第12章--保险精算

第十二章第十二章 保险精算保险精算 本章要点本章要点 1 保险精算是以数学 统计学 金融学 保险学及人口学等学科的知识和原理 去解 决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项目 如研究保险事故的出险规律 保险事 故损失额的分布规律 保险人承担风险的平均损失及其分布规律 保险费和责任准备金等 保险具体问题的计算 2 保险精算的基本任务 在寿险精算中 利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个 基本问题 非寿险精算始终把损失发生的频率 损失发生的规模以及对损失的控制作为它 的研究重心 保险精算的首要任务是保险费率的确定 但这并不是保险精算的全部 伴随 着金融深化的利率市场化 保险基金的风险也变为精算研究的核心问题 在这方面要研究 的问题包括投资收益的敏感性分析和投资组合分析 资产和负债的匹配等 3 保险精算的基本原理 保险精算其最基本的原理可简单归纳为收支相等原则和大数 法则 所谓收支相等原则 就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价 值相等 所谓大数法则 是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数 量规律的一系列定理的统称 4 在非寿险精算实务中 确定保险费率的方法主要有观察法 分类法和增减法 5 在一定的要求之下 大数 由下面的公式来测定 6 自留额与分保额的决策 假定在原有业务上 赔偿基金为 P1 赔偿金额标准差为 Q1 则 现将另外接受 n 个保险单位 保额为 x 元 纯费率为 q 则合并业务 后要使 K1 2仍维持 K1的值 则应有 当 q 十分小时 可近似得到 即要维持原有的财务稳定性 对于新接受的业务 如果保险金额在 x 以下 则可全部 自留 对于保险金额超过 x 的新业务 自留额以 x 为限 超过部分予以分保 7 寿险精算的计算原理及公式 8 理论责任准备金及其计算 9 实际责任准备金及其计算 第一节第一节 保险精算概述保险精算概述 一 保险精算的概念和基本任务 所谓精算 就是运用数学 统计学 金融学及人口学等学科的知识和原理 去解决工 作中的实际问题 进而为决策提供科学依据 保险精算是运用数学 统计学 金融学 保险学及人口学等学科的知识和原理 去解 决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项目 如研究保险事故的出险规律 保险事 故损失额的分布规律 保险人承担风险的平均损失及其分布规律 保险费和责任准备金等 保险具体问题的计算 在寿险精算中 利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题 利率一般由国 家控制 所以在相当长的时期里利率并不是保险精算所关注的主要问题 死亡率的测算 即生命表的建立成为寿险精算的核心工作 寿险精算自产生以来 目前不仅研究单个生命 单一偶然因素相关的一系列问题 而且还涉及单个生命多个偶然因素的有关问题 此外 寿险经营也发展到多个生命遭遇偶然因素的情形 非寿险精算始终把损失发生的频率 损失发生的规模以及对损失的控制作为它的研究 重心 现在 非寿险精算已经发展了两个重要分支 一是损失分布理论 研究在过去有限 的统计资料的条件下未来损失的分布情况以及损失和赔款的相互关系等问题 二是风险理 论 通过对损失频率和损失规模分布的分析 研究出险次数和每次损失金额大小的复合随 机过程 以确定保险公司应具备多大的基金方可不 破产 以及评估 破产 概率的大小 等问题 如上所述 保险精算的首要任务是保险费率的确定 但这并不是保险精算的全部 伴 随着金融深化的利率市场化 保险基金的风险也变为精算研究的核心问题 在这方面要研 究的问题包括投资收益的敏感性分析和投资组合分析 资产和负债的匹配等 二 保险精算的基本原理 保险精算所需要的知识无疑十分繁杂 包括数学 统计学 金融学等 但其最基本的 原理可简单归纳为收支相等原则和大数法则 所谓收支相等原则 就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值 相等 由于寿险的长期性 在计算时要考虑利率因素 根据不同的需要 可分别采取三种 不同的方式来汁算 根据保险期间末期的保费收入的本利和 终值 与支付保险金的本利 和 终值 保持平衡来计算 根据保险合同成立时的保费收入的现值与支付保险金的现值 相等来计算 根据在其他某一时点的保费收入与支付保险金的 本利和 或 现值 相 等来计算 利息理论 所谓大数法则 是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规 律的一系列定理的统称 一 切比雪夫 Chebyshev 大数法则 设 X1 X2 Xn是由两两相互独立的随机变量所构成的序列 每一随机变量都有有限 方差 并且它们有公共上界 D X1 C D X2 C D Xn C 则对于任意的 0 都有 这一法则的结论可以说明 在承保标的数量足够大时 被保险人所交纳的纯保险费与 其所能获得赔款的期望值相等 二 贝努利 Bernoulli 大数法则 假设某一事件以某一概率 P 发生 如果用 Mn来表示此事件在 n 次实验中发生的次数 则 Mn n 就是事件发生的频率 由计算可知 由此可见 当 n 趋于无穷大时 频率的数学期望不变 恒为 P 而标准差 则趋于零 在这里 标准差描述的是相对于不同的 n 值所得到的频率与实际概率的离散程度 由于标 准差随着 n 增大而减小 说明当 n 足够大时 频率与实际概率很接近 更一般地 有下面的贝努利大数法则 设 Mn是 n 次贝努利实验中事件 A 发生的次数 而 P 是事件 A 在每次实验中出现的概率 则对于任意的 0 都有 这一法则对于利用统计资料来估计损失概率是极其重要的 在非寿险精算中 往往假 设某一类标的具有相同的损失概率 为了估计这个概率的值 便可以通过以往有关结果的 经验 求出个比率 这类标的发生损失的频率 而在观察次数很多或观察周期很长的情 况下 这一比率将与实际损失概率很接近 换句话说 当某个所需要求的概率不能通过等 可能分析 理论概率分布近似估计等方法加以确定时 则可通过观察过去大量实验的结果 而予以估计 即用比率代替概率 反过来 经估计得到的比率 可由将来大量实验所得的 实际经验而修正 以增加其真实性 三 泊松 Poisson 大数法则 假设某一事件在第一次实验中出现的概率为 p1 在第二次实验中出现的概率为 P2 在第 n 次实验中出现的概率为 Pn 同样 用 Mn来表示此事件在 n 次实验中发生 的次数 则依据泊松大数法则 有 对于任意的 0 下式均成立 泊松大数法则的含义是 当实验次数无限增加时 某一事件发生的平均概率与观察结 果所得的比率将无限接近 第二节 非寿险精算 非寿险精算包括保险费率的厘定 大数 的测定 财务稳定性分析 出题 责任准 备金提存的计算 利润分析 风险评估 自留额与分保额 结合财务稳定性 的决策等内 容 一 保险费率的厘定 保险费率的厘定 关键在于纯费率的确定 纯费率的确定有两种方法 一是依据统计 资料计算保额损失率 进而确定纯费率 r 二是在损失分布和赔款条件已知的情况下 用 赔款金额的期望值 E 除以保险金额 I 而得到 r 即 r E I 例题 假定根据 5 年的统计资料 每年的保额损失率分别为 0 21 0 19 0 23 0 18 0 24 则可求出其平均数为 0 21 如果上述保额损失率是在大 量损失经验的基础上得到的 则可把 0 21 作为预期损失率 有时 为了安全起见 可在预 期损失率的基础上加上一个或两个标准差作为纯费率 本例中 标准差为 0 023 则纯费 率可定为 0 233 或 0 256 如果附加费率在保险费率中的比例为 k 则保险费率可由 R r 1 k 求得 实务上确定保险费率的方法主要有观察法 分类法和增减法 一 观察法 观察法是指对个别标的的风险因素进行分析 观察其优劣 估计其损失概率 直接决 定其费率 适用情况 保险标的数量较少 无法获得足够的统计资料 主要凭借精算人员的知识 与经验 二 分类法 分类法是指将性质相同的风险 分别归类 而对同一分类的各风险单位 根据它们共 同的损失概率 订出相同的保险费率 由于分类费率所反映的是每一集团的平均损失经验 因此 在决定分类时 应注意每 类中所有各单位的风险性质是否相同 以及在适当的长期中 其损失经验是否一致 以保 证费率的精确度 为了使总体损失的发生具有相对稳定性 各分类中的风险单位的数量很 重要 分类费率确定后 经过一定时期 如与实际经验有出入 则调整公式为 式中 M 调整因素 即保险费应调整的百分比 A 实际损失比率 E 预期损失比率 C 信赖因素 对于许多具体业务来说 费率的调整比费率的计算更重要 采用上面的公式来决定费 率调整的百分比 关键在于确定信赖因素 C 的大小 信赖因素的大小 表示经验期间所取 得的数据的可信赖程度 客观地确定信赖因素的大小 也是非寿险精算的内容之一 三 增减法 增减法是指在同一费率类别中 对被保险人给以变动的费率 其变动或基于在保险期 间的实际损失经验 或基于其预想的损失经验 或同时以两者为基础 增减法对分类费率可能有所增加 但也可能有所减少 主要在于调整个别费率 增减 法在实施中又有表定法 经验法 追溯法 折扣法等多种形式 1 表定法 采用表定法时 必须首先在各分类中对各项显著的风险因素设立客观标准 当被保险 人购买保险时 就以这种客观标准来测度风险的大小 例如 建筑物火灾保险 可以砖造 具有一般消防没施的建筑物为基点 对影响建筑物火灾的四大因素 用途 位置 构造 防护设施 设立一定的调整幅度 2 经验法 采用经验法制定费率 是根据被保险人以往的损失经验 对按照分类费率制定的费率 加以增减变动 过去有利的经验将使投保人减少保险费的支出 反之 过去不利的经验将 使投保人增加保险费的支出 因而具有鼓励保户防灾防损的作用 采用经验法调整费率的 公式为 式中 M 保险费率调整的百分比 A 经验时期被保险人的实际损失 E 被保险人适用某分类时的预期损失 C 信赖因素 T 趋势因素 考虑平均赔偿金额支出趋势及物价指数的变动 3 追溯法 追溯法是与经验法相对的一种费率调整方式 它以保险期内被保险人的实际损失为基 础 计算被保险人当期应交的保险费 由于被保险人当期的实际数额须到保险期满后才能 知道 这样 确切应交的保险费在保险期满后才能计算出来 因此 在使用这种方法时 先在保险期开始前以其他方式确定预交保险费 然后在保险期满后 根据实际损失 对已 交保费进行增减变动 其计算公式如下 TMLCFLBPRP 式中 RP 计算所得的追溯保险费 BP 基本保险费 L 实际损失金额 LCF 损失换算因数 其数值大于 1 TM 租税乘数 其数值大于 1 4 折扣法 折扣法是对个别被保险人采用折扣费率 二 大数 的测定 在一定的要求之下 大数 由下面的公式来测定 式中 N 在一定条件下应具有的风险单位数 E 实际损失变动次数与总数的比率 表示所需要的精确度 S 实际损失与预期损失相差的标准差的个数 p 某一特定标的 风险单位 发牛损失的概率 S 的值可以说明对所获得的结果的信赖程度 例如 S 1 由此公式所测定的损失次数 具有 68 的信赖度 如果 S 2 具有约 95 的信赖度 S 3 信赖度为 99 7 等等 在 大数 的估计中 有两个要素很重要 一个是 S 另一个是 E 在 E 一定的情况下 S 的值越大 要求 N 越大 在 S 一定的情况下 E 的值越小 要求 N 越大 如上所述 S 的 值越大 说明对实际损失的范围把握越大 E 的值越小 说明实际损失变动的范围越小 也就是确定性越好 但 E 的值没有固定的标准 E 的值的大小 一般以保证实际损失变动 在预期损失 10 的范围内为选择标准 三 财务稳定性分析 假定某公司承保的某项业务有 n 个保险单位 每个保险单位的保险金额为 a 元 纯费 率为 q 如果损失标准差为 则赔偿金额标准差 Q a 把 anq 即纯保费总额 称为保险 赔偿基金 用 P 表示 即 P anq 赔偿金额标准差与保险赔偿基金的比值 称为财务稳定系数 用 K 表示 即 K Q P 一般而言 财务稳定系数 K 越小 财务稳定性越好 反之 财务稳定系数 K 越大 财务稳 定性越差 假定有 n 个保险标的 每个保险标的的保险金额为 a 元 损失概率为 p 纯费率为 q 若损失服从二项分布 则有 为分析问题的方便 在下面的讨论中一律假定在同类业务中损失概率等于纯费率 假定保险公司承保有两类业务 第一类业务承保 n1个单位 每个单位的保险金额为 a1 元 纯费率为 q1 第二类业务承保 n2个单位 每个单位的保险金额为 a2元 纯费率为 q2 则第一类业务上的出险次数标准差为 赔偿金额标准差为 财务稳定系数为 同样可以得到 如果把第一类业务与第二类业务合并 则赔偿金额标准差为 财务稳定系数为 其中 一般地 当有 j 个业务合并时 有 其中 四 自留额与分保额的决策 保险公司常常面临这样的情况 现有业务财务稳定性良好 但为发展业务 必然要承 保新的业务 那么 新业务的最高保额为多少时 才不致使原有的 K 值增大呢 假定在原有业务上 赔偿基金为 P1 赔偿金额标准差为 Q1 则 K1 Q1 P1 现将另外接 受 n 个保险单位 保额为 x 元 纯费率为 q 则 合并业务后 要使 K1 2仍维持 K1的值 则应有 整理后可得 当 q 十分小时 可近似得到 由上述分析可知 要维持原有的财务稳定性 对于新接受的业务 如果保险金额在 x 以下 则可全部自留 对于保险金额超过 x 的新业务 自留额以 x 为限 超过部分予以分 保 第三节 寿险精算 定期寿险的承保费 寿险精算主要研究以生存和死亡为两大保险事故而引发的一系列计算问题 通常情况 下 与生存有关的问题由生存年金来处理 与死亡有关的问题由寿险 主要指死亡保险 来 解决 生存和死亡保险事故危及单生命时 涉及的主要精算问题是 单生命下的纯保费计 算 准备金提存等 生存和死亡保险事故也危及多生命 与此对应的精算主要讨论连生年 金和连生保险的保险费 准备金的计算 为讨论问题的方便 本节的计算一律作如下几个假定 被保险人的生死遵循预定生 命表所示的生死规律 同一种类的保险合同 全部于该年龄初同时订立 保险金于每 年度末同时支付 保险费按预定利率复利生息 并假定年利率为 i 假定保险金额均 为 l 元 有特别说明者例外 因而所求得的纯保险费就是纯保险费率 总是假定生命表 中某一年龄的人都向保险公司投保了某种保险 而不管实际情况是否这样 因为这并不影 响结论的正确性 一 生命表 生命表是寿险精算的科学基础 它是寿险费率和责任准备金计算的依据 也是寿险成 本核算的依据 生命表是根据以往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制的 由每个年龄死亡率所 组成的汇总表 生命表是过去经验的记录 并且通常用于预测那些将来和过去情况完全相 同的未来事件 生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡率 影响死亡率的因素很 多 主要有年龄 性别 职业 习性 以往病史 种族等 一般情况下 在设计生命表时 只注重考虑年龄和性别 生命表可以分为国民生命表和经验生命表 国民生命表是根据全体国民或者以特定地区的人口的死亡统计数据编制的生命表 它 主要来源于人口普查的统计资料 经验生命表是根据人寿保险 社会保险以往的死亡记录 经验 所编制的生命表 保俭 公司使用的是经验生命表 这主要是因为国民生命表是全体国民生命表 没有经过保险公 司的风险选择 一般情况下与保险公司使用的生命表中的死亡率不同 存生命表中 首先要选择初始年龄且假定在该年龄生存的一个合适的人数 这个数称 为基数 一般选择 0 岁为初始年龄 并规定此年龄的人数 通常取整数如 10 万 l00 万 l 000 万等 在生命表中还规定最高年龄 用 表示 满足 一般的生命表中都0 1 l 包含以下内容 x 表示年龄 生存数 是指从初始年龄至满 x 岁尚生存的人数 x l 死亡数 是指 x 岁的人在一年内死亡的人数 即指 x 岁的生存数人中 经过一 x d x l 年所死去的人数 已知在 x 1 岁时生存数为 于是有 dx lx 1 x l x d x l 1 x l 死亡率 表示 x 岁的人在一年内死亡的概率 显然 x q 生存率 表示 x 岁的人在一年后仍生存的概率 即到 x 1 岁时仍生存的概率 因 x p 为 所以 1 x p x q ex 平均余命或生命期望值 表示 x 岁的人以后还能生存的平均年数 若假设死亡发 生在每一年的年中 则有 在寿险数理的计算中 还要遇到一些符号 表示 x 岁的人在 t 年年末仍生存的概率 xt p 表示 x 岁的人在 t 年内死亡的概率 xtq 表示 x 岁的人在生存 t 年后 U 年内死亡的概率 xut q 当 u 1 时 用表示 x 岁的人在生存 t 年后的那一年 t 1 年 中死亡的概率 xt q 证明 二 趸交纯保险费 一 定期人寿保险的纯保险费 假定保险期限为 n 年 按照定期人寿保险的承保条件 如果被保险人在保险期内遭遇 死亡 则由保险公司按保险金额作给付 如果被保险人生存至期满 则保险公司无须支付 假定被保险人的年龄为 x 岁 年初每个投保人应交的纯保险费为 A1x n 元 则保险公 司收取的纯保险费总额为 lx A1x n元 依据生命表的规律 第一年有 dx个人死亡 每人给付 1 元 共 dx元 给付额的现值为 vdx元 第二年有 dx 1 个人死亡 给付额的现值为 v2dx 1元 依此类推 第 n 年有 dx n 1个 人死亡 其现值为 vnd x n 1 依据收支相等原则 保险公司支付保险金的现值总和与期初纯保险费的总和应相等 即有 其中 为折现率 如果令 i v 1 1 则可得到 二 终身人寿保险的纯保险费 终身人寿保险的保险期间亘于被保险人的一生 仅于被保险人死亡时给付保险金 各 个国家的生命表 都有一个最终年龄 因此 终身人寿保险可以看做是一种长期的定期人 寿保险 故其趸交纯保险费的计算 只需将一般定期人寿保险的纯保险费中的 n 年作相应 的变化即可 假设生命表中所定最终年龄为 岁 则有 如果令 则定期和终身人寿保险的纯保险费可分别表示如下 三 纯粹生存保险的纯保险费 生存保险以被保险人在一定时期内继续生存为条件 由保险人负给付保险金的责任 假若被保险人不幸在期内死亡 则合同终止 保险人不作任何给付 故生存保险金给付的 多少 由到期时还生存的被保险人的数量决定 假定 x 岁的人投保 n 年定期生存保险 所交的纯保险费为nEx元 投保时共有 lx人 则纯保险费总额为 lx nEx元 n 年后的生存人数为 lx n人 考虑利息因素 依据收支相等 原则 有 整理后可得 四 混合保险的纯保险费 混合保险是一种生死合险 即被保险人不论生存或死亡 到达一定时期后 保险人均 须给付定额保险金 所以 这种保险可以看作定期保险与生存保险的组合 如果把保险期 限为 n 年的混合保险的纯保险费记为 Ax n 则应有 三 年金保险的纯保险费 年金的意义是每年收取或支付一次款项 数额一般是相同的 但实际上在约定期内按 一定的间隔时期 如每半年 每季或每月收付一次的 也都称为年金 保险公司对年金保险的承保责任是被保险人的终身或者在一定时期内 被保险人生存 时每隔一定时期 一般为一年 由保险公司按期支付一次年金直至被保险人死亡或保险期 限届满为止 年金保险的过程 可分为两段 从趸交年金现价时起或分期交费的第一次交费时起 直至给付周期开始以前 为第一段 叫做 现价积累期 从给付周期开始至满期停付或死 亡停付时止 为第二段 叫做 年金给付期 年金有即期年金与延期年金之分 在保险合同成立后 立即开始支付年金者 叫即期 年金 而延期年金则是在保险合同成立后 需要等待一定时期或要到某个年龄才开始支付 不论是即期年金还是延期年金 都有期首付与期末付两种情形 一 即期年金 假定 x 岁的人投保期限为 n 年的年金保险 保险公司每年初支付的保险金分别为 lx元 lx 1元 lx n 1元 设投保人应交的纯保险费为 ax n元 将支付的保险金折算成现值 则依据收支相等原则应有 如果将给付周期改为终身 则可得到 令 则可将上面两个公式变为 仍然假定 x 岁的人投保期限为 n 年的年金保险 但将保险公司每年初支付保险金条件 改为在年末支付 则保险公司每年年初支付的保险金分别为 lx 1元 lx 2元 lx n元 用与上面同样的方法可以得到期末付定期年金的纯保险费为 同理不难推出期末付终身年金的纯保险费为 二 延期年金 延期年金与即期年金所不同的是 在保险合同成立之后 保险人要在一定时期或被保 险人达到一定年龄后 才开始给付年金 因此 相应的延期年金的纯保险费的计算 只需 按照对应的即期年金纯保险费的计算方法 将每一次给付金额的现值作一修改即可 例如 x 岁的人投保期限为 n 年的年金保险 m 年后开始 在期首 给付 即延期 m 年 用m ax n表示 n 年定期期首付延期年金的纯保险费 由收支相等原则有 整理后可得 用同样的方法可以得到期末付定期延期年金的纯保险费为 期首付延期终身年金的纯保险费为 期末付延期终身年金的纯保险费为 四 年度纯保险费 趸交纯保险费的金额往往较大 可能成为投保人的经济负担 为了解决投保人的这个 负担 保险公司一般允许投保人在购买保险时 将保险费分期按年 按季 按月或每半年 交付一次 而以一年交付一次的方式最为普遍 按年交付的保险费即为年度保险费 假定 n 年定期死亡保险的纯保险费分 m 年付清 用mPx n来表示期首交付的年度纯保费 则保险公司各年收取的纯保险费分别为元 元 元 不难理解年度纯保费的现值之和应与一次付足的纯保费的现值相 等 即应有 整理后可得 人寿保险纯费率的计算 被公认为比其他保险种类纯费率的准确度高 其原因是由生 命表提供的死亡率准确度高 五 人寿保险的毛保险费 保险公司所收取保险费 应足以应付保险给付的支出及费用的开支 用来作为给付的 那部分保险费是纯保险费 而用来作为业务费用开支的那部分保险费称为附加保费 纯保 险费与附加保费之和称为毛保险费 人寿保险的各项费用开支 有几种不同的性质 有些是在第一年承保时一次支出的 例如对被保险人的体检费用及业务招揽费用等 这些费用称为原始费用 有些是按保额计 算的 例如公司的一般管理费用 有些是按毛保险费的一定比例计算的 例如代理手续费 所以 在计算附加保险费时 对不同性质的业务开支 要作不同的处理 上述的原始费用 在保险公司方面 仅与保险的第一年有关 但对被保险人而言 每 年的年度保险费应该是相同的 所以 公司对原始费用 不应单纯地将它全部加在第一年 的纯保险费上 而需将它均匀地分摊到各期的保险费上 如果被保险人在投保时的年龄为 x 岁 保险期限为 n 年 保险费分 m 次期首交付 再 假定全部原始费用为 元 在每一年度保险费上应摊加的金额为 s 元 很显然 这些摊加 在每一年度的费用的现值的积存值与原始费用的现值相等 于是下式成立 由此可以得到 毛保险费的计算 并没有固定的公式 按照各种不同性质的开支计加的附加费率 是 根据对公司业务费用的分析及将来的预测来决定的 同纯保险费的计算一样 毛保险费的 计算也要依据收支相等原则 例题 毛保险费的计算 如果被保险人在投保时的年龄为 x 岁 保险期限为 n 年 保险费分 m 次期首交付 再假定全都原始费用为 元 每年的管理费为 元 代理手续 费占毛保险费的比例为 求保险金额为 1 元的混合保险的年交毛保险费 设年交毛保险费为 P 我们可以作如下分析 见表 12 1 表 12 1 毛保险费计算分析表 由上表可以得到 1 毛保险费的现值总和为 2 保险金支出的现值为 3 预定费用开支的现值如下 原始费用 元 将由各年保费分摊 管理费元 手续费元 根据收支相等原则应有 整理后可得 上述计算毛保险费的方法称为三元素法 其优点是计算结果精确 但其计算过程复杂 实务中可采用较为简单的比例法和比例常数法计算毛保险费 比例法假定附加保费为毛保费的一定比例 设为 K 如果纯保费为 P 毛保费为 P 则 由此可得 比例常数法则根据每张保单的平均保额 推算出每单位保额所必须支付的费用 作为 一个固定常数 用 C 表示 然后再确定一个毛保费的比例作为附加费用 由此有 所以 六 理论责任准备金及其计算 人寿保险保费在趸交情况下 保险公司必须提存一部分以应付以后的给付 在分期按 年度交费的情况下 大多数是按均衡保险费进行的 一般而言 在保险全过程的初期若干 年中 保险公司的保费收入大于其所应支付给受益人的保险金 而在后期若干年中 其所 收入的保费小于应支付给受益人的保险金 所以 保险公司必须把保险前期收入的部分保 费积存起来 以弥补后期的不足 另外 人寿保险的许多险种都带有储蓄性质 保险公司 必须将到期应给付的保险金准备好 这种从保费中抽出一部分作提存的金额 称为责任准 备金 由于附加保费是用来抵付业务开支之用的 故在计算准备金时应以纯保险费为基础 人寿保险的责任准备金 是保险人向投保人所收取的纯保险费 加上按事先约定的年 利率复利结算方式计算的本利和 与人寿保险合同中所规定的保险人应在当年所支付保险 金的差额 从被保险人方面来说 是他所交付的纯保险费的本利和 与他当年应分摊的给 付保险金之间的差额 责任准备金实质上是保险人对被保险人或其收益人的一种负债 责任准备金的提存 主要是为了保证对被保险人或其收益人按合同规定支付保险金 此外 如果被保险人在保 险期满前中途退保 或改变保费交付方式 或改变领取保险金方式 保险人应根据当前所 应提存的责任准备金的多少 计算退保金或保险金的数额 责任准备金可分为理论责任准备金和在其基础上修正后的实际责任准备金 理论责任准备金的计算 有过去法和未来法之分 一 过去法 过去法以分析已交的纯保险费为出发点 假定生命表内所列年龄为 x 岁的人 全部向 保险公司投保同一保险条件 同一保险期限 同一交费次数的人寿保险 保险金额均为 l 元 则在投保后第 t 年年末 被保险人的年龄为 x t 岁 届时保险公司对全体被保险人提 存的责任准备金应等于 在被保险人的年龄为 x t 岁时 已交纯保险费的积存值 减去被 保险人的年龄为 x t 岁时 根据生命表保险公司已支付的保险金的积存值 由于这种计算 方式涉及生存分红年金和期末死亡保险费 故我们仅在此给出相应的计算公式 用tVx表示 在第 t 年的准备金 如果交费次数与保险年限相同 则 如果保险期限为 n 年 保险费在最初 m 年交付 t m 则 如果保险期限为 n 年 保险费在最初 m 年交付 t m 则 如果是纯粹生存保险 由于保险公司在以往 t 年内并未有任何给付 上面公式中含有 M 的项目均不出现 假定某人现年 x 岁 投保 n 年定期死亡保险 保险金额为 z 元 保险费一次趸交 不 难求出在 t 年年末应提存的准备金为 这说明 第 t 年年末应提存的准备金 正好是 x t 岁的人 投保 n t 年期定期死亡 保险的趸交纯保险费 准备金之意义由此可见一般 二 未来法 未来法是与过去法相对的一种方法 它以分析未交的纯保险费为出发点 按照这一方 法 在被保险人 x t 岁时 tVm的值等于未来的保险责任的现值减去待收保险费的现值 前 者等于被保险人自 x t 岁开始投保的保险责任 即自 x t 岁起至到期日为止的趸交纯保费 后者形成一种前付生存年金 以原保险单上待收的年度纯保险费作为每年的固定收入额 根据这种分析 以定期死亡保险为例 责任准备金的计算公式如下 如果