气象现象占有面积问题的一种理论分析

气象现象笼罩面积与出现概率的关系气象现象笼罩面积与出现概率的关系 张学文 2006 6 7 18 摘要 从天气图上可以得到某气象现象 如降水 高温等 占天气图总面积的 百分比 F 从气象资料中可以得到该气象现象的出现概率 p 本文证明 F 对时 间的平均值等于 p 对天气图面积的平均值 本文初步讨论了这个定理的应用 还指出对这类问题的深入分析会引出分布函数概念和熵气象学 关键词 气象现象 概率 气象现象占有的面积 1 引言和问题 引言和问题 1 在每天电视台的全国天气预告节目中 能够看到全国那些区域下过雨或者出 现过高温 我们也不难估计或者计算出该气象现象 雨 雪 高温 大 风 以 x 代表它 笼罩的面积占了全国总面积的百分比 相对面积 Fx 是 多少 现在的问题是 气象现象 x 笼罩的面积占全国面积 S 的百分比 Fx 是否具 有什么规律性 我们是否可以寻找到关于 Fx的一般规律 关系 2 引言和问题 引言和问题 2 我们通过气象站或者卫星等手段记录各个地点各个时刻的气象现象 并且统 计着气象现象的出现次数 出现概率 这对于对气象工作者不是十分陌生的事 而且统计气象学已经给出的大量规律 关系 1 现在的问题是 气象现象 x 的出现概率 px与 x 笼罩的相对面积 Fx之间是否 存在什么关系 3 引言和问题 引言和问题 3 有时我们可以看到这样的报道说 某国或者某区域今年发生了 N 年一遇的 灾害 N 50 100 等 似乎这十分意外 我们的问题是 N 年一遇的灾害 今 年在多大的面积上出现是正常的 在多大的面积上出现是稀遇的 意外的 气象现象 x 的出现概率的计算是本站 同一地点 气象资料在时间领域的统 计 同一时刻气象现象 x 占的相对面积的计算是各地气象资料在面积上的统计 它们不是一个维度上的问题 难道它们会有关系 如果它们之间有关系存在 那么我们就可以把气象现象 x 的出现次数 概率 知识转移到气象现象 x 占有的面积方面来 这不仅扩大的统计气象学的应用面 也使我们迅速掌握了气象现象笼罩面积的一般知识 而这些知识不仅对气象预 告员有实用价值 你能预告出明天全国暴雨的总面积 尽管具体地点说不很准 也是有价值的 说不定理论家会把气象基本方程也转过来 从而在新的理论方 程引导下让电脑直接预告明天全国的雨区面积 高温面积等等 笔者认为这是一个重要又涉及面很宽的大问题 但是目前 本文着重引入一 个有关概率与面积的定理 其他的问题另行分析 4 一个定理一个定理 如果某气象现象在任何地点根本不出现 那么它出现的概率自然等于零 而 该现象占有的面积也是零 这个简单分析提示我们 出现 x 的概率和占有面积 应当是有联系的 4 1 气象现象 x 笼罩的相对面积的时间平均值与 x 出现概率的面积平均值相等 定理 xx pF 这个定理的含义是气象现象 x 的出现概率在面积 S 上的平均值等于气象现象 x 在区域 S 上占的面积的百分比 Fx 的时间平均值 例如 x 代表 过去 24 小时当地的降水 30 毫米 这个气象现象 假如分析的区域是中国的总面积 面积为 S 这个范围 而我们有的资料是 30 年的逐日中国雨量分布图 而 Fx t 的含义是 t 时刻以前 24 小时内当 地下的雨 30 毫米的区域占的面积 s 与中国总面积 S 的比值 Fx t s t S 这个值我们可以从气象台每天的网站上得到 所谓 Fx的时间平均值 自然就是 30 年的 30 365 天的每天的 Fx值 x F 的平均 所谓 px的面积平均 自然就是中国总面积 S 上充分多的各个气象站 x p 点的 24 小时降水 30 毫米的事件的出现概率平均值 定理 1 说这两种含义不同的量应当相等 4 2 论域和术语论域和术语 我们讨论这样一个区域 它有面积 S 在 S 上均匀分布着 Q 个气象站 每 个气象站对它所在的小区域 小面积 有代表性 所以每个气象站代表了 S Q 这 个小面积上的各个位置的气象情况 如下过雨 下过大雨 10 毫米的雨 出现过 大风 冰雹 沙尘暴 最高温度超过 30 度 这里的 过 字代表一个连续 的 时间段 它一般代表 24 小时 也可以代表 12 小时 或者更短或更长 如果气象现象 x 在过去的总时间 如 5000 天 中出现 3 天 我们说该现象在该 气象站出现了 3 次 如果区域 S 内有 r 个站都出现了一次 就认为出现了 r 个 站次 如果 8 个站中每个站都出现 3 次 就认为一共出现了 24 站次 24 3 8 4 3 证明的定理证明的定理 我们在概率的古典定义下展开问题 古典概率 p 的定义是 p m n 这里的 n m 分别表示在总的 n 次事件中有利于事件 x 的事件的次数是 m 如掷骰子 时 1 点的出现概率是 1 6 结合前面的例子 某气象站有利于气象现象 x 出现 的次数 m 和总的次数 n 分别是 30 年中 24 小时降水 30 毫米的次数和 30 年的 总天数 30 365 所以 m n 就是该现象在该站 该小面积 的出现概率 p 对于任何一个点 i 在区域 S 内 气象现象 x 的出现概率 p i mi n 设 面积 S 上均匀着充分密的气象站总数量是 Q 那么出现概率对面积的平均值 显然应当是 x p Q i ix Q i x nQmp Qipp 1 1 由于第 i 个气象站 30 年间出现 x 的总次数是 mi 所以这里 的含义是 30 Q i i m 1 年间 总面积 S 上的 Q 个气象站出现现象 x 的总出现 站次 数 我们用 W 表示它 即 W Q i i m 1 显然 总面积 S 上均匀分布的 Q 个气象站 也就意味着每个气象站代表的 面积是 S Q 设 Q 个气象站中在 j 时刻有 q j 个气象站出现了气象现象 x 那么气象现象 x 在 j 时刻占的相对面积 Fx的表达式为 Fx j s j S t 时刻 x 占的气象站的数量 是 q j S Q S q j Q 它的时间平均值 应当是 x F n j x nQjqF 1 由于时刻 j 在 S 上出现 x 的气象站的个数是 qj 所以这里 的含义是 30 n j j q 1 年间 S 上的 Q 个气象站出现现象 x 的 总站次 数 它显然也就是 W 即 W 于是 n j j q 1 nQWF nQWp x x 所以 这样就证明了我们定理 气象现象 x 笼罩的相对面积的时间平 xx pF 均与出现概率的面积平均值相等 5 定理的初步应用定理的初步应用 5 1 雨区面积问题雨区面积问题 我们已经用逻辑和数学证明了气象现象的出现概率和它占有的相对面积之 间存在着联系 它的一个定性应用就是 如果 24 小时内有降水的事件的出现概 率在全国各地的平均值等于 0 3 那么雨区占全国总面积的百分比的时间平均值 也应当是 0 3 即 平均而言雨区占总面积的 30 如果预告人员每天预告的雨区总是大于总面积的 50 其预告肯定错误不 少 这样我们就把概率知识横向用到面积预告方面了 这个情况也提示我们 气象要素的概率统计 不仅过去已经有很多用途 而且它有了新用途 这个认识也提示我们 如果我们过去对气象要素的概率计算没有认真进行 那么现在就有了新的理由要完成对应的气象现象的出现概率计算 雨区问题的例子很容易扩大到例如冰雹 暴雨 干旱 极端温度等各种各 样的气象以至非气象现象 所以这个定理的应用面是十分宽的 这些都有待我 们去开发 探索 5 2 灾害面积和灾害程度的定量关系灾害面积和灾害程度的定量关系 现在来讨论 引言和问题 3 N 年一遇的灾害 今年在多大的面积百分 比上出现是正常的 在多大的面积上出现是稀遇的 意外的 现在由于有了这个定理几乎直接帮助我们定量地达到下面的结论 N 年一遇的灾害如果某年在全国发生的面积为年一遇的灾害如果某年在全国发生的面积为 1 N 那么这应当属于正常年 那么这应当属于正常年 份份 所谓 N 年一遇的灾害年一遇的灾害 也就是当地每年出现的概率为 1 N 的灾害 这是 工业 工程等领域经常使用的描述灾害出现概率的等价 变态 语言 把前面 定理中的气象现象 x 理解为抽象的灾害自然完全可以 根据这个分析 假设全国各地有 1 万个工程都是按照万年一遇的标准设计 的 那么某年有 1 个工程出了问题 应当是正常的 如果全国 1 万个工程是按 照千年一遇的标准设计的 那么一年有 10 个出现问题 也在情理之中 以上的分析不仅对有关部门科学客观评价年景有关 也与保险公司的业务 设立有关 大灾害大面积发生的稀遇事件当然不见得永远不可能出现 但是这些问题 要更深入的分析研究 这里暂时就不展开讨论了 6 其他的扩展其他的扩展 我们已经从雨区的笼罩面积与概率的关系问题扩大为各种气象现象 气象 灾害的对应关系问题 并且又扩大到 N 年一遇的现象今年出现的面积问题 其 实这个还可以从另外方向扩大 我国在某日 如国庆节等 会有多少国土面积 是好天气 有多少面积的温度在 10 15 范围 多少面积的温度在 15 20 范 围 以至地球上的天气时时刻刻在变化 不同温度范围占有的面积是否反而不 变化 有保守性 这些问题在老的气象学里看不见的 但是它们不是不合理 的问题 我们认为这些同样联系着有关的概率问题 另外它们也联系着所谓的 相对分布函数 2 3 这个一般概念 而在所谓 熵气象学 4 5 6 那里 相对分布 函数的一种积分联系着熵 关于熵又有一个十分重要的定律 最大熵原理 所 以这些问题的深入讨论为熵原理在气象学中的广泛应用开辟了思路 7 小结小结 气象现象 x 的出现概率是可以从当地的多年气象资料的统计中得到的 它 是时间域的问题 气象现象 x 在同一时刻在面积 S 上占有的面积问题是可以通 过天气图的分析而得到的 它是空间域的问题 本文证明这两个含义不同的量的某种平均值是相等的 这样就把概率问题 和占有面积问题联系到一齐 这种联系不仅推论出 全国的雨区 冰雹 暴雨 各种灾害 应当有多大的面积 也推论出 N 年一遇的灾害 每年占有的全国 面积如果是 1 N 那么这是正常年景 本文讨论的问题超出了经典气象学语言 但是它们不仅实用 而且是通向气象 分布函数研究和熵气象学