有关定积分问题的常见题型解析(全题型)

有关定积分问题的常见题型解析有关定积分问题的常见题型解析 题型一题型一 利用微积分基本定理求积分利用微积分基本定理求积分 例 1 求下列定积分 1 2 3 1 3 0 31xxdx 9 4 1xx dx 2 2 2 4x 分析 根据求导数与求原函数互为逆运算 找到被积函数得一个原函数 利用微积分基本 公式代入求值 解 1 因为 322 1 31 2 xxxxx 所以 1 3 0 31xxdx 32 1 1 02 xxx 3 2 2 因为 1 2 1xxxx 31 2 22 21 32 xxxx 所以 9 4 1xx dx 3 2 2 9 211 45 4326 xx 练习 1 2 a a xa 22 2 1 2 4x 评注 利用微积分基本定理求定积分的关键是找出的函数 dxxf a b xfxF xF 如果原函数不好找 则可以尝试找出画出函数的图像 图像为圆或者三角形则直接求 其面积 题型二题型二 利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形的面积 例 2 如图 求直线 y 2x 3 与抛物线 y x 所围成的图形面积 2 分析 从图形可以看出 所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差 进而可以用定积分求出面积 为了确定出被积函数和积分和上 下限 我们需要求出两条 曲线的交点的横坐标 解 由方程组 可得 故所求图形面积为 2 32 xy xy 3 1 21 xx S x 3x dxx 3 1 32dxx 3 1 22 3 32 3 1 1 3 3 1 3 x 评注 求平面图形的面积的一般步骤 画图 并将图形分割成若干曲边梯形 对每个 曲边梯形确定其存在的范围 从而确定积分上 下限 确定被积函数 求出各曲边梯 形的面积和 即各积分的绝对值之和 关键环节 认定曲边梯形 选定积分变量 确定被积函数和积分上下限 知识小结 几种典型的曲边梯形面积的计算方法 1 由三条直线 x a x b a b x 轴 一条曲线 y 0 围成的曲边梯 xf xf 形的面积 S 如图 1 b a dxxf 2 由三条直线 x a x b a b x 轴 一条曲线 y 0 围成的曲边梯 xf xf 形的面积 S 如图 2 b a b a dxxfdxxf 3 由两条直线 x a x b a b 两条曲线 y y 围成的 xf xg xgxf 平面图形的面积 S 如图 3 b a dxxgxf 题型三题型三 解决综合性问题解决综合性问题 例 3 在曲线 x 0 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 2 xy 试求 1 切点 A 的坐标 2 过切点 A 的切线方程 12 1 分析 设出切点 A 的坐标 利用导数的几何意义 写出切线方程 然后利用定积分求出所 围成平面图形的面积 从而确定切点 A 的坐标 使问题解决 解 如图 设切点 A 由 2x 过 A 点的切线方程为 00 y x y y y 2x x x 即 y 2x x x 00000 2 令 y 0 得 x 即 C 0 2 0 x 2 0 x 设由曲线和过 A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为 S S S S AOB 曲边ABC S AOB 曲边 3 0 0 032 3 1 03 10 x x xdxx x S BC AB x x x ABC 2 1 2 1 0 2 0 x 0 2 4 1 0 3 即 S x x x 3 1 0 3 4 1 0 3 12 1 0 3 1