（三管齐下）贵州省2014届高三数学 复习试题68 离散型随机变量的均值与方差 理（含解析）新人教A版

6868 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 导学目标 1 理解取有限个值的离散型随机变量均值 方差的概念 2 能计算简单离 散型随机变量的均值 方差 并能解决一些实际问题 自主梳理 1 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 Xx1x2 xi xn Pp1p2 pi pn 1 均值 称E X 为随机变量X的均值或 它反映了离散型随机变量取值的 2 方差 称D X 为随机变量X的方差 它刻画了随机变量X与 其均值E X 的 其 为随机变量X的标准差 2 均值与方差的性质 1 E aX b 2 D aX b a b为实数 3 两点分布与二项分布的均值 方差 1 若X服从两点分布 则E X D X 2 若X B n p 则E X D X 自我检测 1 若随机变量X的分布列如下表 则E X 等于 X012345 P2x3x7x2x3xx A B C D 1 18 1 9 20 9 9 20 2 2011 菏泽调研 已知随机变量X服从二项分布 且E X 2 4 D X 1 44 则 二项分布的参数n p的值为 A n 4 p 0 6 B n 6 p 0 4 C n 8 p 0 3 D n 24 p 0 1 3 2010 全国 某种种子每粒发芽的概率都为 0 9 现播种了 1 000 粒 对于没有发 芽的种子 每粒需要再补种 2 粒 补种的种子数记为X 则X的数学期望为 A 100 B 200 C 300 D 400 4 2011 浙江 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简 历 假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 得到乙 丙两公司面试的概率均为p 且三 2 3 个公司是否让其面试是相互独立的 记X为该毕业生得到面试的公司个数 若P X 0 则随机变量X的数学期望E X 1 12 5 2011 杭州月考 随机变量 的分布列如下 1 01 Pabc 其中a b c成等差数列 若E 则D 1 3 探究点一 离散型随机变量的期望与方差 例 1 袋中有 20 个大小相同的球 其中记上 0 号的有 10 个 记上n号的有n个 n 1 2 3 4 现从袋中任取一球 表示所取球的标号 1 求 的分布列 期望和方差 2 若 a b E 1 D 11 试求a b的值 变式迁移 1 编号 1 2 3 的三位学生随意入座编号为 1 2 3 的三个座位 每位学生坐 一个座位 设与座位编号相同的学生的个数是X 1 求随机变量X的分布列 2 求随机变量X的数学期望和方差 探究点二 二项分布的期望与方差 例 2 2011 黄山模拟 A B是治疗同一种疾病的两种药 用若干试验组进行对比试 验 每个试验组由 4 只小白鼠组成 其中 2 只服用A 另 2 只服用B 然后观察疗效 若在 一个试验组中 服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多 就称该试验组为甲类 组 设每只小白鼠服用A有效的概率为 服用B有效的概率为 2 3 1 2 1 求一个试验组为甲类组的概率 2 观察 3 个试验组 用 表示这 3 个试验组中甲类组的个数 求 的分布列和数学 期望 变式迁移 2 某学生在上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互 独立的 遇到红灯的概率都是 遇到红灯时停留的时间都是 2 min 1 3 1 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 2 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望 探究点三 离散型随机变量期望与方差的应用 例 3 购买某种保险 每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元 若投保人在购买 保险的一年度内出险 则可以获得 10 000 元的赔偿金 假定在一年度内有 10 000 人购买 了这种保险 且各投保人是否出险相互独立 已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 1 4 10 0 999 1 求一投保人在一年度内出险的概率p 2 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元 为保证盈利的期望 不小于 0 求每位投保人应交纳的最低保费 单位 元 变式迁移 3 因冰雪灾害 某柑桔基地果林严重受损 为此有关专家提出两种拯救果 树的方案 每种方案都需分两年实施 若实施方案一 预计第一年可以使柑桔产量恢复到 灾前的 1 0 倍 0 9 倍 0 8 倍的概率分别是 0 3 0 3 0 4 第二年可以使柑桔产量为第 一年产量的 1 25 倍 1 0 倍的概率分别是 0 5 0 5 若实施方案二 预计第一年可以使柑 桔产量达到灾前的 1 2 倍 1 0 倍 0 8 倍的概率分别是 0 2 0 3 0 5 第二年可以使柑 桔产量为第一年产量的 1 2 倍 1 0 倍的概率分别是 0 4 0 6 实施每种方案第一年与第二 年相互独立 令 i i 1 2 表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数 1 写出 1 2的分布列 2 实施哪种方案 两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 3 不管哪种方案 如果实施两年后柑桔产量达不到 恰好达到 超过灾前产量 预计 利润分别为 10 万元 15 万元 20 万元 问实施哪种方案的平均利润更大 1 若 a b 则E aE b D a2D 2 若 B n p 则E np D np 1 p 3 求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有 1 已知随机变量的分布列求它的 期望 方差和标准差 可直接按定义 公式 求解 2 已知随机变量 的期望 方差 求 的线性函数 a b的期望 方差和标准差 可直接用 的期望 方差的性 质求解 3 如能分析所给随机变量 是服从常用的分布 如两点分布 二项分布等 可直接利用它们的期望 方差公式求解 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2011 福州质检 已知某一随机变量 的概率分布列如下 且E 6 3 则a 的值为 4a9 P0 50 1b A 5 B 6 C 7 D 8 2 设 B n p 若有E 12 D 4 则n p的值分别为 A 18 B 16 C 20 D 15 2 3 1 2 1 6 1 4 3 随机变量X的分布列为 X124 P0 40 30 3 则E 5X 4 等于 A 15 B 11 C 2 2 D 2 3 4 设掷 1 枚骰子的点数为 则 A E 3 5 D 3 52 B E 3 5 D 35 12 C E 3 5 D 3 5 D E 3 5 D 35 16 5 2011 成都调研 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴在y轴的左侧 其 中a b c 3 2 1 0 1 2 3 在这些抛物线中 记随机变量 为 a b 的 取值 则 的数学期望E 为 A B C D 8 9 3 5 2 5 1 3 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 2011 上海 马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布列如下表 x123 P x 请小牛同学计算 的数学期望 尽管 处完全无法看清 且两个 处字迹模 糊 但能断定这两个 处的数值相同 据此 小牛给出了正确答案E 7 2011 泰安模拟 设离散型随机变量X的可能取值为 1 2 3 4 P X k ak b k 1 2 3 4 又X的均值E X 3 则a b 8 两封信随机投入A B C三个空邮箱 则A邮箱的信件数X的数学期望E X 三 解答题 共 38 分 9 12 分 2011 江西 某饮料公司招聘了一名员工 现对其进行一次测试 以便确 定工资级别 公司准备了两种不同的饮料共 8 杯 其颜色完全相同 并且其中 4 杯为A饮 料 另外 4 杯为B饮料 公司要求此员工一一品尝后 从 8 杯饮料中选出 4 杯A饮料 若 4 杯都选对 则月工资定为 3 500 元 若 4 杯选对 3 杯 则月工资定为 2 800 元 否则月 工资定为 2 100 元 令X表示此人选对A饮料的杯数 假设此人对A和B两种饮料没有鉴 别能力 1 求X的分布列 2 求此员工月工资的期望 10 12 分 2011 山东 红队队员甲 乙 丙与蓝队队员 A B C 进行围棋比赛 甲 对 A 乙对 B 丙对 C 各一盘 已知甲胜 A 乙胜 B 丙胜 C 的概率分别为 0 6 0 5 0 5 假设各盘比赛结果相互独立 1 求红队至少两名队员获胜的概率 2 用 表示红队队员获胜的总盘数 求 的分布列和数学期望E 11 14 分 现有甲 乙两个项目 对甲项目每投资十万元 一年后利润是 1 2 万元 1 18 万元 1 17 万元的概率分别为 已知乙项目的利润与产品价格的调整有关 在 1 6 1 2 1 3 每次调整中 价格下降的概率都是p 0 p 1 设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的 调整 记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 对乙项目投资十万元 取 0 1 2 时 一年后相应利润是 1 3 万元 1 25 万元 0 2 万元 随机变量 1 2分别表示对甲 乙两项目各投资十万元一年后的利润 1 求 1 2的概率分布和数学期望E 1 E 2 2 当E 1 E 2 时 求p的取值范围 68 离散型随机变量的均值与方差 自主梳理 1 1 x1p1 x2p2 xipi xnpn 数学期望 平均水平 2 xi E X n i 1 2pi 平均偏离程度 算术平方根 2 1 aE X b 2 a2D X D X 3 1 p p 1 p 2 np np 1 p 自我检测 1 C 2 B 3 B 4 5 3 解析 由题意知P X 0 1 p 2 p 1 3 1 12 1 2 随机变量X的分布列为 X0123 P 1 12 1 3 5 12 1 6 E X 0 1 2 3 1 12 1 3 5 12 1 6 5 3 5 5 9 课堂活动区 例 1 解题导引 要求期望 需先求出分布列 要求分布列 需先求随机变量取每个 值的概率 而求概率离不开常见事件概率的计算方法 第 2 小题注意性质E a b aE b D a b a2D 的应用 解 1 的分布列为 01234 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 E 0 1 2 3 4 1 5 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 D 0 1 5 2 1 1 5 2 2 1 5 2 3 1 5 2 4 1 5 1 2 1 20 1 10 3 20 2 2 75 1 5 2 由D a2D 得a2 2 75 11 即a 2 又E aE b 所以当a 2 时 由 1 2 1 5 b 得b 2 当a 2 时 由 1 2 1 5 b 得b 4 Error 或Error 变式迁移 1 解 1 P X 0 2 A3 3 1 3 P X 1 P X 3 C1 3 A3 3 1 2 1 A3 3 1 6 随机变量X的分布列为 X013 P 1 3 1 2 1 6 2 E X 0 1 3 1 1 3 1 2 1 6 D X 1 0 2 1 1 2 3 1 2 1 1 3 1 2 1 6 例 2 解题导引 1 准确理解事件 甲类组 的含义 把 甲类组 这一复杂事件用 几个互斥的基本事件的和来表示 2 第 2 小题首先判断随机变量 服从二项分布 再求其分布列和均值 解 1 设Ai表示事件 一个试验组中 服用A有效的小白鼠有i只 i 0 1 2 Bi表示事件 一个试验组中 服用B有效的小白鼠有i只 i 0 1 2 依题意有 P A1 2 P A2 1 3 2 3 4 9 2 3 2 3 4 9 P B0 P B1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 所求的概率为 P P B0A1 P B0A2 P B1A2 1 4 4 9 1 4 4 9 1 2 4 9 4 9 2 的可能值为 0 1 2 3 且 B 3 4 9 P 0 3 5 9 125 729 P 1 C 2 1 3 4 9 5 9 100 243 P 2 C 2 2 3 4 9 5 9 80 243 P 3 3 4 9 64 729 的分布列为 0123 P 125 729 100 243 80 243 64 729 数学期望E 0 1 2 3 125 729 100 243 80 243 64 729 4 3 变式迁移 2 解 1 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A 因 为事件A等价于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红 灯 所以事件A的概率为 P A 1 1 3 1 1 3 1 3 4 27 2 由题意可得 的可能取值为 0 2 4 6 8 单位 min 事件 2k 等价于事 件 该学生在上学路上遇到k次红灯 k 0 1 2 3 4 所以P 2k C k4 k k4 1 3 2 3 k 0 1 2 3 4 即 的分布列是 02468 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 所以 的期望是 E 0 2 4 6 8 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 8 3 例 3 解题导引 各投保人是否出险互相独立 且出险的概率都是p 投保人中出险人 数 B 104 p 进而利用二项分布的有关性质求解 解 各投保人是否出险互相独立 且出险的概率都是p 记投保的 10 000 人中出险的 人数为 则 B 104 p 1 记A表示事件 保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金 则 发生当且仅当 A 0 P A 1 P 1 P 0 1 1 p 104 A 又P A 1 0 999104 故p 0 001 2 该险种总收入为 10 000a元 支出是赔偿金总额与成本的和 支出 10 000 50 000 盈利 10 000a 10 000 50 000 盈利的期望为E 10 000a 10 000E 50 000 由 B 104 10 3 知 E 10 000 10 3 E 104a 104E 5 104 104a 104 104 10 3 5 104 E 0 104a 104 10 5 104 0 a 10 5 0 a 15 元 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 变式迁移 3 解 1 1的所有取值为 0 8 0 9 1 0 1 125 1 25 2的所有取值为 0 8 0 96 1 0 1 2 1 44 1 2的分布列分别为 10 80 91 01 1251 25 P0 20 150 350 150 15 20 80 961 01 21 44 P0 30 20 180 240 08 2 令A B分别表示方案一 方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件 P A 0 15 0 15 0 3 P B 0 24 0 08 0 32 可见 方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 3 令 表示方案i的预计利润 则 1101520 P0 350 350 3 2101520 P0 50 180 32 所以E 1 14 75 E 2 14 1 可见 方案一的预计利润更大 课后练习区 1 C 由分布列性质知 0 5 0 1 b 1 b 0 4 E 4 0 5 a 0 1 9 0 4 6 3 a 7 2 A E np 12 D np 1 p 4 1 p p n 18 4 12 1 3 2 3 3 A E X 1 0 4 2 0 3 4 0 3 2 2 E 5X 4 5E X 4 11 4 15 4 B E 1 2 3 4 5 6 3 5 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 D 1 3 5 2 2 3 5 2 3 3 5 2 4 3 5 2 5 3 5 2 6 3 5 2 1 6 35 12 5 A 对称轴在y轴的左侧 a与b同号 的抛物线有 2C C C 126 条 的可取值 1 3 1 3 1 7 有 0 1 2 P 0 P 1 P 2 6 7 126 1 3 8 7 126 4 9 4 7 126 2 9 E 0 1 2 1 3 4 9 2 9 8 9 6 2 解析 设 处的数值为x 则 处的数值为 1 2x 则 E 1 x 2 1 2x 3x x 2 4x 3x 2 7 1 10 解析 离散型随机变量X的可能取值为 1 2 3 4 P X k ak b k 1 2 3 4 所以 a b 2a b 3a b 4a b 1 即 10a 4b 1 又X的均值E X 3 则 a b 2 2a b 3 3a b 4 4a b 3 即 30a 10b 3 a b 0 1 10 a b 1 10 8 2 3 解析 由题意知X B E X 2 2 1 3 1 3 2 3 9 解 1 X的所有可能取值为 0 1 2 3 4 2 分 P X i i 0 1 2 3 4 4 分 Ci4C4 i4 C4 8 即 X01234 P 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 6 分 2 令Y表示此员工的月工资 则Y的所有可能取值为 2 100 2 800 3 500 8 分 则P Y 3 500 P X 4 1 70 P Y 2 800 P X 3 8 35 P Y 2 100 P X 2 53 70 E Y 3 500 2 800 2 100 2 280 10 分 1 70 8 35 53 70 所以此员工月工资的期望为 2 280 元 12 分 10 解 1 设甲胜 A 的事件为D 乙胜 B 的事件为E 丙胜C的事件为F 则 D E 分别表示甲不胜 A 乙不胜 B 丙不胜 C 的事件 F 因为P D 0 6 P E 0 5 P F 0 5 由对立事件的概率公式知P 0 4 P 0 5 DE P 0 5