高中数学奥林匹克竞赛训练题（28）

1 数学奥林匹克高中训练题 数学奥林匹克高中训练题 2828 第一试 一 选择题 本题满分36分 每小题6分 1 训练题38 已知连结 A 3 0 B 0 3 C 15 24 77 的三角形与圆 x2 y2 R2 R 0 总有公共点 则圆半径 R 的取值范围是 B A 3 103 89 0 107 B 3 10 3 89 107 C 3 2 0 3 2 D 3 2 3 3 2 训练题38 如图所示 长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB DB1 A1D1 CC1两两成异面直线 现作一对相交直线 l1 l2 使l1与 AB DB1均相交 l2与 A1D1 CC1均相交 这 样的相交直线有 D A 0对 B 1对 C 多于1的有限对 D 无限对 3 训练题38 如图 过 O 外一点 A 作圆的两条切线 AB AC 连 BC 则 ABC 的周长 P 与 劣弧 BC 的长l之间的关系为 A A P 2l B P 2l C P2 l D 不能确定 与 A 的位置有关 4 训练题38 已知 x 为锐角 则 33 2 sincos 2 xx 是 4 x 的 C A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 训练题38 如图1 矩形 B1BCC1由正方形 B1BAA1与 A1ACC1拼接而成 现将图形沿 A1A 对折 成直二面角 如图2 取线段 B1C 内一点 P 记 P 到 AB 的距离为 PE P 到 A1C1的距离为 PF 则 PE 与 PF 的关系为 B A PE PF B PE PF C PE PF D 不能确定 与点 P 的位置有关 6 训练题38 对 b a 0 取第1象限的 点 Ak xk yk k 1 2 n 使 a x1 x2 xn b 成等差数列 而 a y1 y2 yn b 成等比数列 则各 点 A1 A2 An与射线 l y x x 0 的关系为 C A 各点均在射线l的上方 B 各点均在射线l上 C 各点均在射线l的下方 D 不能确定 二 填空题 本题满分54分 每小题9分 1 训练题38 方程 log5 3x 4x log4 5x 3x 的解集合为 2 2 训练题 38 在直角坐标系上 Rt OAB 三个顶点的坐标为 O 0 0 A 1 0 AB C A1 B1 C1 D1 D l O B A C CA B B 1 A1C 1 CB A A1 C 1 B 1 P F 图 1 图 2 2 B 1 2 在斜边上任取一点 C x 2x 0 x 1 过 C 作 CD OA 于 D 作 CE AB 于 E 记 OCD 的面积为 S1 x 矩形 CDAE 的面积为 S2 x CEB 的面积为 S3 x 如图 又对同一个 x 记 f x 为 S1 x S2 x S3 x 中的最大值 当 C 在线段 OB 内变化时 f x 的最小值为 4 9 3 训练题38 满足 an 1 an 1 1 0 n 1 2 99 的不同数列 a1 a2 a100共有 无穷 个 4 训练题38 已知纯虚数 x1 x2 x1999的模均为1 则 x1x2 x2x3 x1998x1999 x1999x1被 4除所得的余数为 1 5 训练题38 身高两两不等的10个人排成一列 每个人都比前面的人高或都比前面的人矮 则符合条件的排法数有 512 种 用数字作答 6 训练题38 用1 2 n 组成无重复数字的 n 位数 规定2不得与1或3相邻时共得 2400个不同的 n 位数 则 n 7 三 训练题38 本题满分20分 已知抛物线 S y ax2 bx c a 0 与二次曲线 ax2 y2 bx ay c a 0的4个不同的交点 由草图3 4可以看出 下面三个结论是成立的 请 给出证明 1 两曲线的 4 个交点中 至少有两个交点位于 x 轴的下方 2 抛物线 S 必与 x 轴有两个不同的交点 记为 x1 0 x2 0 x1 x2 3 两曲线的 4 个交点中 必存在一点 x0 y0 使 x0 x1 x0 x2 0 注 对 a b c 的不同取值会有无 数个图形 此处仅就 a b 0 a 1 各给出一个示意图 同时也就限制 由图看出 的解答 y B O D1 E C S2 S1 S3 x y x O y x O 1 1 图 3图 4 3 四 训练题38 本题满分20分 如图 点 O 表示太阳 ABC 表示一个三角形遮阳栅 点 A B 是地面上南北方向的两个定 点 正西方向射出的太阳光线 OCD 把遮阳栅投射到地面得出遮 影 ABD 已知光线 OCD 与地面成锐角 1 遮阳栅与地面成多少度角时 才能使遮影 ABD 面 积最大 2 当 AC 3 BC 4 AB 5 30 时 求出遮影 ABD 的最大面积 五 训练题38 本题满分20分 由草图可见 方程 516 log 1 logxx 有且仅有一个解 请证明这个结论 第二试 一 训练题38 本题满分50分 已知直角梯形 ABCD 的直角腰 AB 存在一点 E 使 CDE 为正 三角形 又 4 4 AE CD 求 AE AB 的值 二 训练题38 本题满分50分 圆周上有 n 个点 n 2 用弦两两 连结起来 其中任何3条弦都不在圆内共点 现将由此形成的互不重叠 的圆内区域的个数记为 an 1 直接画图求出 a