高三数学典型例题解析：第六章 立体几何初步

第六章第六章 立体几何初步立体几何初步 6 1 6 1 两条直线之间的位置关系两条直线之间的位置关系 一 知识导学一 知识导学 1 平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有 的点都在这个平面内 公理 2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 公理 3 经过不在同一条直线上 的三点 有且只有一个平面 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有 一个平面 推论 2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 2 空间两条直线的位置关系 包括 相交 平行 异面 3 公理 4 平行于同一条直线的两条直线平行 定理 4 如果一个角的两边和另一个角的 两边分别平行并且方向相同 那么这两个角相等 推论 如果两条相交直线和另两条相 交直线分别平行 那么这两组直线所成的锐角 或直角 相等 4 异面直线 异面直线所成的角 两条异面直线互相垂直的概念 异面直线的公垂线及距 离 5 反证法 会用反证法证明一些简单的问题 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 异面直线是指不同在任何一个平面内 没有公共点 强调任何任何一个个平面 2 异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成 的锐角 或直角 锐角 或直角 一般通过平移后转化到三角形中求角 注意角的范围 3 异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交相交 4 异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度 求两条异面直线的距离关键 是找到它们的公垂线 5 异面直线的证明一般用反证法 异面直线的判定方法 如图 如果 b A 且 A b aA 则 a 与 b 异面 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 1 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 O 是底面 ABCD 的中心 M N 分别 是棱 DD1 D1C1的中点 则直线 OM A 是 AC 和 MN 的公垂线 B 垂直于 AC 但不垂直于 MN C 垂直于 MN 但不垂直于 AC D 与 AC MN 都不垂直 错解错解 B 错因 学生观察能力较差 找不出三垂线定理中的射影 正解正解 A 例例 2 2 如图 已知在空间四边形 ABCD 中 E F 分别是 AB AD 的中点 G H 分别是 BC CD 上的点 且2 HC DH GC BG 求证 直线 EG FH AC 相交于一点 错解 错解 证明 E F 分别是 AB AD 的中点 EF BD EF 2 1 BD 又2 HC DH GC BG GH BD GH 3 1 BD 四边形 EFGH 是梯形 设两腰 EG FH 相交于一点 T 2 HC DH F 分别是 AD AC 与 FH 交于一点 直线 EG FH AC 相交于一点 正解 正解 证明 E F 分别是 AB AD 的中点 EF BD EF 2 1 BD 又2 HC DH GC BG GH BD GH 3 1 BD 四边形 EFGH 是梯形 设两腰 EG FH 相交于一点 T EG 平面 ABC FH 平面 ACD T 面 ABC 且 T 面 ACD 又平面 ABC 平面 ACD AC ACT 直线 EG FH AC 相交于一点 T 例例 3 3 判断 若 a b 是两条异面直线 P 为空间任意一点 则过 P 点有且仅有一个平面与 a b 都平行 错解错解 认为正确 错因错因 空间想像力不够 忽略 P 在其中一条线上 或 a 与 P 确定平面恰好与 b 平行 此时就 不能过 P 作平面与 a 平行 正解正解 假命题 例例 4 如图 在四边形 ABCD 中 已知 AB CD 直线 AB BC AD DC 分别与平面 相交 于点 E G H F 求证 E F G H 四点必定共线 在同一条直线上 分析分析 先确定一个平面 然后证明相关直线在这个平面内 最后证明四点共线 证明证明 AB CD AB CD 确定一个平面 又 AB E AB E E 即 E 为平面 与 的一个公共点 同理可证 F G H 均为平面 与 的公共点 两个平面有公共点 它们有且只有一条通过公共点的公共 直线 E F G H 四点必定共线 点点 评评 在立体几何的问题中 证明若干点共线时 先证明这些点都是某两平面的公共点 而后得出这些点都在二平面的交线上的结论 例例 5 5 如图 已知平面 且 l 设梯形 ABCD 中 AD BC 且 AB CD 求证 AB CD l共点 相交于一点 分析 分析 AB CD 是梯形 ABCD 的两条腰 必定相交于一点 M 只要证明 M 在l上 而l是两个平面 的交线 因此 只要证明 M 且 M 即可 证明 证明 梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 是梯形 ABCD 的两条腰 AB CD 必定相交于一点 设 AB CD M 又 AB CD M 且 M M 又 l M l 即 AB CD l共点 点点 评评 证明多条直线共点时 与证明多点共线是一样的 例例 6 6 已知 a b c d 是不共点且两两相交的四条直线 求证 a b c d 共 面 分析分析 弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义 四条直线不共点 包括有三条 直线共点的情况 两两相交是指任何两条直线都相交 在此基础上 根据平面的性 质 确定一个平面 再证明所有的直线都在这个平面内 证明证明 1 若当四条直线中有三条相交于一点 不妨设 a b c 相交于一点 A 直线 d 和 A 确定一个平面 又设直线 d 与 a b c 分别相交于 E F G 则 A E F G A E A E a a 同理可证 b c a b c d 在同一平面 内 2 当四条直线中任何三条都不共点时 如图 这四条直线两两相交 则设相交直线 a b 确定一个平面 设直线 c 与 a b 分别交于点 H K 则 H K 又 H K c c 同理可证 d a b c d 四条直线在同一平面 内 点点 评评 证明若干条线 或若干个点 共面的一般步骤是 首先由题给条件中的部分线 或点 确 定一个平面 然后再证明其余的线 或点 均在这个平面内 本题最容易忽视 三线共点 这一 种情况 因此 在分析题意时 应仔细推敲问题中每一句话的含义 例例 7 7 在立方体 ABCD A1B1C1D1中 1 找出平面 AC 的斜线 BD1在平面 AC 内的射影 2 直线 BD1和直线 AC 的位置关系如何 3 直线 BD1和直线 AC 所成的角是多少度 解 解 1 连结 BD 交 AC 于点 O 上的射影在平面就是斜线平面ACBDBDACDD 11 2 BD1和 AC 是异面直线 3 过 O 作 BD1的平行线交 DD1于点 M 连结 MA MC 则 MOA 或其补角即为异面直线 AC 和 BD1所成的角 不难得到 MA MC 而 O 为 AC 的中点 因此 MO AC 即 MOA 90 异面直线 BD1与 AC 所成的角为 90 例例 8 8 已知 在直角三角形 ABC 中 A 为直角 PA 平 面 ABC BD PC 垂足为 D 求证 AD PC 证明 证明 PA 平面 ABC PA BA 又 BA AC BA 平面PAC AD是BD在平面PAC内的射影 又 BD PC AD PC 三垂线定理的逆定理 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 如图 P 是 ABC 所在平面外一点 连结 PA PB PC 后 在包括 AB BC CA 的六条棱所在的直线中 异面直线的对数为 A 2 对 B 3 对 C 4 对 D 6 对 2 两个正方形 ABCD ABEF 所在的平面互相垂直 则异面直线 AC 和 BF 所成角的大小为 3 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 体对角线 DB1与面对角线 BC1所成的角是 它们的距离是 4 长方体ABCD A B C D 1111中 BCCDDD 2 2 14 2 5 1 则A C B D 111 和 所成角的大小为 5 关于直角 AOB 在定平面 内的射影有如下判断 可能是 0 的 角 可能是锐角 可能是直角 可能是钝角 可能是 180 的角 其中正确判断的序号是 注 把你认为正确的序号都填 上 6 在空间四边形ABCD中 AB CD AH 平面BCD 求证 BH CD 7 如图正四面体中 D E 是棱 PC 上不重合的两点 F H 分别是棱 PA PB 上的点 且与 P 点不重合 求证 EF 和 DH 是异面直线 6 2 6 2 直线与平面之间的位置关系直线与平面之间的位置关系 一 知识导学一 知识导学 1 掌握空间直线与平面的三种位置关系 直线在平面内 相交 平行 2 直线和平面所成的角 当直线与平面平行或在平面内时所成的角是 0 当直线与平面 垂直时所成的角是 9 0 当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所 成的锐角 3 掌握直线与平面平行判定定理 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行 那 么这条直线和平面平行 和性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线 的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 4 直线与平面垂直的定义是 如果一条直线和一个平面内所有直线垂直 那么这条直线 和这个平面垂直 掌握直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和平面内的两条相 交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 和性质定理 如果两条直线同垂直于 一个平面 那么这两条直线平行 5 直线与平面的距离 一条直线和一个平面平行时 这条直线上任意一点到这个平面的 距离 叫做这条直线和这个平面的距离 6 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影 垂直 那么它也和这条斜线垂直 逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面 的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直 7 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 垂线段比任何一条斜线段都短 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 斜线与平面所成的角关键在于找射影 斜线与平面所成的角 是这条斜线和这个平面内 的直线所成的一切角中最小的角 2 在证明平行时注意线线平行 线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用 3 在证明垂直时注意线线垂直 线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用 同 时还要注意三垂线定理及其逆定理的运用 要注意线面垂直的判定定理中的 两条相交相交直线 如果用 无数 或 两条 都是错误的 4 直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离 如果在平面的同一侧同一侧有两点 到平面的距离 大于 0 相等 则经过这两点的直线与这个平面平行 要注意 同一侧 距离相等 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 1 已知平面 平面 直线l 平面 点 P 直线l 平面 间的距离为 8 则在 内到点 P 的距离为 10 且到l的距离为 9 的点的轨迹是 A 一个圆 B 四个点 C 两条直线 D 两个点 错解错解 A 错因错因 学生对点线距离 线线距离 面面距离的关系掌握不牢 正解正解 B 例例 2 2 a 和 b 为异面直线 则过 a 与 b 垂直的平面 A 有且只有一个 B 一个面或无数个 C 可能不存在 D 可能有无数个 错解错解 A 错因错因 过 a 与 b 垂直的平面条件不清 正解正解 C 例例 3 3 由平面 外一点 P 引平面的三条相等的斜线段 斜 足分别为 A B C O 为 ABC 的外心 求证 OP 错解错解 因为 O 为 ABC 的外心 所以 OA OB OC 又因为 PA PB PC PO 公用 所以 POA POB POC 都全等 所以 POA POB POC 2 所以OP 错因 错因 上述解法中 POA POB POC RT 是对的 但它们为什么是直角呢 这里 缺少必要的证明 正解正解 取 BC 的中点 D 连 PD OD ABPOPO PBPC OBOCBCPD BCODBCPODBCPO 面 同理 例 4 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 3 AA1 4 M 为 AA1的中点 P 是 BC 上一点 且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M 点的最短路线长为 29 设这条最短路线与 C1C 的交点为 N 求 1 该三棱柱的侧面展开图的对角线长 2 PC 和 NC 的长 3 平面 NMP 和平面 ABC 所成二面角 锐角 的大小 用反三 角函数表示 错因 错因 1 不知道利用侧面 BCC1 B1展开图求解 不会找29 的线 段在哪里 2 不会找二面角的平面角 正解 正解 1 正三棱柱 ABC A1B1C1的侧面展开图是一个长为 9 宽为 4 的矩形 其对角线长为9749 22 2 如图 将侧面 BC1旋转 120使其与侧面 AC1在同一平面 上 点 P 运动到点 P1的位置 连接 MP1 则 MP1就是由点 P 沿棱柱侧面经过 CC1到点 M 的最短路线 设 PC x 则 P1C x 在2 292 3 22 1 xxMAPRt 中 5 4 5 2 1 1 NC AP CP MA NC 3 连接 PP1 如图 则 PP1就是平面 NMP 与平面 ABC 的交线 作 NH 1 PP 于 H 又 CC1 平面 ABC 连结 CH 由三垂线定理的逆定理得 1 PPCH 所成二面角的平面角 与平面就是平面ABCNMPNHC 1 60 2 1 1 CHPCPPCHPHCRt 中 在 5 4 tan CH NC NHCNCHRt中 在 例例 5 5 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点 Q 是 PA 的中点 求证 PC 平面 BDQ 分析 分析 要证明平面外的一条直线和该平面平行 只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以 了 证明 证明 如图所示 连结 AC 交 BD 于点 O 四边形 ABCD 是平行四边形 AO CO 连结 OQ 则 OQ 在平面 BDQ 内 且 OQ 是 APC 的中位线 PC OQ PC 在平面 BDQ 外 PC 平面 BDQ 点点 评 评 应用线面平行的判定定理证明线面平行时 关键是在平面内找一条直线与已知直线 平行 例例 6 6 在正方体 A1B1C1D1 ABCD 中 E F 分别是棱 AB BC 的中点 O 是底面 ABCD 的中 点 求证 EF 垂直平面 BB1O 证明证明 如图 连接 AC BD 则 O 为 AC 和 BD 的交点 E F 分别是 AB BC 的中点 EF 是 ABC 的中位线 EF AC B1B 平面 ABCD AC 平面 ABCD AC B1B 由正方形 ABCD 知 AC BO 又 BO 与 BB1是平面 BB1O 上的两条相交直线 AC 平面 BB1O 线面垂直判定定理 AC EF EF 平面 BB1O 例例 7 7 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 E 是 BB1 的中点 O 是底面正方形 ABCD 的中 心 求证 OE 平面 ACD1 分析分析 本题考查的是线面垂直的判定方法 根据线面垂直的判定方法 要证明 OE 平面 ACD1 只要在平面 ACD1 内找两条相交直线与 OE 垂直 证明 证明 连结 B1D A D BD 在 B1BD 中 E O 分别是 B1B 和 DB 的中点 EO B1D B1A1 面 AA1D1D DA1 为 DB1 在面 AA1D1D 内的射影 又 AD1 A1D AD1 DB1 同理可证 B1D D1C 又 AD1 11 DCD AD1 D1C 面 ACD1 B1D 平面 ACD1 B1D OE OE 平面 ACD1 点点 评评 要证线面垂直可找线线垂直 这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方 法 在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用 也要注意有时是从数量关 系方面找垂直 即勾股定理或余弦定理的应用 例 8 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 N 在 BD 上 点 M 在 B1C 上 且 CM DN 求证 MN 平面 AA1B1B 证明 证明 证法一证法一 如图 作 ME BC 交 BB1于 E 作 NF AD 交 AB 于 F 连 EF 则 EF 平面 AA1B1B 1 1 CB MB BC ME BD BN AD NF AD NF BD BN BC ME ME NF 又 ME BC AD NF MEFN 为平行四边形 MN EF MN 平面 AA1B1B 证法二证法二 如图 连接并延长 CN 交 BA 延长线于点 P 连 B1P 则 B1P 平面 AA1B1B NDC NBP NP CN NB DN 又 CM DN B1C BD 1 NP CN NB DN MB CM MN B1P B1P 平面 AA1B1B MN 平面 AA1B1B 证法三证法三 如图 作 MP BB1 交 BC 于点 P 连 NP MP BB1 1 PB CP MB CM BD B1C DN CM 1 BNMB 1 NB DN PB CP NB DN MB CM NP CD AB 面 MNP 面 AA1B1B MN 平面 AA1B1B 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 设 a b 是空间两条垂直的直线 且 b 平面 则在 a 平面 a a 与 相交 这三种情况中 能够出现的情况有 A 0 个 B 1 C 2 个 D 3 个 2 一个面截空间四边形的四边得到四个交点 如果该空间四边形仅有一条对角线与这个截 面平行 那么此四个交点围成的四边形是 A 梯形 B 任意四边形 C 平行四边形 D 菱形 3 若一直线和一个平面平行 夹在直线和平面间的两条线段相等 那么这两条线段的位置 关系是 A 平行 B 相交 C 异面 D 平行 相交或异面 4 空间四边形的边 AB BC CD DA 的中点分别是 E F G H 若两条对角线 BD AC 的长分别为 2 和 4 则 EG2 HF2 的值 A 5 B 10 C 20 D 40 5 点 P Q R S 分别是空间四边形 ABCD 四边的中点 则 当 ACBD 时 四边形 PQRS 是 形 当 AC BD 时 四边形 PQRS 是 形 6 已知两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内 M N 分别在它们的对角线 AC BF 上 且 CM BN 求证 MN 平面 BCE 7 如图 已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱 形 且 60 11 BCDCDCCBC 1 证明 C1CBD 2 当 1 CC CD 的值为多少时 能使 A1C 平面 C1BD 请 给出证明 6 3 6 3 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系 一 基础知识导学一 基础知识导学 1 空间两个平面的位置关系 有交点的是相交 没交点的是平行 2 理解并掌握空间两个平面平行的定义 掌握空间两个平面平行判定定理 如果一个平面 内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 和性质定理 如果两个平 行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 3 理解并掌握空间两个平面垂直的定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角 是直二面角 就说这两个平面垂直 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面垂直 和性质定理 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面 4 二面角的有关概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 与运算 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射 线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 二面角的平面角的常见作法 定义法 三 垂线定理及逆定理法 垂面法等 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点 2 面面平行也是推导线面平行的重要手段 还要注意平行与垂直的相互联系 如 如果 两个平面都垂直于同一条直线 则这两个平面平行 如果两条直线都垂直于一个平面 则这 两条直线平行等 在证明平行时注意线线平行 线面平行及面面平行的判定定理和性质定理 的反复运用 3 对于命题 三个平面两两相交 有三条交线 则这三条交线互相平行或者相交于同一 点 要会证明 4 在证明垂直时注意线线垂直 线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用 5 注意二面角的范围是 0 找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线 这往往是二 面角的平面角的关键所在 求二面角的大小还有公式 S S cos 用的时候要进行交代 在二 面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一 补充棱 方法二 利用 如果 ll 则 且 方法三 公式 S S cos 等 求二面角中解三角 形时注意垂直 直角 数据在不同的面上转换 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 1 一直线与直二面角的两个面所成的角分别为 则 满足 A 900 D 900 错解错解 A 错因错因 忽视直线与二面角棱垂直的情况 正解正解 B 例例 2 2 如图 ABC 是简易遮阳棚 A B 是南北方向上两个定点 正东方向射出的太阳光线与地面成 40 角 为了使遮阴影面 ABD 面积最大 遮阳棚 ABC 与地面所成的角应为 A 90 B 60 C 50 D 45 错解错解 A 正解正解 C 例例 3 3 已知正三棱柱 ABC A1B1C1底面边长是 10 高是 12 过底面一边 AB 作与底面 ABC 成 0 60角的截面面积是 错解错解 50 3 用面积射影公式求解 S底 325100 4 3 S 截 350 60cos 底 S 错因 错因 没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形 正解正解 48 3 例例 4 4 点O是边长为 4 的正方形 ABCD的中心 点E F分别是AD BC的中点 沿对角线AC把正方形 ABCD折成直二面角 D AC B 1 求EOF 的大小 2 求二面角EOFA 的大小 错解错解 不能认识折叠后变量与不变量 不会找二面角的平面角 正解正解 1 如图 过点 E 作 EG AC 垂足为G 过点 F 作 FH AC 垂足为H 则 2EGFH 2 2GH C D M H G O F AB E G H M A B C D E FO 因为二面角D AC B为直二面角 2222 2cos90EFGHEGFHEG FH 222 2 2 2 2 012 又在EOF 中 2OEOF 222222 22 2 3 1 cos 22 2 22 OEOFEF EOF OE OF 120EOF 2 过点 G 作 GM 垂直于FO的延长线于点 M 连 EM 二面角 D AC B 为直二面角 平面 DAC 平面 BAC 交线为 AC 又 EG AC EG 平面 BAC GM OF 由三垂线定理 得 EM OF EMG 就是二面角EOFA 的平面角 在 Rt EGM 中 90EGM 2EG 1 1 2 GMOE tan2 EG EMG GM arctan2EMG 所以 二面角EOFA 的大小为arctan2 例例 5 5 如图 平面 平面 平面 且 在 之间 若 和 的距离是 5 和 的距离是 3 直线l和 分别交于 A B C AC 12 则 AB BC 解解 作l l 与 也垂直 l 与 分别交于A1 B1 C1 因此 A1B1是 与 平面间的距离 B1C1是 与 平 面间的距离 A1C1是 与 之间的距离 A1B1 5 B1C1 3 A1C1 8 又知 AC 12 11 11 CA BA AC AB AB 2 15 8 125 11 11 CB BA BC AB BC 2 9 5 3 2 15 答 AB 2 15 BC 2 9 例例 6 如图 线段 PQ 分别交两个平行平面 于 A B 两点 线段 PD 分别交 于 C D 两点 线段 QF 分别 交 于 F E 两点 若 PA 9 AB 12 BQ 12 ACF 的面积为 72 求 BDE 的面积 解解 平面 QAF AF 平面 QAF BE 又 AF BE 同理可证 AC BD FAC 与 EBD 相等成互补 由 FA BE 得 BE AF QB QA 12 24 1 2 BE AF 2 1 由 BD AC 得 AC BD PA PB 9 21 3 7 BD AC 3 7 又 ACF 的面积为 72 即FACACAF sin 2 1 72 S DBE FACACAFEBDBDBE sinsin 3 7 2 1 2 1 2 1 8472sin 6 7 2 1 6 7 FACACAF 答 BDE 的面积为 84 平方单位 例例 7 如图 B 为 ACD 所在平面外一点 M N G 分别为 ABC ABD BCD 的重心 1 求证 平面 MNG 平面 ACD 2 求 S MNG S ADC 解解 1 连结 BM BN BG 并延长交 AC AD CD 分别于 P F H M N G 分别为 ABC ABD BCD 的重 心 则有 2 GH BG NF BN MP BM 连结 PF FH PH 有 MN PF 又 PF 平面 ACD MN 平面 ACD 同理 MG 平面 ACD MG MN M 平面 MNG 平面 ACD 2 由 1 可知 3 2 BH BG PH MG MG PH 3 2 又 PH AD 2 1 MG AD 3 1 同理 NG CDMNAC 3 1 3 1 MNG ACD 其相似比为 1 3 S MNG S ADC 1 9 例例 8 8 如图 平面 EFGH 分别平行于 CD AB E F G H 分别在 BD BC AC AD 上 且 CD a AB b CD AB 1 求证 EFGH 是矩形 2 求当点 E 在什么位置时 EFGH 的面积最大 1 证明证明 CD 面 EFGH 而面 EFGH 面 BCD EF CD EF 同理 HG CD EF HG 同理 HE GF 四边形 EFGH 为平行四边形 由 CD EF HE AB HEF 为 CD 和 AB 所成的角或其补角 又 CD AB HE EF 四边形 EFGH 为矩形 2 解解 由 1 可知在 BCD 中 EF CD 其中 DE m EB n a nm n EF DB BE CD EF 由 HE AB b nm m HE DB DE AB HE 又 四边形 EFGH 为矩形 S矩形 EFGH HE EF nm m b nm n a 2 nm mn ab m n 2mn m n 2 mn 2 nm mn 4 1 当且仅当 m n 时取等号 即 E 为 BD 的中点时 S矩形 EFGH 2 nm mn ab 4 1 ab 矩形 EFGH 的面积最大为 4 1 ab 点评 求最值时经常转化为函数求最值 不等式求最值 导数求最值 线性规划求最值等 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 山坡面 与水平面成 30 的角 坡面上有一条公路 AB 与坡角线 BC 成 45 的角 沿公 路向上去 1 公里时 路基升高 米 2 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA 平面 ABCD 且 PA AB 则平面 ABP 与平面 CDP 所成 二面角 小于或等于 90 的度数是 3 在 60 二面角的棱上 有两个点 A B AC BD 分别是在这个 二面角的两个面内垂直于 AB 的线段 已知 AB 4cm AC 6cm BD 8cm 求 CD 长 4 如图 过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA SB SC 且 ASB ASC 60 BSC 90 求证 平面 ABC 平面 BSC 5 已知 如图 SA 平面 ABC AB BC DE 垂直平分 SC 且 分别交 AC SC 于 D E 又 SA AB SB BC 求二面角 E BD C 的度数 6 4 6 4 空间角和距离空间角和距离 一一 知识导学知识导学 1 掌握两条异面直线所成的角 直线与平面所成的角及二面角 掌握上述三类空间角的作 法及运算 2 掌握给出公垂线的两条异面直线的距离 点到直线 或平面 的距离 直线与平面的距 离及两平行平面间距离的求法 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 求空间角的大小时 一般将其转化为平面上的角来求 具体地将其转化为某三角形的一 个内角 2 求二面角大小时 关键是找二面角的平面角 可充分利用定义法或垂面法等 3 空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离 求点到平面距离时 可先找出点在平面 内的射影 可用两个平面垂直的性质 也可用等体积转换法求之 另外要注意垂直的作用 球心到截面圆心的距离由勾股定理得 22 rRd 4 球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长 关键在于画出经过两点的 大圆以及小圆 5 要注意距离和角在空间求值中的相互作用 以及在求面积和体积中的作用 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 1 平面 外有两点 A B 它们与平面 的距离分别为 a b 线段 AB 上有一点 P 且 AP PB m n 则点 P 到平面 的距离为 错解错解 namb mn 错因 错因 只考虑 AB 在平面同侧的情形 忽略 AB 在平面两测的情况 正解正解 nambmbna mnmn 或 例例 2 2 与空间四边形 ABCD 四个顶点距离相等的平面共有 个 错解错解 4 个 错因 只分 1 个点与 3 个点在平面两侧 没有考虑 2 个点与 2 个点在平面两侧 正解正解 7 个 例例 3 3 一个盛满水的三棱锥形容器 不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D E F 且知 SD DA SE EB CF FS 2 1 若仍用这个容器盛水 则最多可盛原来水的 A 29 23 B 27 19 C 31 30 D 27 23 错解 错解 A B C 由过 D 或 E 作面 ABC 的平行面 所截体计算而得 正解 正解 D 当平面 EFD 处于水平位置时 容器盛水最多 2 1 2 1 sin 3 1 sin 3 1 3 1 3 1 hASBSBSA hDSESESD hS hS V V SAB SDE SABC SDEF 27 4 3 1 3 2 3 2 2 1 h h SB SE SA SD 最多可盛原来水得 1 27 23 27 4 例例 4 4 斜三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 a 的正三角形 侧棱长 等于 b 一条侧棱 AA1与底面相邻两边 AB AC 都成 450角 求这个三 棱柱的侧面积 错错解解 一是不给出任何证明 直接计算得结果 二是作直截面的方法 不当 即 过 BC 作平面与 AA1垂直于 M 三是由条件 A1AB A1AC AA1在底面 ABC 上的射影是 BAC 的平分线 不给出论证 正正解解 过点 B 作 BM AA1于 M 连结 CM 在 ABM 和 ACM 中 AB AC MAB MAC 450 MA 为公共边 ABM ACM AMC AMB 900 AA1 面 BHC 即平面 BMC 为直截面 又 BM CM ABsin450 2 2 a BMC 周长为 2x 2 2 a a 1 2 a 且棱长为 b S侧 1 2 ab 例 5 已知 CA 平面 垂足为 A AB BD AB 且 BD 与 成 30 角 AC BD b AB a 求 C D 两点间的距离 解解 本题应分两种情况讨论 1 如下左图 C D 在 同侧 过 D 作 DF 垂足为 F 连 BF 则 30 DBF 于是 22 1b BDDF 根据三垂线定理 BD AB 得 BF AB 在 Rt ABF 中 AF 2 4 3 22 baBFAB 过 D 作 DE AC 于 E 则 DE AF AE DF 2 b 所以 EC AC AE b 2 b 2 b 故 CD 222 4 3 22 2 222 babaAFECDEEC b 2 如上右图 C D 在 两侧时 同法可求得 CD 22 3ba 点点 评评 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中 应用勾股定理来求 解 例例 6 6 如图 在棱长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD 中 p是侧棱 1 CC上的一点 mCP 1 试确定m 使得直线AP与平面 11B BDD所 成角的正切值为23 2 在线段 11C A上是否存在一个定点Q 使得 对任意的m QD1在平面 1 APD上的射影垂直于AP 并证明你的结论 解 解法一 1 连 AC 设 AC 与 BD 相交于点 O AP 与平面 11 BDD B相交于点 连结 OG 因为 PC 平面 11 BDD B 平面 11 BDD B 平面 APC OG 故 OG PC 所以 OG 2 1 PC 2 m 又 AO BD AO BB1 所以 AO 平面 11 BDD B O D1 C1 C D A B A1 B1 P G 故 AGO 是 AP 与平面 11 BDD B所成的角 在 Rt AOG 中 tan AGO 23 2 2 2 m GO OA 即 m 3 1 所以 当 m 3 1 时 直线 AP 与平面 11 BDD B所成的角的正切值为3 2 2 可以推测 点 Q 应当是 AICI的中点 O1 因为 D1O1 A1C1 且 D1O1 A1A 所以 D1O1 平面 ACC1A1 又 AP 平面 ACC1A1 故 D1O1 AP 那么根据三垂线定理知 D1O1在平面 APD1的射影与 AP 垂直 解法二 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A 1 0 0 B 1 1 0 P 0 1 m C 0 1 0 D 0 0 0 B1 1 1 1 D1 0 0 1 所以 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 BDBBAPm AC 又由 1 0 0AC BDAC BB 知 AC 为 平面 11 BB D D的一个法向量 设 AP 与平面 11 BB D D所成的角为 则 2 2 sincos 2 22 AP AC APACm 依题意有 2 2 23 2 221 3 2 m 解得 1 3 m 故当 1 3 m 时 直线 AP 与平面 11 BB D D所成 的角的正切值为3 2 2 若在 A1C1上存在这样的点 Q 设此点的横坐标为x 则 Q x 1 x 1 1 1 0 DQxx 依题意 对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1上的射影垂直于 AP 等价于 D1Q AP 1 1 0 1 0 2 AP DQxxx 即 Q 为 A1C1的中 点时 满足题设要求 例例 7 7 在梯形 ABCD 中 ADC 90 AB DC AB 1 DC 2 2 AD P 为平面 ABCD 外一点 PAD 是正三角形 且 PA AB j P O1 D1 C1 B1 A1 D C BA z y x 求 1 平面 PBC 和平面 PAD 所成二面角的大小 2 D 点到平面 PBC 的距离 解解 1 设 AD BC E 可知 PE 是平面 PBC 和平面 PAD 的交线 依题设条件得 PA AD AE 则 EPD 90 PD PE 又 PA AB DA AB 故 AB 平面 PAD DC AB DC 平面 PAD 由 PE PC 得 PE PD DPC 是平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角的平面角 2 PD DC 2 tan 2 PD DC DPC 2arctan DPC 2 由于 PE PD PE PC 故 PE 平面 PDC 因此平面 PDC 平面 PBC 作 DH PC H 是垂足 则 DH 是 D 到平面 PBC 的距离 在 Rt PDC 中 2 PD DC 2 6 PC 3 32 PC DCPD DH 平面 PBC 与平面 PAD 成二面角的大小为 arctan2 D 到平面 PBC 的距离为 3 32 例例 8 8 半径为 1 的球面上有 A B C 三点 A 与 B 和 A 与 C 的球面距离都是 2 B 与 C 的 球面距离是 3 求过 A B C 三点的截面到球心 O 距离 分析分析 转化为以球心 O 为顶点 ABC 为底面的三棱锥问题解决 由题设知 OBC 是边长为 1 的正三角形 AOB 和 AOC 是腰长为 1 的全等的 等腰三角形 取 BC 中点 D 连 AD OD 易得 BC 面 AOD 进而得面 AOD 面 ABC 过 O 作 OH AD 于 H 则 OH 面 ABC OH 的长即为 所求 在 RtADB 中 AD 2 7 故在 RtAOD OH 7 21 AD ODAO 点评 点评 本题若注意到 H 是 ABC 的外心 可通过解 ABC 和 AHO 得 OH 或利用体积法 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 在平面角为 600的二面角 l内有一点 P P 到 的距离分别为 PC 2cm PD 3cm 则 P 到棱l的距离为 2 异面直线 a b 所成的角为 60 过空间一定点 P 作直线l 使l与 a b 所成的角均 为 60 这样的直线l有 条 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 AB 和 AD 的中点 则点 A1到平面 EFB1D1的距离为 4 二面角 l 内一点 P 分别作两个面的垂线 PA PB A B 为垂足 已知 PA 3 PB 2 APB 60 求 l 的大小及P到l的距离 5 ABCD 是边长为 4 的正方形 CG 面 ABCD CG 2 E F 分别是 AD AB 的中点 求点 B 到面 EFG 的距离 6 如图 二面角 l 为锐角 P 为二面角内一点 P 到 的 距离为22 到面 的 距离为 4 到棱l的距离为24 求二面角 l 的大小 7 如图 已知三棱柱A1B1C1 ABC的底面是边长为 2 的正三角形 侧棱A1A与AB AC均成 45 角 且A1E B1B于E A1F CC1于F 1 求点A到平面B1BCC1的距离 2 当AA1多长时 点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等 6 5 6 5 空间几何体及投影空间几何体及投影 一 知识导学一 知识导学 1 了解投影 投影线通过物体 向选定的面透射 并在该面 上得到图形的方法 中心投影 投射线交于一点的投影称为中心投影 平行投影 投影线互相平行的投影称为平行投影 斜投影 平行投影投射方向不是正对着投 影面的投影 正投影 平行投影投射方向正对着投影面的投影 的概念 2 了解三视图的有关概念 视图是指将物体按正投影向投影面投 射所得到的图形 光线 自物体的前面向后面投射所得的投影称之为主视图或正视图 自上而下的称为俯视图 自左向右的称为左视图 用这三种视图刻画空间物体的结构 称之为三视图 了解三 视图画法规则 能作出物体的三视图 3 注意投影和射影的关系 以及在解题中的作用 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 三视图间基本投影关系的三条规律 主视图与俯视图长对正 主视图与左视图高平齐 俯视图与左视图宽相等 概括为 长对正 高平齐 宽相等 看不见的画虚线 2 主视图的上 下 左 右对应物体的上 下 左 右 俯视图的上 下 左 右对应物 体的后 前 左 右 左视图的上 下 左 右对应物体的上 下 后 前 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 1 如图 该物体的俯视图是 错解错解 B 错因错因 投影方向不对 正解正解 C 例例 2 2 如图所示的正方体中 E F 分别是 AA1 D1C1的中点 G 是正方形 BDB1D1的中心 则空 间四边形 AGEF 在该正方体面上的投影不可能是 A B C D A1 B1 C1 D1 E F G A B C D 错解错解 C 正解正解 D 例例 3 3 水平放置的 ABC 有一边在水平线上 它的直观图是正 A1B1C1 则 ABC 是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 任意三角形 错解错解 B 错因错因 不熟悉斜二侧