函数的单调性（流程）

1 函数的函数的单调单调性性 教学教学设计设计 设计思路设计思路 函数的单调性函数的单调性 教学设计教学设计 教材分析 教学目标 学情分析 教学过程设计 课后延伸 教学内容地位作用重点 难点 知识与技能过程与方法情感态度与价值观 基本情况认知困难 创设情境 引入课 题 归纳探索 形成概 念 初步应用 巩固概 念 掌握证法 适当延 展 回顾总结 深化认 知 2 教材分析教材分析 1 1 教学内容 教学内容 本节课是北师大版数学必修一第 2 章第 3 节 函数的单调性 是在学生学习了集合与函数的概念及表示后进行的 教材中函数单 调性概念的形成经历了由直观到抽象 由特殊到一般 从感性到理 性的认知过程 第一步 观察图象 描述函数的变化规律 上升 下降 第二步 结合图 表 用自然语言描述函数的变化规律 随 的增大而增大或减小 第三步 用数学符号语言描述函数 y x 的变化规律 这三步是本节课研究方法的具体步骤 三步曲 也是继续研究函数其他性质的方法 所以本课时的教学不但是知识 的教学 而且是以知识的学习为载体 培养学生研究能力的过程 2 2 地位作用 地位作用 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一 在教材中起 着承上启下的作用 一方面 是初中有关内容的深化 提高 使学 生对函数单调性从感性认识提高到理性认识 另一方面 函数的单 调性一节中的知识是今后研究具体函数单调性的理论基础 函数的 单调性既是函数概念的延续和拓展 又是后续研究具体函数如指数 函数 对数函数 三角函数等单调性的基础 在研究函数的值域 最值等性质中有重要作用 此外在比较数的大小 解 证不等式以 及相关的数学综合问题中也有广泛的应用 3 3 3 重点难点 重点难点 重点 增 减 函数的概念以及用定义证明简单函数的单调性 难点 增 减 函数概念的形成过程及准确表述与理解 用定义证 明简单函数的单调性 教学目标教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 借助熟知的函数 理解函数单调性 增 减 的概念及其几何 意义 能根据函数图像判断其单调区间 初步掌握用定义证明函数 单调性的步骤 会求一些简单函数的单调区间 2 2 过程与方法 过程与方法 在单调性定义的探究过程中 经历由直观到抽象 特殊到一般 的认知过程 感悟蕴含其中的数形结合思想 培养学生观察 分析 归纳 论证等能力 3 3 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过知识的探究过程让学生体验数学的严谨性及数学的科学功 能 符号功能和工具功能 培养学生善于观察 勇于探索 科学论 证的良好数学思维品质和学习数学的积极态度 学情分析学情分析 1 1 基本情况 基本情况 一方面 学生在初中已经学习过函数的概念 初步认识到函数是 一个刻画某些运动变化关系的数学概念 进入高中以后 又进一步学 习了函数的概念 认识到函数是两个数集之间的一种对应 还了解函 4 数的三种表示方法 已经具备了借助函数图像直观得出函数部分性质 的能力 有了利用函数图像比较两个数值大小的经验 另一方面 学 生在初中已经接触过一次函数 二次函数 反比例函数等 对函数增 减性已有了初步的认识 这些都是学生学习思维的 最近发展区 2 2 认知困难 认知困难 学生的认知困难主要在两个方面 1 用准确的数学符号语言刻 画图象的上升与下降 这种由形到数的翻译 从直观到抽象的转变 对 仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲 有较大的学习困 难 2 单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内 容 学生较难掌握 教学过程设计教学过程设计 1 1 创设情境 引入课题 创设情境 引入课题 师生活动预设 教师用 ppt 展示 师 同学们 这是有关媒体报道我们江西境内的鄱阳湖水位变化的 新闻图片 大家知道鄱阳湖一年中的水位变化情况吗 生 鄱阳湖有时涨水有时又干枯了 5 师 对 鄱阳湖每年大致月份开始进入丰水期 月份进入枯水1 2 8 9 期 水位在不断变化 我们先来看关于鄱阳湖的一组图片 教师用 ppt 展示 师 这是鄱阳湖丰水期和枯水期的两张实物图片和 2010 年鄱阳湖一 年中水位的变化统计图 哪位同学能用自己的话来描述一下鄱 阳湖一年中水位的变化情况吗 生 在 至 月鄱阳湖的水位开始上升 至 月份又下降了 至12233 月份又上升了 4 师 回答得非常准确 那同学们还能举出生活中类似的例子吗 生 我知道 一个月中气温的变化 汽油价格的变化 师 嗯 这些都是 如果我们把一年中的各个月份看作是自变量 x 而把鄱阳湖的水位看作因变量 那么因变量 y 是不是随着自y 变量 的变化时而增大时而减小呢 x 生 是啊 老师 师 好的 为了研究因变量 随着自变量 的变化情况 我们有必要yx 对函数的 单调性 这一概念进行探究 这也就是我们这节课 要学习的内容 函数的单调性 6 设计意图设计意图 通过现实生活中的例子引导学生对函数单调性的初步认识 激 发学生学习兴趣 同时帮助学生树立热爱自然 保护环境的意识 2 2 归纳探索 形成概念 归纳探索 形成概念 问题问题 1 1 ppt 几何画板演示 观察函数的图象 并且观察自变量 变化时 函 21 yx yxy x x 数值 有什么变化规律 y 师生活动预设 师 请同学们仔细观察屏幕上展示的三幅图 从左向右看 它们的 函数值 是如何随自变量 的变化而变化呢 y x 生 图 1 中 在整个数轴上都是上升的 图 2 中当 在 0 上 y x 函数值 是下降的 当 在 0 上时函数值 是上升的 yx y 图 3 中当 在 0 上函数值 是下降的 当 在x yx 0 上时函数值 也是下降的 y 师 回答正确 看来函数的增 减性与图象上升或下降和 的某个x 区间有关了 那么我们是否可以这样定义函数的单调性呢 如果在区间上函数的图象从左至右看总是上升 下降 的 那D 么就说函数在区间上是增 减 函数 f xD 7 设计意图设计意图 通过对学生熟悉的函数的探究 使学生认识到函数单调性是针 对定义域某个区间的局部性质 初步形成对函数单调性概念直观上 的理解 问题问题 2 2 如何用 的代数形式来表达上一问中各个函数图像的上升与xy 下降的变化情况呢 师生活动预设 师 上一问中 我们总是说当 从左向右变化时 函数 的图像是上xy 升或者下降的 那么我们如何来用 的数学代数式来表示xy 从左向右变化 函数 的图像是上升或者下降呢 xy 生 不知道 师 这个问题有一定难度 我们不妨用图 2 作例子来说明吧 在函 数的右半曲线上任取两点 则所对应于轴上的 2 f x x A B A BX 坐标 有怎样的大小关系呢 同时 对应于 轴上的点 1 x 2 xY 和又有什么大小关系呢 1 f x 2 f x 教师用几何画板动态演示点的变化过程 A B 8 6 4 2 2 4 6 Y 105510 X Y f X 轴 轴 f x x2 A B 8 生 我知道 是 1 x 2 x 1 f x 2 f x 师 非常好 不过这只是增函数的代数关系式 哪位同学可以给出 减函数的代数关系式呢 生 我知道 如果是减函数的话应该是随着 x 的增大函数值 y 会变 小 也就是说时 1 x 2 x 1 f x 2 f x 师 很对 现在我们就用形如 的代数关系式来精 1 x 2 x 1 f x 2 f x 确定义函数的单调性 增函数减函数 一般地 对于函数的 yf x 定义域内的一个子集上 如果A 对于任意两数 当 1 x 2 xA 1 x 时 都有 就称函 2 x 1 f x 2 f x 数在数集上是增加的 yf x A 一般地 对于函数的 yf x 定义域内的一个子集上 如果A 对于任意两数 当 1 x 2 xA 1 x 时 都有 就称函 2 x 1 f x 2 f x 数在数集上是减少的 yf x A 设计意图设计意图 此问是引导学生从函数单调性的概念由形式化 直观化到用数 学代数式精确地 严格地给出函数单调性的定义的转变过程 也是 本节可得重点与难点 应根据学生实际领悟情况进行扩充 9 3 3 初步应用 巩固概念 初步应用 巩固概念 练习题练习题 1 1 如图是定义在 6 9 上的函数图像 你能找出此函数的单调递增区 间与单调递减区间吗 解析 单调递增区间是 6 5 2 1 3 4 5 7 8 单调递减区间是 5 2 1 3 4 5 7 8 9 设计意图设计意图 考察与训练学生对函数单调性的基本概念的掌握 巩固基本概念 练习题练习题 2 2 画出函数的图像 判断它的单调性 并加以证明 32f xx 解析 做出函数的图像如图 由图可 32f xx 看出的图像在 R 上是上升的 函数 f x f x 是 R 上的增函数 证明如下 任取 R 且 则 0 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 所以 3 2 3 2 1 f x 2 f x 1 x 2 x 3 0 1 x 2 x 10 即 1 f x 2 f x 由单调函数的定义可知 函数是上的增函数 32f xx R 设计意图设计意图 这是学生第一次接触代数形式的证明 为使学生能迅速掌握代 数证明的格式 选取教材上的例题 让学生在内容上紧扣定义贯穿 整个学习过程 使学生从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明 4 4 掌握证法 适当延展 掌握证法 适当延展 例例 可让学生相互讨论 共同解答 证明函数在上是增函数 2 f xx x 2 解析 证明 任取且 设元 12 2 x x 1 x 2 x 则 求差1212 21 22 f xf xxx xx 变形 12 21 22 xx xx 12 12 12 2 xx xx x x 12 12 2 1 xx x x 12 12 12 2 x x xx x x 断号 12 2xx 1122 0 2xxx x 即12 0 f xf x 12 f xf x 即函数在上是增函数 定论 2 f xx x 2 11 归纳总结归纳总结 证明函数在某个区间上的单调性步骤如下 设值 在给定区间上任取两个自变量的值 且 1 x 2 x 1 x 2 x 作差变形 作差 通过因式分解 配方 分母有理化 12 f xf x 等方法变形 断号 判断上述差的符号 若不能确定 则可对参数的取值范围 或可分区间讨论 定论 根据差的符号 得出单调性的结论 设计意图设计意图 强化学生掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤 给学生 提供一道典型试题以供学习 模仿 提高学生的解题技能 同时也 为后面导数方法研究函数单调性埋下伏笔 5 5 回顾总结 深化认知回顾总结 深化认知 教师提出下列问题让学生思考 通过增 减 函数概念的形成过程 你学到了什么 如何根据图像指出函数的单调区间 怎样用定义证