湖北省武汉市汉铁高级中学2014届高三第九次周练数学（理）试卷

一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分分 1 复数与复数在复平面上的对应点分别是 则等于i 2 i 3 1 ABAOB A B C D 6 4 3 2 2 设等差数列的前项和为 若 则等于 n a n S9 4 a11 6 a 9 S A 180 B 90 C 72 D 100 3 设 若 则实数的取值范围是 62 xxA 32 axaxBAB a A B C D 3 1 3 1 3 1 4 要得到一个奇函数 只需将的图象xxxfcos3sin A 向右平移个单位 B 向右平移个单位 6 3 C 向左平移个单位 D 向左平移个单位 3 6 5 有下述命题 若 则函数在内必有零点 0 bfaf xf ba 当时 总存在 当时 总有 1 aRx 00 xx xxa a nx log 函数是幂函数 1Rxy 若 则 其中真命题的个数是AB BCardACard A 0 B 1 C 2 D 3 6 已知 且成等比数列 则有1 1xy 11 ln ln 44 xyxy A 最小值 B 最小值 C 最大值 D 最大值eeee 7 已知 为非零向量 则 是 函数为一次函数 aba b abxbaxxf 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8 已知函数 且 的四个零点构edxcxbxaxxf 234 Redcba 0 a 成公差为 2 的等差数列 则的所有零点中最大值与最小值之差是 xf A 4 B C D 5252 9 已知函数 若有四个不同的正数满足 为常数 xxf 2 sin1 i xMxf i M 且 则的值为8 i x 4 3 2 1 i 4321 xxxx A 10 B 14 C 12 D 12 或 20 10 已知是的重心 点是内一点 若 则GABC PGBC ACABAP 的取值范围是 A B C D 1 2 1 2 3 1 1 3 2 2 1 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 11 若 则 1coscos sin 12 已知等差数列的前项和是 则使的最小正整数 n ann a nSn 22 1 82 2010 n a 等于 n 13 已知等比数列的各项都为正数 且当时 则数列 n a3 n n n aa 2 424 10 1 lga 的前项和等于 2 lg2a 3 2 lg2a 4 3 lg2a n n alg2 1 n n S 14 若实数 满足 则的取值范围是 xy 1234 0 0 yx y x 1 32 x yx z 15 设代数方程 0 1 24 2 2 10 n n n xaxaxaa 有 n2 个不同的根 n xxx 21 则 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 24 2 2 10 x x x x axaxaxaa n n n 1 2 2 n x x 1 比较两边 2 x 的系数得 1 a 用 n xxxa 210 表示 2 若已知展开式 7 5 3 1 sin 642 xxx x x 对 0 xRx 成立 则由于 0 sin x x 有 无穷多个根 2 n 于是 2 1 1 7 5 3 1 22 2 2 2642 xxxxx 1 22 2 n x 利用上述结论可得 222 1 3 1 2 1 1 n 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 16 本小题满分本小题满分 1212 分分 已知 函数的最大值为 最小正周期xxxpxf 2 coscossin 0 0 p 2 1 为 求 的值 的解析式 2 p xf 若的三条边为 满足 边所对的角为 求 角的ABC abcbca 2 aAA 取值范围及函数的值域 Af 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 2013年湖北武汉市被中央文明委评为湖北省唯一 全国文明卫生城市 在创建文明卫 生城市的过程中 武汉市政府为增强市民文明环保意识 面向全市征召义务宣传志愿 者 现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者 他们的年龄情况如下表所 示 频率分布表中的 位置应填什么数据 并在答题卡中补全频率分布直方图 如 图 再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 30 35 岁的人数 18 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图所示 已知 ABC 内接于圆 O AB 是圆 O 的直径 四边形 DCBE 为平 行四边形 DC平面 ABC AB 2 tan EAB 3 2 1 证明 平面 ACD平面 ADE 2 令 AC x 表示三棱锥 A CBE 的体积 当 V x 取得最大值时 求直线 AD 与平面 ACE 所成角的 V x 正弦值 19 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知集合 设是等差数列 21 NAx xnn 63 NBx xnn n S 的前项和 若的任一项 首项是中的最大数 且 n an n aBAan 1 aAB 10 750300S 1 求数列的通项公式 n a 2 若数列满足 令 试比较与 n b 139 2 2 n an n b n T 2462 24 n bbbb n T 的大小 48 21 n n 20 本题满分 本题满分 13 分 分 若椭圆 C 的离心率 e 为 且椭圆 C 的一个焦点与抛物线 x2 a2 y2 b2 1 a b 0 4 5 y2 12x 的焦点重合 1 求椭圆 C 的方程 2 设点 M 2 0 点 Q 是椭圆上一点 当 MQ 最小时 试求点 Q 的坐标 3 设 P m 0 为椭圆 C 长轴 含端点 上的一个动点 过 P 点斜率为 k 的直线 l 交椭圆与 A B 两点 若 PA 2 PB 2的值仅依赖于 k 而与 m 无关 求 k 的值 21 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知函数xxxxfln af xxfxg 其中 a f 表示函数 xf在 ax 处的导数 a为正常数 1 求 xg的单调区间 参考答案及评分标准 一 选择题 一 选择题 1 5 BBCCA 6 10 ABDDC 二 填空题二 填空题 11 0 12 2014 13 14 15 12 1 n n 11 2 3 三 解答题 16 12 分 1 2 1 2sin 2 1 2 1 2cos 2 1 2sin 2 2 x p xx p xf 由 得 2 分 22 2 2 由及 得 4 分 2 1 2 1 2 1 2 p 0 p3 p 6 分 2 1 6 4sin xxf 2 8 分 2 1 2 2 22 cos 22222 bc bcbc bc bccb bc acb A 为三角形内角 所以 10 分A 3 0 A 12 分 6 7 6 4 6 A1 6 4sin 2 1 A 2 1 1 Af 17 解 处填20 处填0 35 补全频率分布直方图如图所示 根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 30 35 的人数为500 0 35 175 4分 用分层抽样的方法 从中选取20人 则其中 年龄低于30岁 的有5人 年龄不低于30 岁 的有15人 由题意知 X的可能取值为0 1 2 且 X的 分布列为 X012 P E X 0 12分 18 19 解 根据题设可得 集合中所有的元素可以组成以为首项 为公差的递A3 2 减等差数列 集合中所有的元素可以组成以为首项 为公差的递减等差数列 B3 6 由此可得 对任意的 有 NnBBA 中的最大数为 即 2 分AB 3 1 3a 设等差数列的公差为 则 n ad3 1 n and 110 10 10 4530 2 aa Sd 因为 即 10 750300S 7504530300d 616 d 由于中所有的元素可以组成以为首项 为公差的递减等差数列B3 6 所以 由 所以 5 分 0 6 mZmmd1666m 2m 12 d 所以数列的通项公式为 6 分 n a9 12 n an Nn 139 22 22 n ann n b 于是确定与的大小关系等价于比较与的大小 n T 48 21 n n 2n21n 由 22 1 1 2 22 2 1 3 22 3 1 4 22 4 1 可猜想当时 9 分3n 221 n n 证明如下 证法 1 1 当时 由上验算可知成立 3n 2 假设时 nk 221 k k 则 1 22 22 21 422 1 1 21 2 1 1 kk kkkkk 所以当时猜想也成立1nk 根据 1 2 可知 对一切的正整数 都有3n 221 n n 当时 当时 12 分 1 2n 48 21 n n T n 3n 48 21 n n T n 证法 2 当时3n 011011 2 1 1 2221 nnnnnn nnnnnnnn CCCCCCCCnn 当时 当时 12 分 1 2n 48 21 n n T n 3n 48 21 n n T n 20 解 1 椭圆 C 的方程为 3 2 设 Q x y 5 x 5 MQ 2 x 2 2 y2 x2 4x 4 16 x2 x2 4x 20 对称轴 x 5 当 x 5 时 MQ 2达到最小值 当 MQ 最小时 Q 的坐标为 5 0 6 3 设 A x1 y1 B x2 y2 P m 0 5 m 5 直线 l y k x m 由得 x1 x2 x1x2 8 y1 y2 k x1 m k x2 m k x1 x2 2km y1y2 k2 x1 m x2 m k2x1x2 k2m x1 x2 k2m2 10 PA 2 PB 2 x1 m 2 x2 m 2 y2 1y2 2 x1 x2 2 2x1x2 2a x1 x2 y1 y2 2 2y1y2 2y1y2 2a2 k2 1 PA 2 PB 2的值仅依赖于 k 而与 m 无关 512 800k2 0 k 13 4 5 21 解解 1 xxfln axxxxxglnln x a axafxfxglnlnln 2 分 所以 0 ax 时 0 xg xg单调递增 ax时 0 xg xg单调递减 所以 xg的单调递增区间为 0 a 单调递减区间为 a 4 分 6 分 取 2 xa 则 0 21 xx 由 1 得 21 xgxg 即 22222111 xgxfxxfxfxxfxg 所以 21212 xfxxxfxf 综合 得 11212212 xfxxxfxfxfxx 8 分 法 2 因为xxfln 所以 当 1 0 x时 0 x f 当 1 x时 0 x f 故 xf在 1 0 上单调递增 在 1 上单调递减 所以 对任意的正实数 21 xx 且 21 xx 有 1 2 1 f x x f 1 1 2 f x x f 6 分 由 1 2 1 f x x f 得1ln 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 即0 ln ln 12212 xxxxx 所以0 ln ln 1221211212 xxxxxxfxxxfxf 故 11212 xfxxxfxf 由 1 1 2 f x x f 同理可证 21212 xfxxxfxf 综合 得 11212212 xfxxxfxfxfxx 8 分 3 对2 2 1 nk 令 x kx x k ln ln 1 x 则 22 ln ln ln ln ln ln xkxx kxkxxx x x kx kx x x k 显然kxx 1 l