高中数学总复习资料汇总必修

高中数学总复习资料汇总 必修 1 5 高考数学复习必修 1 第一章 集合 一 基础知识 理解去记 定义 1 一般地 一组确定的 互异的 无序的对象的全体构成集合 简称集 用大写字 母来表示 集合中的各个对象称为元素 用小写字母来表示 元素x在集合 A 中 称x属 于 A 记为 Ax 否则称x不属于 A 记作 Ax 例如 通常用 N Z Q B Q 分别表示自然数集 整数集 有理数集 实数集 正有理数 集 不含任何元素的集合称为空集 用 来表示 集合分有限集和无限集两种 集合的表示方法有列举法 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示 集合的方法 如 1 2 3 描述法 将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法 例如 有理数 0 xx 分别表示有理数集和正实数集 定义 2 子集 对于两个集合 A 与 B 如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素 则 A 叫做 B 的子集 记为 BA 例如 ZN 规定空集是任何集合的子集 如果 A 是 B 的子集 B 也是 A 的子集 则称 A 与 B 相等 如果 A 是 B 的子集 而且 B 中存在元素不属 于 A 则 A 叫 B 的真子集 便于理解 BA 包含两个意思 A 与 B 相等 A 是 B 的真子集 定义 3 交集 BxAxxBA 且 定义 4 并集 BxAxxBA 或 定义 5 补集 若 1 AxIxxACIA 且则 称为 A 在 I 中的补集 定义 6 集合 baRxbxax 记作开区间 ba 集合 baRxbxax 记作闭区间 ba R 记作 定义 7 空集 是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 1 确定性 集合中的元素 必须是确定的 对于集合A和元素a 要么a A 要么a A 二 者必居其一 比如 所有大于 100 的数 组成一个集合 集合中的元素是确定的 而 较大的整数 就不能构成一个集合 因为它的对象是不确定的 再如 较大的树 较 高的人 等都不能构成集合 2 互异性 对于一个给定的集合 集合中的元素一定是不同的 任何两个相同的对象在同一集合 中时 只能算作这个集合中的一个元素 如 由a 2 a 组成一个集合 则a的取值不能是 0或 1 3 无序性 集合中的元素的次序无先后之分 如 由12 3 上上 组成一个集合 也可以写成13 2 上上 组成 一个集合 它们都表示同一个集合 帮你总结 学习集合表示方法时应注意的问题 1 注意a与 a 的区别 a是集合 a 的一个元素 而 a 是含有一个元素a的集合 二者的关系是 aa 2 注意 与 0 的区别 是不含任何元素的集合 而 0 是含有元素0的集合 3 在用列举法表示集合时 一定不能犯用 实数集 或 R 来表示实数集R这一类错 误 因为这里 大括号 已包含了 所有 的意思 用特征性质描述法表示集合时 要特别注意这个集合中的元素是什么 它应具备哪些 特征性质 从而准确地理解集合的意义 例如 集合 xy yx 上 中的元素是 xy上 这个集合表示二元方程 yx 的解集 或者理解为曲线 yx 上的点组成的点集 集合 x yx 中的元素是x 这个集合表示函数 yx 中自变量x的取值范围 集合 y yx 中的元素是 y 这个集合表示函数 yx 中函数值 y 的取值范围 集合 yx 中的元素只有一个 方程 yx 它是用列举法表示的单元素集 合 4 常见题型方法 当集合中有 n 个元素时 有 2n 个子集 有 2n 1 个真子集 有 2n 2 个非空真子集 二 基础例题 必会 例 1 已知 2 43Ay yxxx R上 2 22By yxxx R上 求 AB 正解 22 43 2 11yxxx 22 22 1 33yxxx 1Ay y 3By y 13AByy 解析 这道题要注意研究的元素 看竖线前的元素 均是 y 所以要求出两个集合中 y 的 范围再求交集 A 中的 y 范围是求表达式的值域 因此此题是表示两个函数值域的集合 例 2 若 32 2 427Aaaa 上上 2232 1 1122 38 37 2 Baaaaaaaa 上上上上 且 2 5AB 上 试求实数 a 正解 A B 2 5 由 32 275aaa 解得 2a 或 1a 当 a 1 时 2 221aa 与元素的互异性矛盾 故舍去 1a 当 1a 时 10 5 2 4B 上上上上 此时 2 4 5AB 上上 这与 2 5AB 上 矛盾 故 又舍去 1a 当 2a 时 2 4 5A 上上 13 2 5 25B 上上上上 此时 2 5AB 上 满足题意 故 2a 为 所求 解析 此题紧紧抓住集合的三大性质 确定性 互异性 无序性 三 趋近高考 必懂 1 2010 年江苏高考 1 设集合 A 1 1 3 B a 2 a2 4 A B 3 则实数 a 方法 将集合 B 两个表达式都等于 3 且抓住集合三大性质 答案 1 2 2010 湖北卷 2 设集合 A 22 1 416 xy x y B 3 x x yy 则 A B 的子 集的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 方法 注意研究元素 是点的形式存在 A 是椭圆 B 是指数函数 有数形结合方法 交于 两个点 说明集合中有两个元素 还要注意 题目求子集个数 所以是 22 4 答案 A 集合穿针 转化引线 最新 一 集合与常用逻辑用语 3 若 2 3840 1 2 0pxxqxx 上 则 p 是 q 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析 2 3840pxx 即 2 3 x 或 2x 2 2 3 px 1 2 0qxx 即 1x 或 2x 12qx 由集合关系知 pq 而 qp p 是 q 的充分条件 但不是必要条件 故选 4 若k R 则 3k 是 方程 22 1 33 xy kk 表示双曲线 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析 方程 22 1 33 xy kk 表示双曲线 3 3 03kkk 或 3k 故选 A 二 集合与函数 5 已知集合 2 2 2 Py yxxQx yxx RR上上上 那么 PQ 等 于 A 0 2 1 1 B 0 2 1 1 C 1 2 D 2 y y 解析 由代表元素可知两集合均为数集 又 P 集合是函数 2 2yx 中的 y 的取值范 围 故 P 集合的实质是函数 2 2yx 的值域 而 Q 集合则为函数 2yx 的定义域 从而易知 2 PQy y 选 D 评注 认识一个集合 首先要看其代表元素 再看该元素的属性 本题易因误看代表 元素而错选 或 三 集合与方程 6 已知 2 2 10 0 Ax xpxxBx x R上上 且 AB 求实数 p 的 取值范围 解析 集合 A 是方程 2 2 10 xpx 的解集 则由 AB 可得两种情况 A 则由 2 2 40p 得 40p 方程 2 2 10 xpx 无正实根 因为 12 10 x x 则有 0 2 0p 上 上 于是 0p 综上 实数 p 的取值范围为 4 p p 四 集合与不等式 7 已知集合 222 412 21 1 0 Aa axxxaBx xmxm m 上上上上 若 AB 求实数 m 的取值范围 解析 由不等式 22 412axxxa 恒成立 可得 2 2 4 1 0axxa 1 当 20a 即 2a 时 式可化为 3 4 x 显然不符合题意 2 当 20a 时 欲使 式对任意 x 均成立 必需满足 20 0 a 上 上 即 2 2 44 2 1 0 a aa 上 上 解得 2 Aa a 集合 B 是不等式 2 21 1 0 xmxm m 的解集 可求得 1 Bx mxm 结合数轴 只要 12m 即可 解得 1m 五 集合与解析几何 例 6 已知集合 2 20 Axy xmxy 上 和 10 02 Bxy xyx 上上 如果 AB 求实数 m 的取值范围 解析 从代表元素 xy上 看 这两个集合均为点集 又 2 20 xmxy 及 10 xy 是两个曲线方程 故 AB 的实质为两个曲线有交点的问题 我们将其 译成数学语言即为 抛物线 2 20 xmxy 与线段 10 02 xyx 有公共 点 求实数 m 的取值范围 由 2 20 10 02 xmxy xyx 上 上 得 2 1 10 02 xmxx AB 方程 在区间 0 2 上至少有一个实数解 首先 由 2 1 40m 得 3m 或 1m 当 m 3 时 由 12 1 0 xxm 及 12 1x x 知 方程 只有负根 不符合要求 当 1m 时 由 12 1 0 xxm 及 12 10 x x 知 方程 有两个互为倒数的 正根 故必有一根在区间 01 上 内 从而方程 至少有一个根在区间 0 2 内 综上 所求 m 的取值范围是 1 上 第二章 函数 一 基础知识 理解去记 定义 1 映射 对于任意两个集合 A B 依对应法则 f 若对 A 中的任意一个元素 x 在 B 中都有唯一一个元素与之对应 则称 f A B 为一个映射 定义 2 函数 映射 f A B 中 若 A B 都是非空数集 则这个映射为函数 A 称为它的 定义域 若 x A y B 且 f x y 即 x 对应 B 中的 y 则 y 叫做 x 的象 x 叫 y 的原象 集合 f x x A 叫函数的值域 通常函数由解析式给出 此时函数定义域就是使解析式有 意义的未知数的取值范围 如函数 y 3 x 1 的定义域为 x x 0 x R 定义 3 反函数 若函数 f A B 通常记作 y f x 是一一映射 则它的逆映射 f 1 A B 叫原函数的反函数 通常写作 y f 1 x 这里求反函数的过程是 在解析式 y f x 中反解 x 得 x f 1 y 然后将 x y 互换得 y f 1 x 最后指出反函数的定义域即原函数 的值域 例如 函数 y x 1 1 的反函数是 y 1 x 1 x 0 补充知识点 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x 对称 定理 2 在定义域上为增 减 函数的函数 其反函数必为增 减 函数 定义 4 函数的性质 1 单调性 设函数 f x 在区间 I 上满足对任意的 x1 x2 I 并且 x1 x2 总有 f x1 f x2 则称 f x 在区间 I 上是增 减 函数 区间 I 称为单调增 减 区 间 2 奇偶性 设函数 y f x 的定义域为 D 且 D 是关于原点对称的数集 若对于任意的 x D 都有 f x f x 则称 f x 是奇函数 若对任意的 x D 都有 f x f x 则称 f x 是偶函数 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y 轴对称 3 周期性 对于函数 f x 如果存在一个不为零的常数 T 使得当 x 取定义域内每一个 数时 f x T f x 总成立 则称 f x 为周期函数 T 称为这个函数的周期 如果周期中存 在最小的正数 T0 则这个正数叫做函数 f x 的最小正周期 定义 5 如果实数 a b 则数集 x a x b x R 叫做开区间 记作 a b 集合 x a x b x R 记作闭区间 a b 集合 x a x b 记作半开半闭区间 a b 集合 x a xa 记作开区间 a 集合 x x a 记作半开半闭区间 a 定义 6 函数的图象 点集 x y y f x x D 称为函数 y f x 的图象 其中 D 为 f x 的定义域 通过画图不难得出函数 y f x 的图象与其他函数图象之间的关系 a b 0 1 向右平移 a 个单位得到 y f x a 的图象 2 向左平移 a 个单位得到 y f x a 的图象 3 向下平移 b 个单位得到 y f x b 的图象 4 与函数 y f x 的图象关于 y 轴对称 5 与函数 y f x 的图象关于原点成中心对称 6 与函数 y f 1 x 的图象关于直线 y x 对称 7 与函数 y f x 的图象关于 x 轴对 称 定理 3 复合函数 y f g x 的单调性 记住四个字 同增异减 例如 y x 2 1 u 2 x 在 2 上是减函数 y u 1 在 0 上是减函数 所以 y x 2 1 在 2 上是 增函数 注 复合函数单调性的判断方法为同增异减 这里不做严格论证 求导之后是显然的 一 基础知识 初中知识 必会 1 二次函数 当 a 0 时 y ax2 bx c 或 f x ax2 bx c 称为关于 x 的二次函数 其对称 轴为直线 x a b 2 另外配方可得 f x a x x0 2 f x0 其中 x0 a b 2 下同 2 二次函数的性质 当 a 0 时 f x 的图象开口向上 在区间 x0 上随自变量 x 增 大函数值减小 简称递减 在 x0 上随自变量增大函数值增大 简称递增 当 a0 时 方程 f x 0 即 ax2 bx c 0 和不等式 ax2 bx c 0 及 ax2 bx c0 时 方程 有两个不等实根 设 x1 x2 x1 x2 不等式 和不等式 的解集分 别是 x xx2 和 x x1 x x2 二次函数 f x 图象与 x 轴有两个不同的交点 f x 还可写成 f x a x x1 x x2 2 当 0 时 方程 有两个相等的实根 x1 x2 x0 a b 2 不等式 和不等式 的解集分 别是 x x a b 2 和空集 f x 的图象与 x 轴有唯一公共点 3 当 0 时 方程 无解 不等式 和不等式 的解集分别是 R 和 f x 图象与 x 轴无 公共点 当 a0 当 x x0 时 f x 取最小值 f x0 a bac 4 4 2 若 a0 当 x0 m n 时 f x 在 m n 上的最小值为 f x0 当 x0n 时 f x 在 m n 上的最小值为 f n 以上结论由 二次函数图象即可得出 定义 1 能判断真假的语句叫命题 如 3 5 是命题 萝卜好大 不是命题 不含逻辑 联结词 或 且 非 的命题叫做简单命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题由 复合命题 一定注意 p 或 q 复合命题只有当 p q 同为假命题时为假 否则为真命题 p 且 q 复合命题只有当 p q 同时为真命题时为真 否则为假命题 p 与 非 p 即 p 恰好 一真一假 定义 2 原命题 若 p 则 q p 为条件 q 为结论 逆命题 若 q 则 p 否命题 若非 p 则 q 逆否命题 若非 q 则非 p 一定注意 原命题与其逆否命题同真假 一个命题的逆命题和否命题同真假 一定注意 反证法的理论依据是矛盾的排中律 而未必是证明原命题的逆否命题 定义 3 如果命题 若 p 则 q 为真 则记为 p q 否则记作 p q 在命题 若 p 则 q 中 如果已知 p q 则 p 是 q 的充分条件 如果 q p 则称 p 是 q 的必要条件 如果 p q 但 q 不 p 则称 p 是 q 的充分非必要条件 如果 p 不 q 但 p q 则 p 称为 q 的必要 非充分条件 若 p q 且 q p 则 p 是 q 的充要条件 二 基础例题 必懂 1 数形结合法 例 1 09 江西 求方程 x 1 x 1 的正根的个数 解 分别画出 y x 1 和 y x 1 的图象 由图象可知两者有唯一交点 所以方程有一个正根 例 2 2010 广西模拟 求函数 f x 11363 2424 xxxxx 的最大值 解 f x 222222 0 1 3 2 xxxx 记点 P x x 2 x y x 1 1 x A 3 2 B 0 1 则 f x 表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差 因为 PA PA AB 10 12 3 22 当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y x2 的交 点时等号成立 所以 f x max 10 2 函数性质的应用 例 3 10 全国 设 x y R 且满足 1 1 1997 1 1 1 1997 1 3 2 yy xx 求 x y 解 设 f t t3 1997t 先证 f t 在 上递增 事实上 若 a0 所以 f t 递增 由题设 f x 1 1 f 1 y 所以 x 1 1 y 所以 x y 2 例 4 10 全国 奇函数 f x 在定义域 1 1 内是减函数 又 f 1 a f 1 a2 0 求 a 的取值范围 解 因为 f x 是奇函数 所以 f 1 a2 f a2 1 由题设 f 1 a f a2 1 又 f x 在定义域 1 1 上递减 所以 1 1 a a2 1 1 解得 0 a 1 例 5 10 全国 设 f x 是定义在 上以 2 为周期的函数 对 k Z 用 Ik 表示区间 2k 1 2k 1 已知当 x I0 时 f x x2 求 f x 在 Ik 上的解析式 解 设 x Ik 则 2k 10 则由 得 n 0 设 f t t 4 2 t 1 则 f t 在 0 上是增函数 又 f m f n 所以 m n 所以 3x 1 2x 3 0 所以 x 5 4 若 m0 同理有 m n 0 x 5 4 但与 m 0 矛盾 综上 方程有唯一实数解 x 5 4 3 配方法 例 7 经典例题 求函数 y x 12 x 的值域 解 y x 12 x 2 1 2x 1 2 12 x 1 1 2 1 12 x 1 1 2 1 1 2 1 当 x 2 1 时 y 取最小值 2 1 所以函数值域是 2 1 4 换元法 例 8 经典例题 求函数 y x 1 x 1 2 2 1x 1 x 0 1 的值域 解 令 x 1 x 1 u 因为 x 0 1 所以 2 u2 2 2 2 1x 4 所以 2 u 2 所以2 22 2 2 u 2 1 2 2 u 2 所以 y 2 2 u u2 2 2 8 所以该函数值域为 2 2 8 5 判别式法 例 9 求函数 y 43 43 2 2 xx xx 的值域 解 由函数解析式得 y 1 x2 3 y 1 x 4y 4 0 当 y 1 时 式是关于 x 的方程有实根 所以 9 y 1 2 16 y 1 2 0 解得7 1 y 1 又当 y 1 时 存在 x 0 使解析式成立 所以函数值域为 7 1 7 6 关于反函数 例 10 10 年宁夏 若函数 y f x 定义域 值域均为 R 且存在反函数 若 f x 在 上递增 求证 y f 1 x 在 上也是增函数 证明 设 x1 x2 且 y1 f 1 x1 y2 f 1 x2 则 x1 f y1 x2 f y2 若 y1 y2 则 因为 f x 在 上递增 所以 x1 x2 与假设矛盾 所以 y1 y2 即 y f 1 x 在 递增 例 11 经典例题 设函数 f x 4 23 14 x x 解方程 f x f 1 x 解 首先 f x 定义域为 3 2 4 1 其次 设 x1 x2 是定义域内变 量 且 x1 x20 所以 f x 在 3 2 上递增 同理 f x 在 4 1 上递增 在方程 f x f 1 x 中 记 f x f 1 x y 则 y 0 又由 f 1 x y 得 f y x 所以 x 0 所以 x y 4 1 若 x y 设 x y 则 f x yy 也可得出矛盾 所以 x y 即 f x x 化简得 3x5 2x4 4x 1 0 即 x 1 3x4 5x3 5x2 5x 1 0 因为 x 0 所以 3x4 5x3 5x2 5x 1 0 所以 x 1 7 待定系数法 例 1 经典例题 设方程 x2 x 1 0 的两根是 求满足 f f f 1 1 的二次函数 f x 解 设 f x ax2 bx c a 0 则由已知 f f 相减并整理得 a b 1 0 因为方程 x2 x 1 0 中 0 所以 所以 a b 1 0 又 1 所以 a b 1 0 又因为 f 1 a b c 1 所以 c 1 1 所以 c 2 又 b a 1 所以 f x ax2 a 1 x 2 再由 f 得 a 2 a 1 2 所以 a 2 a 2 1 所以 a 2 a 1 0 即 a 2 1 1 a 0 即 1 a 0 所以 a 1 所以 f x x2 2x 2 8 方程的思想 例 2 10 全国 已知 f x ax2 c 满足 4 f 1 1 1 f 2 5 求 f 3 的取值范围 解 因为 4 f 1 a c 1 所以 1 f 1 c a 4 又 1 f 2 4a c 5 f 3 3 8 f 2 3 5 f 1 所以3 8 1 3 5 f 3 3 8 5 3 5 4 所以 1 f 3 20 9 利用二次函数的性质 例 3 经典例题 已知二次函数 f x ax2 bx c a b c R a 0 若方程 f x x 无实 根 求证 方程 f f x x 也无实根 证明 若 a 0 因为 f x x 无实根 所以二次函数 g x f x x 图象与 x 轴无公共点且 开口向上 所以对任意的 x R f x x 0 即 f x x 从而 f f x f x 所以 f f x x 所以方程 f f x x 无实根 注 请读者思考例 3 的逆命题是否正确 10 利用二次函数表达式解题 例 4 经典例题 设二次函数 f x ax2 bx c a 0 方程 f x x 的两根 x1 x2 满足 0 x1 x2 a 1 当 x 0 x1 时 求证 x f x x1 设函数 f x 的图象关于 x x0 对称 求证 x0 2 1 x 证明 因为 x1 x2 是方程 f x x 0 的两根 所以 f x x a x x1 x x2 即 f x a x x1 x x2 x 当 x 0 x1 时 x x1 0 x x20 所以 f x x 其次 f x x1 x x1 a x x2 1 a x x1 x x2 a 1 0 所以 f x x1 综上 x f x 1 求证 方程的正根比 1 小 负根比 1 大 证明 方程化为 2a2x2 2ax 1 a2 0 构造 f x 2a2x2 2ax 1 a2 f 1 a 1 2 0 f 1 a 1 2 0 f 0 1 a20 所以 f x 在区间 1 0 和 0 1 上各有一根 即方程的正根比 1 小 负根比 1 大 12 定义在区间上的二次函数的最值 例 6 经典例题 当 x 取何值时 函数 y 22 24 1 5 x xx 取最小值 求出这个最小值 解 y 1 222 1 5 1 1 xx 令 1 1 2 x u 则 0 u 1 y 5u2 u 1 5 20 19 20 19 10 1 2 u 且当 10 1 u 即 x 3 时 ymin 20 19 例 7 设变量 x 满足 x2 bx x b 1 并且 x2 bx 的最小值是 2 1 求 b 的值 解 由 x2 bx x b b 1 即 b 2 时 x2 bx 在 0 b 1 上是减函数 所以 x2 bx 的最小值为 b 1 b 1 2 1 b 2 3 综上 b 2 3 13 一元二次不等式问题的解法 例 8 经典例题 已知不等式组 12 0 22 ax aaxx 的整数解恰好有两个 求 a 的取值范围 解 因为方程 x2 x a a2 0 的两根为 x1 a x2 1 a 若 a 0 则 x1 x2 的解集为 a x1 2a 因为 1 2a 1 a 所以 a 0 所以不等式组无解 若 a 0 当 0 a 2 1 时 x1 x2 的解集为 a x 1 a 因为 0 a x 1 a2 1 时 a 1 a 由 得 x 1 2a 所以不等式组的解集为 1 a x1 且 a 1 a 3 所以 1 a 2 并且当 1 a 2 时 不等式组恰有两个整数解 0 1 综上 a 的取值范围是 10 B A C 2 y z 2 4AC y z 2 0 恒成立 所以 B A C 2 4AC 0 即 A2 B2 C2 2 AB BC CA 同理有 B 0 C 0 所以必要性成立 再证充分性 若 A 0 B 0 C 0 且 A2 B2 C2 2 AB BC CA 1 若 A 0 则由 B2 C2 2BC 得 B C 2 0 所以 B C 所以 0 所以 成立 成立 2 若 A 0 则由 知 0 所以 成立 所以 成立 综上 充分性得证 15 常用结论 定理 1 若 a b R a b a b a b 绝对值不等式 证明 因为 a a a b b b 所以 a b a b a b 所以 a b a b 注 若 m 0 则 m x m 等价于 x m 又 a a b b a b b 即 a b a b 综上定理 1 得证 定理 2 若 a b R 则 a2 b2 2ab 若 x y R 则 x y 2 xy 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况 在不等式证明一章中详细论证 第三章 基本初等函数 一 基础知识 必会 1 指数函数及其性质 形如 y ax a 0 a 1 的函数叫做指数函数 其定义域为 R 值域 为 0 当 0 a1 时 y ax 为增函数 它的图象恒过定 点 0 1 2 分数指数幂 nm n m n nnm n m n n a a a aaaaa 1 1 1 3 对数函数及其性质 形如 y logax a 0 a 1 的函数叫做对数函数 其定义域为 0 值域为 R 图象过定点 1 0 当 0 a1 时 y logax 为增函数 4 对数的性质 M 0 N 0 1 ax M x logaM a 0 a 1 2 loga MN loga M loga N 3 loga N M loga M loga N 4 loga Mn n loga M 万能恒等式 5 loga n M n 1 loga M 6 aloga M M 7 loga b a b c c log log a b c 0 a c 1 5 函数 y x x a a 0 的单调递增区间是 a 和 a 单调递减区间为 0 a 和 a 0 请同学自己用定义证明 6 连续函数的性质 若 a b f x 在 a b 上连续 且 f a f b 0 证明 设 f x b c x bc 1 x 1 1 则 f x 是关于 x 的一次函数 所以要证原不等式成立 只需证 f 1 0 且 f 1 0 因为 1 a0 f 1 b c bc a 1 b 1 c 0 所以 f a 0 即 ab bc ca 1 0 例 2 06 柯西不等式 若 a1 a2 an 是不全为 0 的实数 b1 b2 bn R 则 n i i a 1 2 n i i b 1 2 n i iib a 1 2 等号当且仅当存在 R 使 ai i b i 1 2 n 时成立 证明 令 f x n i i a 1 2 x2 2 n i iib a 1 x n i i b 1 2 n i ii bxa 1 2 因为 n i i a 1 2 0 且对任意 x R f x 0 所以 4 n i iib a 1 4 n i i a 1 2 n i i b 1 2 0 展开得 n i i a 1 2 n i i b 1 2 n i iib a 1 2 等号成立等价于 f x 0 有实根 即存在 使 ai i b i 1 2 n 注释 根据许多省市的 2011 年高考大纲 柯西不等式已经淡化 同学只需大致了解就 即可 不需深入做题 例 3 10 全国卷 设 x y R x y c c 为常数且 c 0 2 求 u y y x x 11 的最小值 解 u y y x x 11 xy xyx y y x1 xy xy 1 2 x y y x xy xy 1 2 令 xy t 则 0 t xy 44 22 cyx 设 f t t t 1 0 t 4 2 c 因为 0 c 2 所以 00 所以 p q 2 51 例 5 经典例题 对于正整数 a b c a b c 和实数 x y z w 若 ax by cz 70w 且 wzyx 1111 求证 a b c 证明 由 ax by cz 70w 取常用对数得 xlga ylgb zlgc wlg70 所以w 1 lga x 1 lg70 w 1 lgb y 1 lg70 w 1 lgc z 1 lg70 相加得w 1 lga lgb lgc zyx 111 lg70 由题设 wzyx 1111 所以 lga lgb lgc lg70 所以 lgabc lg70 所以 abc 70 2 5 7 若 a 1 则因为 xlga wlg70 所以 w 0 与题设矛盾 所以 a 1 又 a b c 且 a b c 为 70 的正约数 所以只有 a 2 b 5 c 7 所以 a b c 例 6 经典例题 已知 x 1 ac 1 a 1 c 1 且 logax logcx 2logbx 求证 c2 ac logab 证明 由题设 logax logcx 2logbx 化为以 a 为底的对数 得 b x c x x a a a a a log log2 log log log 因为 ac 0 ac 1 所以 logab logacc2 所以 c2 ac logab 注 指数与对数式互化 取对数 换元 换底公式往往是解题的桥梁 3 指数与对数方程的解法 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解 值得注意的是函数单 调性的应用和未知数范围的讨论 例 7 经典例题 解方程 3x 4 x 5 x 6 x 解 方程可化为 xxx 6 5 3 2 2 1 1 设 f x xxx 6 5 3 2 2 1 则 f x 在 上是减函数 因为 f 3 1 所以方程只有一个解 x 3 例 8 经典例题 解方程组 3 12 xy yx yx yx 其中 x y R 解 两边取对数 则原方程组可化为 3lg lg12lg glxyyx yxyx 把 代入 得 x y 2lgx 36lgx 所以 x y 2 36 lgx 0 由 lgx 0 得 x 1 由 x y 2 36 0 x y R 得 x y 6 代入 得 lgx 2lgy 即 x y2 所以 y2 y 6 0 又 y 0 所以 y 2 x 4 所以方程组的解为 2 4 1 1 2 2 1 1 y x y x 例 9 已知 a 0 a 1 试求使方程 loga x ak loga2 x2 a2 有解的 k 的取值范围 解 由对数性质知 原方程的解 x 应满足 0 0 22 222 ax akx axakx 若 同时成立 则 必成立 故只需解 0 222 akx axakx 由 可得 2kx a 1 k2 当 k 0 时 无解 当 k 0 时 的解是 x k ka 2 1 2 代入 得 k k 2 1 2 k 若 k1 所以 k0 则 k2 1 所以 0 k0 则 Ax By C 0 表示的区域为 l 上方的部分 Ax By C0 其圆心为 2 2 ED 半径为 FED4 2 1 22 若点 P x0 y0 为圆上一点 则过点 P 的切线方程为 0 22 00 00 F yy E xx Dyyxx 14 根轴 到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线 或它的一部分 这条直线叫两圆 的根轴 给定如下三个不同的圆 x2 y2 Dix Eiy Fi 0 i 1 2 3 则它们两两的根轴方 程分别为 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 D2 D3 x E2 E3 y F2 F3 0 D3 D1 x E3 E1 y F3 F1 0 不难证明这三条直线交于一点或者互相平行 这就是著名的蒙日定理 二 基础例题 必会 1 坐标系的选取 建立坐标系应讲究简单 对称 以便使方程容易化简 例 1 经典例题 在 ABC 中 AB AC A 900 过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E 求证 ADB CDE 证明 见图 10 1 以 A 为原点 AC 所在直线为 x 轴 建立直角坐标系 设点 B C 坐标 分别为 0 2a 2a 0 则点 D 坐标为 a 0 直线 BD 方程为 1 2 a y a x 直线 BC 方程为 x y 2a 设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1 k2 则 k1 2 因为 BD AE 所以 k1k2 1 所以 2 1 2 k 所以直线 AE 方程为 xy 2 1 由 ayx xy 2 2 1 解得点 E 坐标 为 aa 3 2 3 4 所以直线 DE 斜率为 2 3 4 3 2 3 aa a k 因为 k1 k3 0 所以 BDC EDC 1800 即 BDA EDC 例 2 经典例题 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动 证明 三 角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为 600 证明 以 A 为原点 平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴 建立直角坐标系见图 10 2 设 D 的半径等于 BC 边上的高 并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB AC 的交 点分别为 E F 设半径为 r 则直线 AB AC 的方程分别为 xy3 xy3 设 D 的 方程为 x m 2 y2 r2 设点 E F 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 3 11 xy 22 3xy 分别代入 并消去 y 得 0 3 03 22 2 2 2 22 1 2 1 rxmxrxmx 所以 x1 x2 是方程 4x2 2mx m2 r2 0 的两根 由韦达定理 4 2 22 21 21 rm xx m xx 所以 EF 2 x1 x2 2 y1 y2 2 x1 x2 2 3 x1 x2 2 4 x1 x2 2 4x1x2 m2 m2 r2 r2 所以 EF r 所以 EDF 600 2 到角公式的使用 例 3 设双曲线 xy 1 的两支为 C1 C2 正 PQR 三顶点在此双曲线上 求证 P Q R 不 可能在双曲线的同一支上 证明 假设 P Q R 在同一支上 不妨设在右侧一支 C1 上 并设 P Q R 三点的坐标分 别为 1 1 1 3 3 2 2 1 1 x x x x x x 且 0 x1 x2 1 在 1 区域里 求函数 f x y y ax 的最大值 最小值 解 1 由已知得 032 322 41 x xy yx 或 032 232 41 x xy yx 解得点 x y 所在的平面区域如图 10 4 所示 其中各直线方程如图所示 AB y 2x 5 CD y 2x 1 AD x y 1 BC x y 4 2 f x y 是直线 l y ax k 在 y 轴上的截距 直线 l 与阴影相交 因为 a 1 所以它 过顶点 C 时 f x y 最大 C 点坐标为 3 7 于是 f x y 的最大值为 3a 7 如果 12 则 l 通过 B 3 1 时 f x y 取最小值为 3a 1 6 参数方程的应用 例 7 如图 10 5 所示 过原点引直线交圆 x2 y 1 2 1 于 Q 点 在该直线上取 P 点 使 P 到直线 y 2 的距离等于 PQ 求 P 点的轨迹方程 解 设直线 OP 的参数方程为 sin cos ty tx t 参数 代入已知圆的方程得 t2 t 2sin 0 所以 t 0 或 t 2sin 所以 OQ 2 sin 而 OP t 所以 PQ t 2sin 而 PM 2 tsin 所以 t 2sin 2 tsin 化简得 t 2 或 t 2 或 sin 1 当 t 2 时 轨迹方程为 x2 y2 4 当 sin 1 时 轨迹方程为 x 0 7 与圆有关的问题 例 8 点 A B C 依次在直线 l 上 且 AB ABC 过 C 作 l 的垂线 M 是这条垂线上的动点 以 A 为圆心 AB 为半径作圆 MT1 与 MT2 是这个圆的切线 确定 AT1T2 垂心 的轨迹 解 见图 10 6 以 A 为原点 直线 AB 为 x 轴建立坐标系 H 为 OM 与圆的交点 N 为 T1T2 与 OM 的交点 记 BC 1 以 A 为圆心的圆方程为 x2 y2 16 连结 OT1 OT2 因为 OT2 MT2 T1H MT2 所以 OT2 HT1 同理 OT1 HT2 又 OT1 OT2 所以 OT1HT2 是菱形 所以 2ON OH 又因为 OM T1T2 OT1 MT1 所以 2 1 OT ON OM 设点 H 坐标为 x y 点 M 坐标为 5 b 则点 N 坐标为 2 2 yx 将坐标代入 2 1 OT ON OM 再由 x yb 5 得 5 16 5 16 2 2 2 yx 在 AB 上取点 K 使 AK 5 4 AB 所求轨迹是以 K 为圆心 AK 为半径的圆 例 9 已知圆 x2 y2 1 和直线 y 2x m 相交于 A B 且 OA OB 与 x 轴正方向所成的角是 和 见图 10 7 求证 sin 是定值 证明 过 D 作 OD AB 于 D 则直线 OD 的倾斜角为 2 因为 OD AB 所以 2 1 2 tan 所以 2 1 2 tan 所以 5 4 2 tan1 2 tan2 sin 2 例 10 已知 O 是单位圆 正方形 ABCD 的一边 AB 是 O 的弦 试确定 OD 的最大值 最 小值 解 以单位圆的圆心为原点 AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系 设点 A B 的坐标分别 为 A cos sin B cos sin 由题设 AD AB 2sin 这里不妨设 A 在 x 轴上 方 则 0 由对称性可设点 D 在点 A 的右侧 否则将整个图形关于 y 轴作对称即 可 从而点 D 坐标为 cos 2sin sin 所以 OD 1cossin4sin4sin sin2 cos 222 4 2sin2233 2cos2 sin2 因为 22 4 2sin2222 所以 1 2 12 OD 当 8 3 时 OD max 2 1 当 8 7 时 OD min 1 2 例 11 当 m 变化且 m 0 时 求证 圆 x 2m 1 2 y m 1 2 4m2 的圆心在一条定直线上 并求这一系列圆的公切线的方程 证明 由 1 12 mb ma 消去 m 得 a 2b 1 0 故这些圆的圆心在直线 x 2y 1 0 上 设公切 线方程为 y kx b 则由相切有 2 m 2 1 1 12 k bmmk 对一切 m 0 成立 即 4k 3 m2 2 2k 1 k b 1 m k b 1 2 0 对一切 m 0 成立 所以 01 034 bk k 即 4 7 4 3 b k 当 k 不存在时直线为 x 1 所以公切线方程 y 4 7 4 3 x 和 x 1 三 趋近高考 必懂 1 2010 江西理 8 直线 3ykx 与圆 22 324xy 相交于 M N 两点 若 2 3MN 则 k 的取值范围是 A 3 0 4 B 3 0 4 C 33 33 D 2 0 3 答案 A 解析 考查直线与圆的位置关系 点到直线距离公式 重点考察 数形结合的运用 解法 1 圆心的坐标为 3 2 且圆与 y 轴相切 当 MN 2 3 时 由点到直线距离公式 解得 3 0 4 解法 2 数形结合 如图由垂径定理得夹在两直线之间即可 不 取 排除 B 考虑区间不对称 排除 C 利用斜率估值 选 A 2 2010 安徽文 4 过点 1 0 且与直线 x 2y 2 0 平行的直 线方程是 A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C 2x y 2 0 D x 2y 1 0 答案 A 解析 设直线方程为 20 xyc 又经过 1 0 故 1c 所求方程为 210 xy 方法技巧 因为所求直线与与直线 x 2y 2 0 平行 所以设平行直线系方程为 20 xyc 代入此直线所过的点的坐标 得参数值 进而得直线方程 也可以用验证 法 判断四个选项中方程哪一个过点 1 0 且与直线 x 2y 2 0 平行 3 2010 重庆文 8 若直线 yxb 与曲线 2cos sin x y 0 2 有两个不同 的公共点 则实数b的取值范围为 A 2 2 1 B 2 2 22 C 22 22 D 2 2 22 答案 D 解析 2cos sin x y 化为普通方程 22 2 1xy 表示圆 因为直线与圆有两个不同的交点 所以 2 1 2 b 解得2 222b 法 2 利用数形结合进行分析得 22 22ACbb 同理分析 可知2 222b 4 2010 重庆理 8 直线 y 3 2 3 x 与圆心为 D 的圆 33cos 13sin x y 0 2 交与 A B 两点 则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 A 7 6 B 5 4 C 4 3 D 5 3 答案 C 解析 数形结合 301 302 由圆的性质可知 21 3030 故 4 3 5 2010 广东文 6 2010 全国卷 1 理 11 已知圆 O 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两 切点 那么PA PB 的最小值为 A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 7 2010 安徽理 9 动点 A x y 在圆 22 1xy 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转 12 秒旋转一周 已知时间 0t 时 点A的坐标是 13 22 则当0 12t 时 动点A的 纵坐标 y 关于t 单位 秒 的函数的单调递增区间是 A 0 1 B 1 7 C 7 12 D 0 1 和 7 12 答案 D 解析 画出图形 设动点 A 与x轴正方向夹角为 则 0t 时 3 每秒钟旋转6 在 0 1t 上 3 2 在 7 12 上 37 23 动点A的纵坐标 y 关于t都是单调 递增的 方法技巧 由动点 A x y 在圆 22 1xy 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转 可知 与三角函数的定义类似 由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度 画出单位圆 很容易看 出 当 t 在 0 12 变化时 点A的纵坐标 y 关于t 单位 秒 的函数的单调性的变化 从而得单调递增区间 8 2009 江苏卷 18 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系 xoy 中 已知圆 22 1 3 1 4Cxy 和圆 22 2 4 5 4Cxy 1 若直线l过点 4 0 A 且被圆 1 C 截得的弦长为2 3 求 直线l的方程 2 设 P 为平面上的点 满足 存在过点 P 的无穷多对互相垂 直的直线 1 l 和 2 l 它们分别与圆 1 C 和圆 2 C 相交 且直线 1 l 被圆 1 C 截得的弦长与直线 2 l 被圆 2 C 截得的弦长相等 试求所有满足 条件的点 P 的坐标 解析 1 设直线l的方程为 4 yk x 即 40kxyk 由垂径定理 得 圆心 1 C 到直线l的距离 22 2 3 4 1 2 d 结合点到直线距离公式 得 2 31 4 1 1 kk k 化简得 2 7 2470 0 24 kkkor k 求直线l的方程为 0y 或 7 4 24 yx 即 0y 或7 24280 xy 2 设点 P 坐标为 m n 直线 1 l 2 l 的方程分别为 1 ynk xmynxm k 即 11 0 0kxynkmxynm kk 因为直线 1 l 被圆 1 C 截得的弦长与直线 2 l 被圆 2 C 截得的弦长相等 两圆半径相等 由垂径定理 得 圆心 1 C 到直线 1 l 与 2 C 直线 2 l 的距离相等 故有 2 2 41 5 31 1