的充分条件 B 是 A 的必要条件 若 A B 则 A B 互 为充要条依 5 证明命题条件的充要性时 既要证明原命题成立 即条件的充分性 又要证明它的逆命 题成立 即条件的必要性 变式探究变式探究 1 设 ab 是非零向量 则使 a b a b 成立的一个必要非充分条件是 A a b B a b C a b D a b 0 答案 解析 由 a b a b 可得 a b 但 a b a b a b 故使 a b a b 成立的一个必要充分条件是 a b 故选 2 若条件甲 平面 内任一直线平行于平面 条件乙 平面 平面 则条件甲是条 件乙的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 4 命题 A x 1 3 命题 B x 2 x a 0 若 A 是 B 的充分不必要条件 则 a 的取值范围 是 A 4 B 4 C 4 D 4 用心 爱心 专心 15 答案 知识导学知识导学 难点难点 1 1 集合的运算集合的运算 1 设 I 是全集 非空集合 P Q 满足 P Q I 若含 P Q 的一个运算表达式 使运算结 果为空集 则这个运算表达式可以是 如果推广到三个 即 P Q R I 使运算结 果为空集 则这个运算表达式可以是 只要求写出一个表达式 解析解析 画出集合 P Q I 的文氏图就可以看出三个集合之间的关系 从它们的关系 中构造集合表达式 使之运算结果为空集 答案答案 画出集合 P Q I 的文氏图 可得满足 P Q I 含 P Q 的一个运算表达式 使运算结果为空集的表达式可以是 P CIQ 同理满足 P Q R I 使运算结果为空集的表 达式可以是 P Q CIR 或 P Q CIR 答案不唯一 2 设 A x y y2 x 1 0 B x y 4x2 2x 2y 5 0 C x y y kx b 是否存 在 k b N 使得 A B C 证明此结论 bkxy yxx05224 2 4x2 2 2k x 5 2b 0 B C 2 1 k 2 4 5 2b 0 k2 2k 8b 19 0 从而 8b 20 即 b 2 5 用心 爱心 专心 16 由 及 b N 得 b 2 代入由 1 0 和 2 2x 1 23 2 2 xx x 2x2 mx 1 0 若同时满足 的 x 也满足 求 m 的取值范围 若满足 的 x 至少满足 中的一个 求 m 的取值范围 解析解析 1 若同时满足 的 x 也满足 即求出不等式 的交集是 的解 集的子集 第 2 问 若满足 的 x 至少满足 中的一个 即满足 的 x 满足 的 并集 x x 1 或 x 4 补集为 1 4 即方程 2x2 mx 1 0 的两根在 1 4 内 由根的分布可得 4 31 m0 解集的子集 又 m 0 不等式 的解集为 1 m x 1 m 9 1 101 21 m m m m m 9 实数 m 的取值范围是 9 难点难点 5 5 充要条件的应用充要条件的应用 1 设符合命题 p 的所有元素组成集合 A 符合命题 q 的所有元素组成集合 B 已知 q 的 充分不必要条件是 p 则集合 A B 的关系是 A A B B A B C B A D A B 用心 爱心 专心 20 所以 03 B x x2 x 6 0 则 A B A 3 2 1 B 3 2 1 2 C 3 2 1 2 D 3 1 2 答案 解析 由 2x 1 3 得 x 1 或 xb 0 全集 U R 集合 M x b x 2 ba N x ab x a P x b x ab 则 P M N 满足的关系是 A P M N B P M N C P M CUN D P CUM N 用心 爱心 专心 21 答案 C 解析 取 a 4 b 2 画出数轴可判断选 C 5 命题 P 如果 x2 2x 1 a2 0 那么 1 a x 1 命题 q a 1 那么 q 是 p 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由命题 p 真 可得 a 0 而由 a 0 q a1 是 a b 1 的充分而不必要条件 命题 q 函数 y 2 1 x 的定义域是 1 3 则 A p 或 q 为假 B p 且 q 为真 C p 真 q 假 D p 假 q 真 答案 D 答案 240 解析 设单元素集合之和为 T1 1 2 3 4 5 15 二元集合之和为 T2 4T1 同理 T3 6T1 T4 4T1 T5 T1 S1 S2 S5 T1 T2 T3 T4 T5 240 10 二次函数 y ax2 bx c x R 的部分对应值如下表 x 3 2 101234 用心 爱心 专心 22 y60 4