考研数学二模考试卷一

考研数学二模考试卷一考研数学二模考试卷一 一 填空题 本题共一 填空题 本题共 6 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 24 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 1 设2 1 21ln cos1 tan lim 2 0 x x ecx xbxa 则a 2 曲线 xyy 由方程1ln 2 yyx确定 则该曲线在点 e 0 处的曲率为 3 设 xy是连续函数 满足 dttyxxydtty x 1 01 则 xy 4 设 y x z u 则 1 1 1 du 5 已知当0 x时 dttxF xx 1ln sin 0 是 n x的同阶无穷小 则 n 6 已知 A 是 3 阶矩阵 321 aaa是 3 维线性无关列向量 且 23 3211 aaaAa 3212 2aaaAa 又 321 aaa 是矩阵 A 属于特征值5 的特征向量 则 A 二 选择题 本题共二 选择题 本题共 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 32 分 每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括号内 分 每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括号内 7 设 0 0 0 1 arctan x x x x xf则 xf在ox 处 A 不连续 B 连续但不可导 C 可导但 x f 在0 x不连续 D 可导且 x f 在0 x连续 8 设 2 0 dttfxtxF x 其中 xf可导 且0 x f在区间 1 1 成立 则 A 函数 xF在0 x处取得极大值 B 函数 xF在0 x处取得最小值 C 函数 xF在0 x没有极值 但点 0 F 0 是曲线 xFy 的拐点 D 函数 xF在0 x没有极值 点 0 0 F也不是曲线 xFy 的拐点 9 设 xyy 在 0 可导 在 0 x处的增量 xyxxyy 满足 x xy yy 1 1 其中 当0 x时是0 x时是x 的等价无穷小 又1 0 y 则 xy等于 A x 1 B 1 x 1 1ln x C x x 1 1 1 2 1 D 1 1ln x 10 下列函数中在指定区间上不存在原函数的是 A 2 1 0 xdttxf x B 0 0 0 1 sin2 x x x x x xf C 1 1 0 0 0 1 cos 1 sin2 x x x xx x xf D 0 1 0 0 0 1 x xx x xx xf 11 设 xyy 是0 cybyy的解 其中 b c 为正的常数 则 limxy x A 与解 xy的初值 0 0 yy有关 与cb 无关 B 与解 xy的初值 0 0 yy及cb 均无关 C 与解 xy的初值 0 0 yy及c无关 只与b有关 D 与解 xy的初值 0 0 yy及b无关 只与c有关 12 累次积分 1 4 1 0 3 1 1 y dxxdyJ的值为 A 2 1 B 4 1 C 6 1 D 8 1 13 已知EBABA1246 2 其中 BA则 201 040 302 A 006 030 200 B 002 030 600 C 600 030 002 D 200 030 006 14 设A是 3 阶矩阵 特征值是0 1 2 321 对应的特征向量分别是 21 aa 3 a 若 APPaaaP 1 123 3 则 A 0 1 2 B 2 3 0 C 2 1 0 D 2 1 0 三 解答题 本题共三 解答题 本题共 9 小题 满分小题 满分 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 设 xf在0 x二阶可导 又A x xf x cos1 lim 0 求 0 f与 0 f 求 lim 6 0 2 0 2 x dttxtf J x x 16 本题满分 10 分 求定积分 1 0 1 2arcsindxxxxJ 17 本题满分 11 分 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出 tt etyetx 2 2 证明该参数方程确定连续函数 1 xxyy 证明 在xyy单调上升且是凸的 求 xyy 的渐近线 18 本题满分 12 分 设 0b nn nn 为自然数 20 本题满分 11 分 设 zxgy 而yxzz 是由方程0 xyzxf所确定 其中函数fg 均有 连续偏导数 求 dx dz 21 求累次积分 2222 0 111 4 2 yxyx dy dxJ x x 22 本题满分 10 分 已知矩阵 403 22 221 aA可逆 A是A的伴随矩阵 1 1 aa是 A的特征向 量 求 A的特征值与特征向量 23 本题满分 8 分 已知n维向量组 21 aa s a与 t 21 有相同的秩 且 可由 线性表出 证明向量组 与 等价 并举例说明仅秩r r 与 可以不等价 考研数学二模考试卷参考解答 考研数学二模考试卷参考解答 一 填空题 一 填空题 1 答案 4 分析 这是 0 0 型极限 用相消法方便 分子 分母同除以x 原式 x e c x x x x b x x a x x 2 1 2 2 21ln cos1tan lim 0 2 2 a 其中 0 1 2 1 cos1 22 2 xxexx x 于是 0 1 lim 0 cos1 lim 2 00 x e x x x xx 因此 4 a 2 答案 2e 2 分析 先求出 0 x dx dy 0 2 2 x dx yd 将方程对x求导得 0 2 2 y y yxxy 即 0 2 22 yyyxxy 令0 x 得 0 0 y再对x求导并令eyx 0得 22 2 0 0 0 0 2eyyy 因此该曲线在点 0 e 的曲率为 2 2 32 2 0 1 0 e y y 评注 求 0 y时 将方程 0 2 22 yyyxxy 对x求导并令0 x时 0 0 2 0 22 xxx yyxxyx 3 答案 1 x e e12 3 分析 由变限积分的性质知 xy可导 将方程两边求得 1 xyxy 即1 xyxy 这是一阶线性微分方程 两边乘 xdx eex 1 得 xx eye 积分得 1 xxx cexyceye 代入原方程 1 01 11 1 dtcexcexdtce t x xt 1 1 2 cececece xx 12 3 e c 因此 12 3 1 x e e y 4 解答 dxdz 分析 1 取对数 ln lnlnxzyu 求全微分得 11 ln ln 1 dx x dz z ydyxzdu u 令 1 1 1 zyx得 1 u dxdzdu 分析 2 先求偏导数 1 1 1 1 1 2 1 x u xx z y x u y 0 ln 1 1 1 y u x z x z y u y 1 1 1 1 1 1 z u xx z y z u y 由dz z u dy y u dx x u du dzdxdu 1 1 1 5 答案 6 分析 确定0 n使得下面的极限存在且不为 0 n xx x x dtt 1ln lim sin 0 0 0 0 1 0 cos1 sin 1ln lim n x nx xxx 0 72 16 3 cos1 lim 2 1 3 sin lim 2 1 2 1 sin lim 4 0 0 0 3 0 1 2 0 n xnn x nnx xx nx xxx n x n x n x 取 其中 0 sin sin 1ln xxxxx 0 2 1 cos1 2 xxx 应填 6 n 6 答案 25 分析 按特征值特征向量定义 有 5 321321 A 又 32123211 2 23 AA 故 3213 42 A 从而 42 2 23 321321321321 A 412 113 221 321 因为 321 线性无关 矩阵 321 可逆 于是 25 412 113 221 A 二 选择题二 选择题 7 答案 D 分析 2 1 arctanlim 0 lim 0 00 xx fxf f xx 0 x时 2 2 sgn 1 1 1 1 arctan x x x x x xf 2 1 1 arctan x x x 其中 0 1 0 1 sgn x x x 0 21 lim 1 arctanlimlim 2 000 f x x x f xxx 即 x f 在0 x处连续 因此 选 D 8 答案 C 分析 考察0 x是否是 xF的极值点 0 0 F是否是 xFy 的拐点 因为 dttfxdtttfxF xx 2 00 于是dttfxxfxxfxF x 2 0 dttfxxf x 0 在 1 1 单调上升 xF在0 x不取极值 因此 选 C 9 答案 B 分析 可转化成求解微分方程的初值问题 将等式两边除以x 并令0 x 并 注意 0lim lim 00 yy x y xx 可导必连续 1lim 0 x x 于是得 1 0 1 1 y x y y 这是一阶线性非齐次方程 两边乘以 x e x dx 1 1 1 得 1 1 1 1 x y x 两边积分 1ln 1 0 1 1 0 x t dt yy x x 1 1 ln 1 xxy 因此选 B 10 答案 D 分析 A B 中的函数在给定区间上均连续 因而存在原函数 C D 中的函数除0 x外均连续 0 x是它们的间断点 不同的是 C 中0 x 是第二类间断点 D 中0 x是第一类间断点 指定的区间均含0 x 因此选 D 评注 设 xf定义在 ba 上 0 bax 是 xf的第一类间断点 则 xf在 ba 不存在原函数 若 0 bax 是 xf的第二类间断点 xf在 ba 是否存在原函数 要 具体问题具体分析 11 答案 B 分析 这是二阶线性常系数齐次方程 其特征方程0 2 cb 特征根为 cb b 4 2 1 2 2 它或为相异实根 或为重实根 或为共轭复根 不论哪种情形 均有特征根的实部是负的 注意 0lim 0lim ax x ax x xee 0sinlim 0coslim xexe ax x ax x 其中0 a为常数 因此对 cyyby0 的任一解 xyy 均有0 lim xy x 因 此选 B 评注 方程 cyyby0 的通解是下列三种情形之一 1 4 2 21 21 cbececy xx 其中04 2 1 2 2 2 1 cb b 2 4 2 2 21 cbexccy x b 3 4 sincos 2 21 2 cbxcxcey x b 0 0 0 01在 0 单调 上升 值域为 1 t etx 存在反函数 记为 xtt 它在 1 连续 单 调 连 续 函 数 的 反 函 数 连 续 再 由 连 续 复 合 函 数 的 连 续 性 2 2 xt exty 记 xy在 1 连续 II 由参数式求导法 10 0 1 2 1 1 1 2 1 22 2 xte e ee e e x y dx dy t t tt t t t t 即 于是 xyy 在 1 单调上升 又 10 0 1 2 1 2 1 2 2 2 xt e e dx dt e dt d e dx d dx dy dx d dx yd t t tt 即 因此 xyy 在 1 是凸的 III tx 2 2 limlim 2 t t xx et et x y 0 22 lim 2 lim 2 tt tx etetxy 又因 xyy 在 1 连续 所以 xyy 只有渐近线xy2 18 分析与求解 曲线xy 在点 tt 的切线方程是 2 1 tx t ty 即 2 1 tx t y 其中 0 bt 所求问题等价于求此切线与直线ybx 轴和x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 体积的最小值点 即求 0 33 12 33 12 120 12 4 2 1 2 222 333 2 0 2 0 的最小值点在b t b bt b btbt t b ttb tx bx tx t dxtx t dxtx t tV bb 求 tV xxxf xx 则 2ln 2 1 12ln2 2 2ln2 2 1 22ln2 2 1 2 1 2 1 2 1 x xxf xx xx x 为了确定 xf 的符号 考察 8 28 018ln 12ln 2 3 2ln 2 1 12ln2 1 1 0 12 ln2ln 2 1 12ln2 2ln 2 1 2ln 2 1 2ln 2 1 2 2ln 2 1 12ln2 2 2 1 2 2 1 2 1 e gxg x xg xxg xx x 于是 1 0 1 1 0 xfxfxxf 因此 1 0 nnf 即 1 212 nn n 20 分析与求解 1 这是共有 3 个变量 2 个方程式 确定 2 个因变量 另一为自变量 按题意 x为自变量 zy 为因变量 由方程组 0 0 zxgy xyzxf 确定 xzzxyy 将上式两边对x求导得 0 0 1 21 21 dx dz gg dx dy dx dy xyf dx dz f 即 12 2112 g dx dz g dx dy f yf dx dz f dx dy f x 解此以 1dx dz dx dy 为未知数的二元一次方程组得 1 212 2 12 1 1 1 g f yff x g ff xdx dz 221 2112 gf xf f yfgf x 分析与求解 2 将方程组两边求全微分得 0 0 21 21 dzgdxgdy xdyydxfdzdxf 消去dy 由第二式解出dy代入第一式 得 0 2121 dzgdxgxydxfdzdxf 即dxgf xf yfdzgf xf 1221221 解出 221 1221 gf xf gf xf yf dx dz 评注 1 1 若直接按题意 由方程式 0 xyzxf 确定 yxzz 再由方程式 yxzxgy 确定 xyy 从而确定 xyxzz dx dy y z x z dx dz 将 1 式分别对yx 求导得 0 0 1 21 21 f x y z f f y x z f 解得 1 2 1 21 f f x y z f f yf x z 将 2 式对x求导得 21 dx dy y z x z gg dx dy x z gg y z g dx dy 212 1 将 4 式代入得 式得式最后由53 1 221 122212 1 221 21211 1 21 21 1 22 gf xf ggf xf yfg g dx dy gf xf f yfgfg dx dy f f yf gg f gf x dx dy 221 1221 21 gf xf gf xf yf gg dx dy dx dz 这是分别作为方程式确定隐函数来处理 比起解法 1 2 要复杂 评注 2 由于一阶全微分形式的不变性 将方程组两边求全微分时 就可以不必顾及哪个 变量是自变量 哪个变量是因变量 这是方便之处 21 分析与求解 将累次积分表成 D yxyx dxdy J 2222 4 其中 D xyxx 2 11 01 如图所示 交换积分顺序达不到简化计算的目的 从积分区域 D 的特点及积函数的特点 应改用极 坐标交换 D 的极坐标表示 sin2 4 3 ro D 的圆边界 1 1 22 yx 即yyx2 22 它的极坐标方程是 sin2 r 因此 d r dr rr r dj sin2 0 4 3 2 sin2 0 4 3 2 arcsin 4 2 4 3 32 1 d 评注 当 4 3 时 4 0 sin arcsinsinarcsin 22 解 按定义 设aaA 0 则AaaAA 0 即 AAa 0 由于矩阵 A 可逆 知0 0 0 A 于是 aa A Aa 0 对于 1 1 1 1 403 22 221 aaa 即 403 22 221 2 aa a 解出 1 1 a 由矩阵 A 的特征多项式 403 212 033 403 212 221 AE 2 1 3 得矩阵 A 的特征值是 1 2 3 于是A 6 从而 A的特征值是 6