湖南省长沙市实验中学2013届高三数学第三次月考试题 理 湘教版

用心 爱心 专心1 长沙市实验中学长沙市实验中学 20132013 届高三月考试卷 三 届高三月考试卷 三 理科数学 理科数学 2012 11 2 总分 150 时间 120 分钟 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 8 8 个小题个小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 4040 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 设集合 1Ax yx lg 1100By yxx 则AB A 1 100 B 1 2 C 0 2 D 0 10 2 已知点 A 1 1 点 B 2 y 向量 a l 2 若 ABa 则实数 y 的值为 A 5 B 6 C 7 D 8 3 已知等比数列 123456 40 20 n aaaaaaa 中则前 9 项之和等于 A 50 B 70 C 80 D 90 4 2 sincos 1yxx 是 A 最小正周期为 2 的偶函数 B 最小正周期为 2 的奇函数 C 最小正周期为 的偶函数 D 最小正周期为 的奇函数 5 已知 命题 则 3sinf xxx 0 0 2 pxf x A 是假命题 p 0 0 2 pxf x B 是假命题 p 00 0 0 2 pxf x C 是真命题 p 0 0 2 pxf x D 是真命题 p 00 0 0 2 pxf x 6 设 若直线与圆相切 则的取mnR 1 1 2 0mxny 22 1 y 1 1x m n 值范围是 A B 13 1 3 13 1 3 C D 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 用心 爱心 专心2 7 对于下列命题 在 ABC中 若 则 ABC为等腰三角形 已知a c是sin2sin2AB ABC的三边长 若 则 ABC有两组解 设 2a 5b 6 A 2012 sin 3 a 则 将函数图象向左平移个单位 2012 cos 3 b 2012 tan 3 c abc 2sin 3 6 yx 6 得到函数图象 其中正确命题的个数是 2cos 3 6 yx A B C D 0123 8 在平面直角坐标系中 圆的方程为 若直线上至少存 在一xOyC 22 8150 xyx 2ykx 点 使得以该点为圆心 1 为半径的圆与圆有公共点 则的取值范围是 Ck A B 或 4 0 3 k 3 k C D 或 34 43 k 0k 4 3 k 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3535 分分 9 4 2 0 4 xdx 10 不等式 2x 1 2 x 1 0 的解集为 11 已知数列通项为 为其前项的和 则 n acos 23 n n an n Sn 2012 S 12 已知向量 的夹角为 且 2 在 ABC 中 m n 6 m 3n AB m 3 D 为 BC 中点 则 n AC m n AD 13 设实数满足约束条件 若目标函数的最大 x y 220 840 0 0 xy xy xy 0 0 zabxy ab 值为 8 则的最小值为 ab 14 已知曲线 1 n f xxnN 与直线1x 交于点 P 若设曲线 y f x 在点 P 处的 切线与 x 轴交点的横坐标为 201212012220122011 logloglog n xxxx 则的值为 15 对于三次函数 的导数 32 0 f xaxbxcxd afxyf x 给出定义设是函数 的导数 若方程有实数解为函数 fxfx 是 0fx 000 xxf x则称点 的 拐点 某同学经过探究发现 任何一个三次函数都有 拐点 任何一 yf x 个三次函数都有对称中心 且 拐点 就是对称中心 给定函数 用心 爱心 专心3 请你根据上面探究结果 解答以下问题 32 115 3 3212 f xxxx 1 函数的对称中心为 32 115 3 3212 f xxxx 2 计算 1232012 2003201320132013 ffff 三 解答题 本大题共 75 分 16 本题满分 12 分 在中 角所对的边分别为 已知 ABC A B C a b c2 a 7 b 60 B I 求及 ABC的面积 cS II 求 2sin CA 17 本题满分 12 分 已知函数 1 2 2 log 1 ax f x x a为常数 1 若常数2a 且0a 求 f x的定义域 2 若 f x在区间 2 4 上是减函数 求a的取值范围 18 本题满分 12 分 在一个六角形体育馆的一角 MAN内 用长为a的围栏设置一个运 动器材储存区域 如图所示 已知 120A B是墙角线AM上的一点 C是墙角线 AN上的一点 1 若BC a 20 求储存区域面积的最大值 2 若AB AC 10 在折线MBCN内选一点D 使20 DCBD 求四边形储存区域 DBAC的最大面积 用心 爱心 专心4 19 本题满分 13 分 已知数列是各项均不为的等差数列 公差为 n S为 n a0d 其前n项和 且满足 数列满足 为数列的前 2 21nn aS n N n b 1 1 n nn b aa n T n b n项和 1 求数列的通项公式和 n a n T 2 是否存在正整数 使得成等比数列 若存在 求出所有 m n 1 mn 1 mn T T T 的值 若不存在 请说明理由 m n 20 本题满分 13 分 已知函数 sin f xxx I 当 0 xf x 时求的值域 II 设 2 1 1 0 g xfxg xax 若在恒成立 求实数 a 的取值范围 21 本题满分 13 分 已知函数 ln0 xa f xaxa x 求此函数的单调区间及最值 求证 对于任意正整数n 均有 为自然对数的底数 111 1ln 23 n e nn e 当a 1 时 是否存在过点 1 1 的直线与函数y f x 的图象相切 若 存在 有多少条 若不存在 说明理由 用心 爱心 专心5 长沙市实验中学长沙市实验中学 20132013 届高三月考试卷 三 届高三月考试卷 三 理科数学 答案 理科数学 答案 2012 11 2 总分 150 时间 120 分钟 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 8 8 个小题个小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 4040 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 设集合 1Ax yx lg 1100By yxx 则AB B A 1 100 B 1 2 C 0 2 D 0 10 2 已知点 A 1 1 点 B 2 y 向量 a l 2 若 ABa 则实数 y 的值为 A 5 B 6 C 7 D 8 解题思路 3 y 1 a a y 7 AB AB 3 1 y 1 2 3 已知等比数列 123456 40 20 n aaaaaaa 中则前 9 项之和等于 A 50 B 70 C 80 D 90 解题思路 3 321654 qaaaaaa 2 1 3 q 3 654987 qaaaaaa 10 即 9 s 70 4 2 sincos 1yxx 是 A 最小正周期为 2 的偶函数 B 最小正周期为 2 的奇函数 C 最小正周期为 的偶函数 D 最小正周期为 的奇函数 解题思路 2 sincos 12sin cossin2yxxxxx 所以函数 2 sincos 1yxx 是最小正周期为 的奇函数 5 已知 命题 则 D 3sinf xxx 0 0 2 pxf x A 是假命题 p 0 0 2 pxf x B 是假命题 p 00 0 0 2 pxf x C 是真命题 p 0 0 2 pxf x 用心 爱心 专心6 D 是真命题 p 00 0 0 2 pxf x 6 设 若直线与圆相切 则的取mnR 1 1 2 0mxny 22 1 y 1 1x m n 值范围是 A B 13 1 3 13 1 3 C D 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 解析 直线与圆相切 圆心到 1 1 2 0mxny 22 1 y 1 1x 1 1 直线的距离为 所以 设 22 1 1 2 1 1 1 mn d mn 2 1 2 mn mnmn t mn 则 解得 2 1 1 4 tt 22 2 2 2 2 t 16 5 7 对于下列命题 在 ABC中 若 则 ABC为等腰三角形 已知a c是sin2sin2AB ABC的三边长 若 则 ABC有两组解 设 2a 5b 6 A 2012 sin 3 a 则 将函数图象向左平移个单位 2012 cos 3 b 2012 tan 3 c abc 2sin 3 6 yx 6 得到函数图象 其中正确命题的个数是 C 2cos 3 6 yx A B C D 0123 7 解析 则 或 或 所以 ABCsin2sin2AB 22AB 22AB AB 2 AB 为等腰三角形或直角三角形 故此命题错 由正弦定理知 sinsin ab AB 显然无解 故此命题错 1 5 sin5 2 sin1 24 bA B a 201223 sinsin 332 a 201221 coscos 332 b 20122 tantan3 33 c abc 正确 2sin 3 2sin 3 2cos 3 66626 yxxx 8 在平面直角坐标系中 圆的方程为 若直线上至少存 在一xOyC 22 8150 xyx 2ykx 点 使得以该点为圆心 1 为半径的圆与圆有公共点 则的取值范围是 A Ck A B 或 4 0 3 k 3 k C D 或 34 43 k 0k 4 3 k 用心 爱心 专心7 8 解析 圆C的方程可化为 圆 C 的圆心为 半径为 1 2 2 41xy 4 0 由题意 直线上至少存 在一点 以该点为圆心 1 为半径的圆与2ykx 00 2 A x kx 圆有公共点 C 存在 使得成立 即 0 xR 1 1AC min 2AC 即为点到直线的距离 解得 min ACC2ykx 2 42 1 k k 2 42 2 1 k k 4 0 3 k 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3535 分分 9 4 2 0 4 xdx 16 10 不等式 2x 1 2 x 1 0 的解集为 答案 1 4 x x 11 已知数列通项为 为其前项的和 则 n acos 23 n n an n Sn 2012 S 503 13 12 已知向量 的夹角为 且 2 在 ABC 中 m n 6 m 3n AB m 3 D 为 BC 中点 则 1 n AC m n AD 13 设实数满足约束条件 若目标函数的最大 x y 220 840 0 0 xy xy xy 0 0 zabxy ab 值为 8 则的最小值为 4 ab 14 已知曲线 1 n f xxnN 与直线1x 交于点 P 若设曲线 y f x 在点 P 处的 切线与 x 轴交点的横坐标为 201212012220122011 logloglog n xxxx 则的值为 解题思路 f x n 1 xn k f 1 n 1 点P 1 1 处的切线方程 为 y 1 n 1 x 1 令y 0 得 x 1 即 1 n 1 n n 1 xn x1 x2 x2011 2012 2011 2012 1 则 n n 1 1 2 2 3 3 4 2010 2011 log2012x1 log2012x2 log2012x2011 log2012 x1 x2 x2011 log2012 2012 1 1 用心 爱心 专心8 15 对于三次函数 的导数 32 0 f xaxbxcxd afxyf x 给出定义设是函数 的导数 若方程有实数解为函数 fxfx 是 0fx 000 xxf x则称点 的 拐点 某同学经过探究发现 任何一个三次函数都有 拐点 任何一 yf x 个三次函数都有对称中心 且 拐点 就是对称中心 给定函数 请你根据上面探究结果 解答以下问题 32 115 3 3212 f xxxx 1 函数的对称中心为 32 115 3 3212 f xxxx 2 计算 1232012 2003201320132013 ffff 三 解答题 本大题共 75 分 16 在中 角所对的边分别为 已知 ABC A B C a b c2 a7 b 60 B I 求及 ABC的面积 cS II 求 2sin CA 16 解 1 方法 1 由余弦定理 2 分 2 1 2247 2 cc 或 取 4 分 032 2 cc3 c1 c3 c 的面积 6 分 ABC 13 3 sin 22 SacB 2 60 7 2 Bba 72 sin60sin A 21 sin 7 A 角A是锐角 8 分 ba 7 72 cos A 10 分 AACACA 120 2 用心 爱心 专心9 12 分 14 21 sin 2 1 cos 2 3 120sin 2sin AAACA 17 本题满分 12 分 已知函数 1 2 2 log 1 ax f x x a为常数 1 若常数2a 且0a 求 f x的定义域 2 若 f x在区间 2 4 上是减函数 求a的取值范围 17 解 1 由 2 0 1 ax x 当02a 时 解得1x 或 2 x a 2 分 当0a 时 解得 2 1x a 4 分 故当02a 时 f x的定义域为 x1x 或 2 x a 当0a 时 f x的定义域为 x 2 1x a 6 分 2 令 2 1 ax u x 因为 1 2 logf xu 为减函数 故要使 f x在 2 4 上是减函数 22 11 axa ua xx 在 2 4 上为增函数且为正值 8 分 故有 min 20 12 22 2 0 2 1 a a a uu 10 分 故 1 2 a 12 分 18 在一个六角形体育馆的一角 MAN内 用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域 如 图所示 已知 120A B是墙角线AM上的一点 C是墙角线AN上的一点 1 若BC a 20 求储存区域面积的最大值 2 若AB AC 10 在折线MBCN内选一点D 使20 DCBD 求四边形储存区域 DBAC的最大面积 解 解 1 设 0 0 ABx ACy xy 由 222 202cos12022cos120 xyxyxyxy 得 22 2 2020 22cos1204sin 60 xy 用心 爱心 专心10 222 2 112020 cos6020100 3 sin1202sin60 cos60 22 4sin 604sin604tan603 Sxy 即 100 3 y 3 四边形D BAC 面积的最大值为 当且仅当x 时取到 2 由20 DCDB 知点D在以B C为焦点的椭圆上 325 2 3 1010 2 1 ABC S 要使四边形 DBAC 面积最大 只需 DBC 的 面积最大 此时点D到BC的距离最大 即D必为椭圆短轴顶点 由 10 3BC 得短半轴长 5 BCD bS 面积的最大值为 1 10 3 525 3 2 因此 四边形 ACDB 面积的最大值为50 3 19 已知数列是各项均不为的等差数列 公差为 n S为其前n项和 且满足 n a0d 数列满足 为数列的前n项和 2 21nn aS n N n b 1 1 n nn b aa n T n b 1 求数列的通项公式和 n a n T 2 是否存在正整数 使得成等比数列 若存在 求出所有 m n 1 mn 1 mn T T T 的值 若不存在 请说明理由 m n 19 解 法一 在中 令 2 21nn aS 1 n2 n 得 即 解得 2 分 3 2 2 1 2 1 Sa Sa 33 1 2 1 1 2 1 dada aa 1 1 a2 d 3 分21 n an 4 分 1 11111 21 21 2 2121 n nn b a annnn 7 分 111111 1 2335212121 n n T nnn 法二 是等差数列 n a n n a aa 2 121 12 2 121 12 n aa S n n 用心 爱心 专心11 n an 12 由 得 2 21nn aS nn ana 12 2 又 则 求法同法一 0 n a 21 n an 1 1 2ad n T 1 1 32121 mn mn TTT mn 若成等比数列 则 即 1 mn T TT 2 1 213 21 mn mn 2 2 44163 mn mmn 法一 由 可得 2 2 44163 mn mmn 2 2 3241 0 mm nm 9 分 即 11 分 2 2410mm 66 11 22 m 又 且 所以 此时 m N1m 2m 12n 因此 当且仅当 时 数列 n T中的成等比数列 13 分2m 12n 1 mn T TT 法二 因为 故 即 11 3 636 6 n n n 2 2 1 4416 m mm 2 2410mm 以下同上 66 11 22 m 20 已知函数 sin f xxx I 当 0 xf x 时求的值域 II 设 2 1 1 0 g xfxg xax 若在恒成立 求实数 a 的取值范围 解 1 cos0 0 fxxf x 在上单调递增 minmax 0 0 f xff xf 所以函数 f x的值域为 0 6 分 cosg xx 记 2 cos1xxax 则 sin2xxax 用心 爱心 专心12 当 1 2 a 时 cos20 xxa 所以 x 在 0 上单调递增 又 0 0 故 0 x 从而 x 在 0 上单调递增 所以 0 0 x 即 2 cos1xax 在 0 上恒成立 9 分 当 2 1 a时 0 0 0 02