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用心 爱心 专心 天水一中天水一中 20072007 级级 2009 20102009 2010 学年度第二学期五月第三次模拟考试试题学年度第二学期五月第三次模拟考试试题 数学 理 数学 理 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 设集合 A 1 2 则满足 1 2 3 AB 的集合 B 的个数是 A 1 B 3 C 4 D 8 2 设复数 12 34 zi zti 且 12 zzR 则实数t等于 A 4 3 B 3 4 C 4 3 D 3 4 3 若集合 21 0Ax xx 3 log 1 By yx 则AB A B 1 1 2 C 2 1 0 D 1 1 2 4 平面向量 a 与 b 的夹角为 0 60 2 0 a 1b 则2ab A 3 B 2 3 C 4 D 2 5 圆 2 2 1 1 y x 被直线0 xy 分成两段圆弧 则较短弧长与较长弧长之比为 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 6 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 且 3 S 6 1 a 4 则公差 d 等于 A 1 B 5 3 C 2 D 3 7 已知函数 sin 0 4 f xxxR 的最小正周期为 为了得到函数 cosg xx 的图象 只要将 yf x 的图象w w w k s 5 u c o m A 向左平移 8 个单位长度 B 向右平移 8 个单位长度w w w k s 5 u c o m C 向左平移 4 个单位长度 D 向右平移 4 个单位长度w w w k s 5 u c o m 8 上海世博会筹备期间 5 名志愿者与 2 名国外友人排成一排拍照 2 名国外友人相邻但不 排在两端 不同排法数共有 种 A 1440B 960C 720w o D 480 9 已知 A B P是双曲线 22 22 1 xy ab 上不同的三点 且 A B连线经过坐标原点 若直线 PA PB的斜率乘积 2 3 PAPB kk 则该双曲线的离心率为 用心 爱心 专心 A 5 2 B 6 2 C 2D 15 3 10 已知 A B C 为 ABC 的三个内角 a b c 分别为对边 向量 2cos1 2 cos cos1 10mCnCCmnab 若且 则 ABC 周长的最 小值为 A 105 3 B 105 3 C 102 3 D 102 3 11 已知二面角 l 为60o 动点 P Q 分别在面 内 P 到 的距离为3 Q 到 的距离为2 3 则 P Q 两点之间距离的最小值为 A 2 B 2 C 2 3 D 4 12 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的 直径 封闭区域边界曲线 的长度与区域直径之比称为区域的 周率 下面四个平面区域 阴影部分 的周率从左到 右依次记为 1234 则下列关系中正确的为 A 143 B 312 C 423 D 341 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 13 若 9 2 1 ax x 的展开式中常数项为 84 其展开式中各项系数之和为 用数 字作答 14 四面体 ABCD 中 共顶点 A 的三条棱两两相互垂直 且其长分别为1 6 3 若四面体的 四个顶点同在一个球面上 则这个球的表面积为 15 设 1234 e e e e 是平面内的四个单位向量 其中 123 ee e 与 4 e 的夹角为135 对这个平 面内的任一个向量 12 axeye 规定经过一次 斜二测变换 得到向量 134 2 y axee 设向量 12 34vee 则经过一次 斜二测变换 得到向量 1 v 的模 1 v 是 16 在如图所示的坐标平面的可行域内 阴影部分且包括 用心 爱心 专心 边界 若目标函数 z x ay取得最小值的最优解有无数个 则 y xa 的最大值是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题小题 共共 7070 分分 解答应写出文字说明 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 设函数f x cos 2x 3 sin 2 x 1 求函数 f x 的最大值和最小正周期 2 设A B C为 ABC的三个内角 若 cosB 3 1 1 24 c f 且C为锐角 求 sinA 18 本小题满分 12 分 如图 在矩形ABCD中 2AB 1AD E是CD的中点 以AE为折痕将DAE 向 上折起 使D 为 D 且平面D AE 平面ABCE 求证 ADEB 求二面角ABDE 的大小 19 本小题满分 12 分 某校选派 4 人参加上级组织的数学竞赛 现从甲 乙两个竞赛班各选派 2 人 设甲 乙两班选派的人员获奖概率分别为 2 1 3 2 和且 4 位选手是否获奖互不影响 I 求甲 乙两班各有 1 人获奖的概率 II 求该校获奖人数 的分布列与期望 20 本小题满分 12 分 已知数列 n a的首项2 1 a 其前 n 项和为 n S 当2 n时 满足 2 1 n n n Sa 又 2n n n a b I 证明 数列 n b是等差数列 II 求数列 n S的前 n 项和 n T 用心 爱心 专心 21 本小题满分 12 分 已知 0 1 0 1 21 FF 是椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的两个焦点 点 G 与 F2关于直线 042 yxl对称 且 GF1与l的交点 P 在椭圆上 I 求椭圆方程 II 若 P 2211 yxNyxM是椭圆上的不同三点 直线 PM PN 的倾斜角互补 问 直线 MN 的斜率是否是定值 如果是 求出该定值 如果不是 说明理由 22 本小题满分 12 分 已知函数xaxxfln 图像上点 efe处的切线方程为与直线xy2 平行 其 中 71828 2 e 2 2 txxxg I 求函数 xf的解析式 II 求函数 0 2 nnnxf在上的最小值 III 对一切 3 0 xgxfex 恒成立 求实数 t 的取值范围 用心 爱心 专心 天水一中天水一中 20072007 级级 2009 20102009 2010 学年度第二学期五月第三次模拟考试试题学年度第二学期五月第三次模拟考试试题答案答案 数学 理 数学 理 一 选择题 一 选择题 C CBCBB CABDB CC 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 13 0 14 16 15 2613 16 2 5 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题小题 共共 9090 分分 解答应写出文字说明 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 解 1 f x cos 2x 3 sin 2 x 1 cos213 cos2 cossin2 sinsin2 33222 x xxx 所以函数 f x 的最大值为 13 2 最小正周期 2 2 c f 13 sin 22 C 4 1 所以 3 sin 2 C 因为 C 为锐角 所以 3 C 又因为在 ABC 中 cosB 3 1 所以 2 sin3 3 B 所以 21132 23 sinsin sincoscossin2 32326 ABCBCBC 18 解 如图所示 证明 因为 2AEBE 2AB 所以 222 ABAEBE 即AEEB 2 分 取AE的中点M 连结 MD 则1ADD EMDAE 又平面D AE 平面ABCE 可得MD 平面ABCE 即得MD BE 5 分 从而EB 平面AD E 故ADEB 7 分 如图建立空间直角坐标系 则 2 1 0 A 0 0 0 C 0 1 0 B 用心 爱心 专心 3 12 2 22 D 1 0 0E 从而 2 0 0 BA 312 222 BD 1 1 0 BE 9 分 设 1 nx y z 为平面ABD 的法向量 则 1 1 20 312 0 222 nBAx nBDxyz 可以取 1 0 2 1 n 11 分 设 2 nx y z 为平面BD E 的法向量 则 2 2 0 312 0 222 nBExy nBDxyz 可以取 2 1 1 2 n 13 分 因此 12 0n n 有 12 nn 即平面ABD 平面BD E 故二面角ABDE 的大 小为90 19 解 设 k A表示甲班有 k 人获奖 2 1 0 K i B表示乙班有 i 人获奖 i 0 1 2 iiI i kkk k CBPCAP 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 3 2 据此算得 9 4 9 4 9 1 210 APAPAP 4 1 2 1 4 1 210 BPBPBP I 所求概率为 9 2 2 1 9 4 1111 BPAPBAP II 的所有可能值为 0 1 2 3 4 且 36 13 2 6 1 4 1 9 4 2 1 9 1 1 36 1 4 1 9 1 0 021120 0110 0000 BAPBAPBAPP BAPBAPP BPAPBAPP 用心 爱心 专心 9 1 4 1 9 4 4 3 1 2 1 9 4 4 1 9 4 3 22 1221 BAPP BAPBAPP 综上知 的分布列 01234 P1 361 613 361 31 9 从而 的期望为 3 7 9 1 4 3 1 3 36 13 2 6 1 1 36 1 0 E 20 解 I 由题意知得 6 22 2 211 2 21 aaSaa 2 2 2 1 11n n nn n n SaSan 时 两式相减得 2 1n n nn aaa 即 2 22 1 naa n nn 于是 2 1 22 1 1 n n n n aa 即 2 2 1 1 nbb nn 又 2 1 2 3 2 1 2 12 2 2 2 1 1 bb a b a b 所以数列 n b是首项为 1 公差为 0 5 的等差数列 II 由 I 知 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 n n n nn nba n nb 又2 n时 2 1 2 1 2 11 11 nn nn n n nnSSa 2n n nS 2232221 321n n nT 22 1 22212 132 nn n nnT 2 2 1 222 11 nnn n nnT 21 解 I F2 1 0 关于直线042 yxl对称点 G 1 4 用心 爱心 专心 又 GF1与l的交点 P 在椭圆上 4 2 121 GFPFPFa 3 222 cab 因此 所求椭圆方程为 1 34 22 yx II 由条件知直线 PM PN 的斜率存在且不为 0 易得点 2 3 1 P 设直线 PM 的方程为 2 3 1 xky 由椭圆方程与直线 PM 方程联立消去 y 整理得 03124 32 4 34 222 kkxkkxk P 在椭圆上 方程两根为 1 x1 34 3124 34 3124 1 2 2 1 2 2 1 k kk x k kk x 直线 PM PN 的倾斜角互补 直线 PM PN 的斜率互为相反数 34 3124 2 2 2 k kk x 则 34 86 34 24 2 2 21 2 21 k k xx k k xx 又 2 3 1 2 3 1 2211 xkyxky 34 12 2 34 86 2 22 2 2121 k k k k kxxkyy 直线 MN 的斜率 2 1 21 21 xx yy KMN 定值 22 解 I 由点 efe处的切线方程与直线02 yx平行 得该切线斜率为 2 即 2 ef 又 1 2 1 ln 1 ln aeaxaxf令 所以 ln xxxf II 由 I 知1ln xxf 用心 爱心 专心 显然 1 0 exxf时当 0 1 0 xf e x时 所以函数 1 0 e xf在上单调递减 当 1 e x时0 xf 所以函数 1 e xf在上单调递增 1 1 2 1 min ee fxfnn e 时 2 1 nn e 时 函数 2 nnxf在上单调递增 因此 ln min nnnnfxf 所以 1 ln 1 0 1 min e nnnn e m e xf II
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