统计学复习(含公式)

1 统计学 是收集 汇总和分析统计数据的科学和艺术 2 统计数据的分析是统计学的核心内容 它是通过统计描述和 统计推断的方法探索数据内在规律的过程 3 普查 是为某一特定目的而专门组织的一次性全面调查 如 人口普查 工业普查 农业普查等 4 抽样调查的特点 经济性 时效性高 适应面广 准确性高 5 调查方案调查方案 是指导整个过程的纲领性文件 其内容包括调查 目的 调查对象和调查单位 调查项目和调查表等内容 6 组距分组的几个步骤 一 确定组数二 确定组距三 确定 组限和进行次数分配四 绘制统计图五 分析 7 为消除组距不同对频数分布的影响 需要计算频数密度 即 频数密度 频数 组距 用频数密度才能准确反映频数分布的实际 情况 8 以组中值作为代表值有一个必要的假定条件 即各组数据在 本组内呈均匀分布或在组距中值两侧呈对称分布 9 描述统计的内容也包括频数分布 但主要是关于集中趋势和 离中趋势的描述问题 10 众数 众数 是一组数据中出现次数最多的变量值 从分布的角度 看 众数是具有明显集中趋势点的数值 一组数据分布的最高峰 点所对应的数值即为众数 记为 M 11 众数是一组数据中心位置的一个代表值 当然 如果数据的 分布没有明显的集中趋势或最高峰点 众数也可以不存在 如果 有多个高峰点 实际上也可以认为有多个众数 12 协方差的大小会受到计量单位和数据均值水平的影响 从而 使不同相关总体之间的相关程度缺乏可比性 13 时间系列 时间系列 是反映现象随时间的变化而变化的数据系列 也 称为时间数列或动态数列 14 用报告期水平减去基期水平 就等于增长量 其中 当基期 水平为上期水平时 就称为逐期增长量逐期增长量 当基期水平为某个时期 的固定发展水平时 就称为累计增长量累计增长量 15 报告水平与基期水平之比 称为发展速度发展速度 其中 当基期水 平为上期水平时 就称为环比发展速度 当基期水平为某个时 期的固定发展水平时 就称为定基发展速度 16 序时平均数序时平均数也称为动态平均数 它反映现象在一定时期内发 展水平达到的一般水平 由于指标形式分绝对数 相对数和平均 数等 所以对其平均的方法存在差异性 17 绝对数有时期数和时点数之分 两者的区别主要在于是否具 有可加性 18 几何平均法的应用条件是要求现象呈现均匀变动 如果现象 发生大起大落的变化 用几何平均法所计算的平均发展速度将失 去代表性 19 累计法考虑各时期的发展状况 不只是受最初和最末两个极 端值的影响 20 移动平均法是趋势变动分析的一种较简单的常用方法 该方 法的基本思想和原理是 通过扩大原时间序列的时间间隔 并按 一定的间隔长度逐期移动 分别计算出一系列移动平均数 这些 平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到一定的修匀 作用 削弱了原序列中短期偶然因素的影响 从而呈现出现象发 展的变动趋势 该方法可以用来分析预测销售情况 库存 股价 或其他趋势 移动平均法的优点在于计算简便 运用灵活 不受现象复杂性影 响 其缺点主要有三个 一是失去首尾两头的数据 二是不能较好地 进行长期趋势的预测 三是对周期性处理不好就会影响数列的趋 势性 21 我们应该先剔除趋势值的影响 再计算季节指数 第一步 对原数据计算移动平均数 第二步 计算具体的季节比率 第 三步 计算月平均值 消除不规则波动 第四步 计算季节比 率 第五步 使用季节比率进行预测 22 指数作为一种对比性的统计指标具有相对数的形式 通常表 现为百分数 23 统计指数在经济分析上具有十分广阔的应用领域 它可以是 不同时间的现象水平的对比 也可以是不同空间 如不同国家 地区 部门 企业等 的现象水平的对比 或者 是现象的实际 水平与计划 规划或目标 水平的对比 24 统计指数可分为个体指数和总指数 25 总指数总指数是考察整个总体现象的数量对比关系的指数 总指数 与个体指数的区别不仅在于考察范围不同 还在于考察方法不同 26 如果一个指数的指数化指标具有质量指标的特征 也即表 现为平均数或相对数的形式 它就属于 质量指标指数 物价 指数 股份指数和成本指数等都是质量指标指数 如果一个指数 的指数化指标具有数量指标的特征 也即具有总量或绝对数的形 式 它一般就属于 数量指标指数 销售旦指数和生产指数则 是数量指标指数 27 常规的综合评价方法有两种 一种是 简易计分法 另一 种是常规方法是 参数指标法 28 构建标准比值综合评价指数的步骤 1 建立综合评价指标 体系 2 确定评价公式样 3 确定各项指标的评价标准和权数 学 4 计算企业的个体指数和综合评价指数 29 概率分布概率分布是一种数学模型 它反映变量取值与其发生的概率 之间的关系 其特点是 变量取值的精确度越高 相应的概率越 小 变量取值的误差越大 相应的概率也越大 30 二项分布二项分布主要描述只有两种结果可能出现的事件的分布 这 两种结果分别用 是 和 非 来区别 31 泊松分布泊松分布是主要描述稀有事件的分布 例如 在单位时间内 电话交换台收到电话呼叫的次数 来到公共汽车站的乘客人数 布上的疵点 啤酒中的杂质等 也称为计点分布或疵点分布 32 完成简单随机样本的选择过程中 当我们并不想将一个管理 人员多次先入时 就可以忽略已出现过的随机数 这种选择样本 的方式叫做 无放回抽样无放回抽样 33 出现过的随机数仍选入样本 则我们进行的是 放回抽样放回抽样 抽样程序中 放回抽样是一种取得简单随机样本的有效途径 然 而 无放回抽样更为常用 34 大样本大样本 在抽样过程中 把抽样数目大于 30 的样本 而把 抽样数目小于 30 的样本称为小样本 35 必要的抽样数目受以下因素影响 1 总体方差点 2 允许 误差范围 3 置信度假 4 抽样方法 5 抽样组织方式 36 分层抽样分层抽样是通过分组来提高样本样本的代表性的 37 等距抽样最显著的优越性是能提高样本单位分布的均匀性 样本代表性较强 38 在整群抽样过程中 划分群体的原则划分群体的原则是 应合群间差异尽可 能小 使各群体内的总体单位之间的差异尽可能大 39 假设检验主要的两个特点 1 假设检验所采用的逻辑推理 方法是反证法 2 这里的合理与否 所依据的是 小概率事件 实际不可能发生的原理 40 原假设和备择假设不是随意提出的 应根据所检验问题的具 体背景而定 常常是采取 不轻易拒绝原假设 的原则 即把没 有充分理由不能轻易否定的命题作为原假设 而相应地把没有足 够把握就不能轻易肯定的命题作为备择假设 41 左侧检验和右侧检验统称为单侧检验 采用哪种假设 要根 据所研究的实际问题而定 如果对所研究问题只需判断有无显著 差异或要求同时注意总体参数偏大或偏小的情况 则采用双侧检 验 42 当原假设 H0 为真 但由于样本的随机性使样本统计量落入 了拒绝区域 这时所作的判断是拒绝原假设 这类错误称为第一 类错误 亦称真错误 43 当原假设 H0 不为真 但由于样本的随机性使样本统计量落 入接受区域 这时的判断是接受原假设 这类错误称为第二类错 误 亦称取伪错误 44 当 N 固定时 减少 A 必然导致 B 增大 反之 减少 B 必然 增大 A 若要同时减少 A 和 B 或给定 A 而使 B 减少 就必须 增大样本容量 N 45 区间估计与假设检验的关系 区间估计与假设检验的关系 1 抽样估计或称参数估计是 根据样本资料估计总体参数的真值 而假设检验是根据样本资料 来检验对总体参数的先验假设是否成立 2 区间估计通常求得 的是以样本估计值为中心的双侧置信区间 而假设检验不仅有双 侧检验也常常采用单侧检验 视检验的具体问题而定 3 区间 估计六足于大概率 通常以较大的把握程度 1 a 去估计总体参数 的置信区间 而假设检验立足于小概率 通常是给定很小的显著 性水平 a 去检验对总体参数的先验假设是否成立 在假设检验中 人们更重视拒绝区域 所以假设检验运用的是概率意义上的反证 法 在建立假设时本着 不轻易拒绝原假设 的原则 区间估计 中的置信区间对应于假设检验中的接受区域 置信敬意之外的区 域就是拒绝区域 46 假设检验的结论是在给定的显著性水平下作出的 因此 在 不同的显著性水平下 对同一检验问题所下的结论可能完全相反 47 相关分析相关分析 就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密 切程度 48 回归分析回归分析 就是根据相关关系的具体形态 选择一个合适的 数学模型 来近似地表达变量间的平均变化关系 49 相关分析和回归分析只是定量分析的手段 通过相关与回归 分析 虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度 但是 现象内在联系的判断和因果关系的确定 必须以有关学科 的理论为指导 结合专业知识和实际经验进行分析研究 才能正 确解决 因此 在应用时要把定性分析和定量分析结合起来 在 定性分析的基础上开展定量分析 50 样本回归子函数与总体回归子函数的区别样本回归子函数与总体回归子函数的区别 1 总体回归线 是未知的 它只有一条 而样本回归线则是根据样本数据拟合的 具有大量性 2 总体回归子函数中的 B1 和 B2 是未知的参数 表现为常数 而样本回归子函数中的 B1 和 B2 是随机变量 其 具体数值随所抽取的样本观测值不同而变动 3 总体回归子函 数中的误差项 U1 是不可直接观测的 而样本回归子函数中的残 差项 E1 可以计算出具体数值 51 理论意义检验主要涉及参数估计值的符号和取值区间 如果 它们与实质性科学的理论以及人们的实践经验不相符 就说明 能很好地解释现实的现象 52 一级检验一级检验 又称为统计学检验 它是利用统计学中的抽样理 论来检验样本回归方程的可靠性 具体双可分为拟合程度评价和 显著性检验 53 二级检验二级检验 又称为经济计量学检验 它是对标准线性回归模 型的假定条件能否得到满足进行检验 具体包括序列相关检验 异方差性检验等 54 拟合程度拟合程度 是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧密程 度 55 可决系数是对回归模型拟合程度的综合度量 可决系数越大 模型拟合程度越高 可决系数越小 则 样本拟合程度越差 56 回归分析中的显著性检验包括两方在同的内容 一是对各回 归系数的显著检验 二是对整个回归方程的显著性检验 57 对回归系数 B2 进行显著性检验的基本步骤 首先 提出假 设 其次 计算回归系数的 t 值 第三 确定显著水平 a 5 和 临界值 最后 作出判断 一 某车间工人日产量资料如下 计算该车间平均每个工人的日产量及标准差 平均日产量 标准差 甲 乙两班同时对 统计学原理 课程进行测试 甲班平均成绩为 70 分 标准差为 9 0 分 乙班的成绩分组资料如下 计算乙班学 生的平均成绩 并比较甲 乙两班哪个班的平均成绩更有代表性 乙班学生的平均成绩 乙班学生的标准差 甲班学生的变异系数 乙班学生的变异系数 因为 0 129 0 120 所以乙班学生的平均成绩更具有代表性 二 时间序列计算 已知某商店 1997 年销售额比 1992 年增长 64 1998 年销售额比 1992 年增长 86 问 1998 年销售额比 1997 年增长多少 1992 1998 年间 平均增长速度是多少 1998 年销售额比 1997 年增长的百分数 1992 1998 年平均增长速度 三 统计指数计算 某农贸市场三种商品的价格和销售量资料如下 试根据上表资料计算 拉氏形式的价格指数 派氏形式的价格指数 拉氏价格指数 派氏价格指数 四 区间估计计算 1 当总体方差已知时 求 的置信区间 例题 已知某零件的直径服从正态分布 从该批产品中随机抽取 10 件 测得平均直径为 202 5mm 已知总体标准差 2 5mm 试建立该种零件平均直径的置信区间 给定置信度为 0 95 10 20 30 40 10 12 13 15 16 18 19 21 工人数 人 日产量 件 10 20 30 40 10 12 13 15 16 18 19 21 工人数 人 日产量 件 17 100 1700 f xf x 3 2 f fxx 2 6 25 12 5 60以下 60 70 70 80 80 90 90 100 学生人数 人 按成绩分组 2 6 25 12 5 60以下 60 70 70 80 80 90 90 100 学生人数 人 按成绩分组 4 77 50 3870 f xf x 29 9 2 f fxx 129 0 70 0 9 x v 120 0 4 77 29 9 x v 41 131 641 861 90 10186 1 11 6 Rx n 350 500 120 4 6 10 250 420 100 3 5 8 A B C 零售量零售价零售量零售价 报告期基期 商品 350 500 120 4 6 10 250 420 100 3 5 8 A B C 零售量零售价零售量零售价 报告期基期 商品 84 1232384 1 3650 4520 00 01 qp qp Kp 17 1242417 1 4510 5600 1 0 1 1 qp qp Kp 96 1 5 2 5 202 10 zxn 55 1 10 5 2 96 1 n zz xx xx xXx 55 1 5 20255 1 5 202 X 该种零件平均直径的置信区间为 200 95 204 05 2 当总体方差未知时 求 的置信区间 例题 某企业生产一种新的电子元件 用简单随机重复抽样方法抽取 100 只作耐用时间试 验 测试结果 平均寿命 6000 小时 标准差 300 小时 试在 95 45 t 2 概率保证下 估计这种新电子元件平均寿命区间 新电子元件平均寿命区间为 5940 6060 小时 3 当总体比例的置信区间估计 例题 某机械厂日产某种产品 8000 件 现采用纯随机不重复抽样方式 从中抽取 400 件进行观察 其中有 380 件为一级品 试以概率 95 45 的可靠程度推断全部产品的一级品率及一级品数量的范围 五 总体均值的假设检验 1 例 根据过去大量资料 某厂生产的产品的使用寿命服从正态分布 N 1020 1002 现从最近生产的一批产品中随机抽取 16 件 测得样本平均寿命为 1080 小时 试在 0 05 的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高 解 根据题意 提出假设 H0 1020 H1 1020 检验统计量 检验统计量由 0 05 查表得临界值 Z0 05 1 645 由于 Z 2 4 Z 1 645 所以应拒绝 H0 而接受 H1 即这批产品的使用寿命确有显著提高 2 例 从长期的资料可知 某厂生产的某种电子原件服从均值为 200 小