数值计算方法稳定域、收敛域检验

常常微微分分方方程程 课课内内实实验验报报告告 学学生生姓姓名名 张张学阳学阳1009300132 及及 学学 号号 学学 院院 理学院 班班 级级 数学 101 课课程程名名称称 常微分方程 实实 验验 题题 目目 数值计算方法稳定域 收敛域检验 李鹏松 教 授 朱秀丽 讲 师 指指导导教教师师 姓名及姓名及职 职称 称 方 向 实验师 2012 年 11 月 28 日 常微分方程实验报告 实验目的 实验目的 1 应用前面实验程序求解常微分方程初值问题 通过改变初值及步长 重 点了解 Euler 方法及其改进方法 Runge kutta 方法的稳定性及收敛性 2 熟练应用 Matlab 编写程序 实验内容 实验内容 1 1 实验题目实验题目 运用前述方法求解常微分方程初值问题 满足xy xdx dy 2sin5 2 2 2 的解 4 2 y 3 2 2 2 设计思想设计思想 1 利用前面两个实验所设计的程序 改变计算初值及步长 观察计算结果 的变化 结合理论推导 获得稳定性 收敛性信息 2 针对抽取的非线性微分方程 利用数值计算程序计算结果 3 3 程序代码程序代码 fun为目标函数字符串 x0为自变量初始值 y0为fun x0 bou a b 自变量区间 h为步长 fun 2 x 2 5 y 2 sin 2 x bou 2 3 a bou 1 b bou 2 x0 2 y0 4 h 0 05 n ceil b a h xx linspace a b n 1 yy1 zeros 1 n 1 yy2 zeros 1 n 1 yy3 zeros 1 n 1 xx 1 x0 yy1 1 y0 yy2 1 y0 yy3 1 y0 for i 2 n 1 x xx i 1 y yy1 i 1 k eval fun yy1 i yy1 i 1 h k end for i 2 n 1 x xx i 1 y yy2 i 1 k1 eval fun 常微分方程实验报告 2 x xx i y yy2 i 1 h k1 k2 eval fun yy2 i yy2 i 1 h 2 k1 k2 end for i 2 n 1 x xx i 1 y yy3 i 1 k1 eval fun x xx i 1 h 2 y yy3 i 1 h k1 2 k2 eval fun x xx i 1 h 2 y yy3 i 1 h k2 2 k3 eval fun x xx i 1 h y yy3 i 1 h k3 k4 eval fun yy3 i yy3 i 1 h 6 k1 2 k2 2 k3 k4 end fprintf yend xx yy1 yy2 yy3 p plot xx yend 2 k o LineWidth 1 MarkerEdgeColor k MarkerFaceColor g MarkerSize 4 hold on pp plot xx yend 3 r LineWidth 0 8 MarkerEdgeColor r MarkerFaceColor m MarkerSize 6 hold on p3 plot xx yend 4 b LineWidth 1 MarkerEdgeColor k MarkerFaceColor r MarkerSize 7 legend p pp p3 Eula gjeula lgkt4 实验原理 实验原理 Euler 方法 1 00 nnnn yxhfyy xyy Euler 改进方法 2 111 00 nnnnnn yxfyxf h yy xyy 取四阶 Runge kutta 方法进行计算 常微分方程实验报告 3 2 2 2 2 22 6 0 34 2 3 1 2 1 43211 0 hkyhxfk hk y h xfk hk y h xfk yxfk kkkk h yy yy nn nn nn nn nn 3 3 2 3 3 33 8 0 3214 2 1 3 1 2 1 43211 0 hkhkhkyhxfk hk hk y h xfk hk y h xfk yxfk kkkk h yy yy nn nn nn nn nn 4 阶精度的 Runge kutta 方法 2 2 2 2 22 6 34 23 12 1 43211 hkyhxfk k h y h xfk k h y h xfk yxfk kkkk h yy ii ii ii ii ii 实验结果 实验结果 22 12 22 32 42 52 62 72 82 93 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 Eula gjeula lgkt4 图一初值为区间为步长为 0 05 4 2 3 2 常微分方程实验报告 4 22 12 22 32 42 52 62 72 82 93 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 Eula gjeula lgkt4 图二初值为区间为步长为 0 07 4 2 3 2 22 12 22 32 42 52 62 72 82 93 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 Eula gjeula lgkt4 图三初值为区间为步长为 0 05 3 2 3 2 常微分方程实验报告 5 22 22 42 62 833 23 43 63 8 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 Eula gjeula lgkt4 图四 初值为区间为步长为 0 05 8 3 2 3 2 通过